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Fonctions de plusieurs variables

1 Jusqu'a maintenant, vous avez essentiellement appris a etudier les fonctions d'une variable. Cependant, pour modeliser de nombreux phenomenes, les fonctions d'une variable ne susent pas; on a souvent besoin de fonctions de plusieurs variables. Un exemple.Pour un echantillon d'une mole de gaz de Van der Waals, la pressionPdu gaz est une fonction de deux variables : sa temperatureT, et le volumeVoccupe par cet echantillon. On a en eet :

P(T;V) =RTVbaV

2 oua,betRsont des constantes (aetbdependent du gaz considere,Rest une constante universelle). Un autre exemple.L'energie totaleEd'un pendule pesant est une fonction de deux variables : l'angleque fait le pendule avec la verticale, et sa vitesse angulaire_. On a en eet :

E(;_) =12

m`2_2+mg`(1cos()) oum,get`sont des constantes (la masse du pendule, la constante de gravitation universelle,

et la longueur de la tige du pendule).Encore un exemple.Si vous voulez faire decrire le temps qu'il fait, a un moment donnee,

en Europe, vous allez modeliser la pression et la temperature par des fonctions de deux variables : 2 {un p ointsur la c artede l'Europ esera rep erepar deux v ariables: sa longitude xet sa latitudey; la pression en ce p oint,not eeP(x;y), sera donc une fonction des variablesxety; de m ^eme,la temp eratureen ce p oint,not eeT(x;y), sera donc une fonction des variables

xety.Bien s^ur, si vous voulez ^etre plus precis, il faudra introduire la variable altitudez, et considerer

la pressionPet la temperatureTcomme des fonctions des trois variablesx;y;z. Si vous voulez decrire l'evolution de la pressionPet la temperatureTau cours du temps, vous devrez introduire une quatrieme variablet, et considerer la pressionPet la temperatureT comme des fonctions des quatre variablesx;y;z;t.Etc. Une fois qu'on a modelise un phenomene naturel par une fonction de plusieurs variables, il faut ^etre capable | si on veut etudier le phenomene naturel en question | de decrire le comportement de cette fonction. Ceci permet de repondre a de nombreuses questions. Par exemple : Un p endulep esantp ossede-t-ildes p ositionsd' equilibre?Ces p ositionsson t-ellestables ou instables? P ourun gaz de V ande rW aals,existe-t-il des v aleursde la temp eratureet du v olume pour lesquelles la pression est minimale? Si on connait le v olumeet la te mperatured'un gaz de V ander W aalsa vecune certaine precision, avec quelle precision ceci peut-on en deduire la pression du gaz? Autrement dit, tout comme il est utile de savoir etudier les fonctions d'une variable, il est utile de savoir etudier les fonctions de plusieurs variables. 3 Nous allons apprendre a etudier les fonctions de plusieurs variables. La plupart du temps, nous considererons des fonctions qui dependent juste de deux | eventuellement trois | variables; cela permet d'eviter des notations et des calculs trop lourds, et toutes les idees sont deja presentes. Vous connaissez de nombreuses notions permettant d'etudier les fonctions d'une variable : domaine de d enition; repr esentationgr aphique(graphe) ; limites ; fonction d erivee;sens et tableau de v ariation; tangen te; d eveloppementlimit e; {etc. Pour chacune de ces notions, nous devrons nous demander comment elle change quand on passe aux fonctions de plusieurs variables. A votre avis, qu'est-ce qui change? Qu'est-ce qui reste essentiellement pareil? Pour simplier, on ne se preocuppera pas de questions de continuite ou de derivabilite. Autre- ment dit, on supposera tacitement que toutes les fonctions considerees dans la suite admettent des derivees partielles dans toutes les directions et a tous les ordres. Ceci nous permettra de mieux nous concentrer sur lecalculet surtoutl'utilisationde ces derivees partielles. 4

Chapitre 4

Preliminaire : un peu de geometrie

dans le plan et l'espace

4.1 Geometrie dans le planR2

4.1.1 Produit scalaire

Si on se donne deux vecteurs~u1= (x1;y1) et~u2= (x2;y2) dans le plan, on peut denir leur produit scalairepar la formule tres simple ~u

1:~u2=x1x2+y1y2:

Lalongueurd'un vecteur (on dit aussi sanorme) est alors denie par la formule jj~u1jj=p~u

1:~u1=qx

21+y21:

Il y a aussi une autre formule pour le produit scalaire : on a ~u

1:~u2=jj~u2jjjj~u2jjcos

ouest l'angle entre les deux vecteurs. Un des inter^ets de cette formule est qu'elle permet de voir quand le produit scalaire s'annule : on a (si aucun des deux vecteurs n'est nul) ~u

1:~u2= 0,cos= 0

,=2 ( modulo) ,les deux vecteurs sont orthogonaux. En pratique.La premiere formule permet de calculer tres facilement le produit scalaire de deux vecteurs quand on a leurs coordonnees; la deuxieme permet de dire que si le produit scalaire est nul, alors les vecteurs sont orthogonaux. Remarque.Pour le mathematicien, ce qui precede n'a pas de sens : on n'a pas deni claire- ment ce qu'etait l'angle, ni ce que ca voulait dire que deux vecteurs sont orthogonaux. Pour s'en sortir, il sut de proceder en sens inverse : l'angleestdenipar la deuxieme formule; de m^eme, on peutdenirl'orthogonalite en disant que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Cependant, tout le monde (y compris les mathematiciens!) sait bien que les architectes n'ont pas attendu l'invention du produit scalaire pour savoir mesurer des angles et tracer des per- pendiculaires... 5

Equation d'une droite

Soit maintenantM0= (x0;y0) un point du plan, et~n= (a;b) un vecteur du plan. Quelle est l'equation de la droiteDpassant parM0et orthogonale a~n? Le point cle est d'arriver a caracteriser les points de (D) en terme de produit scalaire. SoitM= (x;y) un point quelconque du plan. On a l'equivalence : Mappartient a la droiteD,les vecteurs!M0Met~nsont orthogonaux ,!M0M:~n= 0 ,a(xx0) +b(yy0) = 0: Resumons :Dans le planR2, la droite passant par le pointM0= (x0;y0) et orthogonale au vecteur ~n= (a;b) admet pour equation a(xx0) +b(yy0) = 0: Exemple.Vous pouvez verier votre formule sur l'exemple suivant : l'equation de la droite passant par le pointM0= (1;2) et orthogonal au vecteur~v= (3;4) est

3(x1) + 4(y2) = 0:

Attention!Dans cet exemple, le vecteur~v= (3;4) se dessine a partir du pointM0= (1;2) : on dessine donc une eche qui part deM0et qui aboutit au point (4;6) (et non pas au point (3;4)).

4.2 Geometrie dansR3

4.2.1 Produit scalaire

La denition et les propriete du produit scalaire dansR2se generalise sans probleme dans l'espaceR3, en rajoutant une coordonnee partout. Par exemple, le produit scalaire de deux vecteurs~u1= (x1;y1;z1) et~u2= (x2;y2;z2) est deni par ~u

1:~u2=x1x2+y1y2+z1z2:

Et deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. 4.2.2

Equation d'un plan

Donnons-nous un pointM0= (x0;y0;z0) deR3, et~n= (a;b;c) un vecteur. Dans ce cadre, l'ensemble des pointsMtels que le vecteur~M0Mest orthogonal au vecteur~nest un planP. La technique vue dansR2conduit donc a l'equation de ce planP. Plus precisement, soitM= (x;y;z) un point quelconque de l'espace. On a l'equivalence : Mappartient au planP,les vecteurs!M0Met~nsont orthogonaux ,!M0M:~n= 0 ,a(xx0) +b(yy0) +c(zz0) = 0:

Resumons :

6 Dans l'espaceR3, la droite passant par le pointM0= (x0;y0;z0) et orthogonale au vecteur ~n= (a;b;c) admet pour equation a(xx0) +b(yy0) +c(zz0) = 0: Exemple.Vous pouvez verier votre formule sur l'exemple suivant : l'equation du plan passant par le pointM0= (1;2;3) et orthogonal au vecteur~v= (4;5;6) est

4(x1) + 5(y2) + 6(z3) = 0:Reciproquement, on peut montrer que toute equation du typex+y+

z+= 0 est l'equation d'un plan, qui est orthogonal au vecteur (;; Remarque.Nous verrons bient^ot une autre maniere de formuler ce fait : les graphes des fonctions anes de deux variables (c'est-a-dire les fonctions du typef(x;y) =ax+by+c sont des plans.

Equations de droites

Comme nous venons de la voir, dans l'espaceR3, une equation du typex+y+ z+= 0 denit un plan. Pour denir une droite, il faut deux equations. En eet, toute droiteDpeut ^etre vue comme l'intersection de deux plansP1etP2. La droiteDest alors l'ensemble des solutions du systeme a deux equations constitue par des equations deP1etP2. Exemple.DansR3, l'axe (Ox) est l'intersection des plan (Oxy) et (Oxz), c'est-a-dire l'in- tersection des plans d"equationsz= 0 ety= 0. L'axe (Ox) admet donc pour systeme dequationsz= 0 y= 0 Exemple.L'ensemble des points deR3qui verie le systeme d'equations

2x+y+z3 = 0

xy+z1 = 0 est une droite, intersection du planP1d'equation 2x+y+z3 = 0 et du planP2d'equation xy+z4 = 0 (gure ci-dessous).7

Chapitre 5

Fonctions de plusieurs variables :

generalites et representations graphiques

5.1 Fonction, ensemble de denitionDenition(Fonction, ensemble de denition : denition formelle).SoitEun sous-ensemble

deR2. Unefonctionfdenie surEet a valeurs dansRfait correspondre, a tout element(x;y) deE, un unique elementf(x;y)dansR. L'ensembleEest appeleensemble de denitionde f. La fonctionfest une fonction des deux variablesxety. En remplacantEpar un sous-ensemble deR3, on denit de m^eme une notion de fonction de trois variables. En remplacantEpar un sous-ensemble deR4, on denit de m^eme une notion

de fonction de quatre variables.Etc.Denition(Fonction, ensemble de denition : denition pratique).D'un point strictement

mathematique et formel, pour denir une fonction, il faut proceder comme ci-dessus : d'abord se donner un sous-ensemble deR2, puis denir une fonction sur cet ensemble. En pratique (comme vous en avez l'habitude pour les fonctions d'une variable), une fonction de deux va- riables est souvent denie simplement par une formule. Dans ce cas, ce qu'on appelleensemble de denitionde la fonction est l'ensemble des points deR2ou la formule a une sens. Par exemple :

1.f(x;y) =x2+y2est une fonction denie surR2tout entier; autrement dit, l'ensemble

de denition de cette fonction estR2tout entier;

2.f(x;y) = arctanyx

est une fonction denie pourx6= 0, autrement dit, l'ensemble de denition de cette fonction est le planR2prive de l'axe des ordonnees. Bien s^ur, la m^eme remarque s'applique aux fonctions de trois variables; par exemple,f(x;y;z) = 1x

2+y2+z2est une fonction des trois variablesx;y;zdenie pourx2+y2+z26= 0(ce qui est

equivalent a(x;y;z)6= (0;0;0)); l'ensemble de denition de cette fonction est donc l'espace R

3prive de l'origine(0;0;0).

Vous verrez en TD des fonctions denies par des formules simples, et ayant pourtant des ensembles de denitions compliques. Souvent il y a deux etape assez dierentes pour la 8 comprehension de l'ensemble de denition d'une fonctionfde deux variables : d'ab ord,on trou veune equationp ourl'ensem blede d enitionde f(par exemple, l'equationx6= 0 pour la fonction arctanyx puis, il faut utiliser cette equationp ourtracer, dans le plan R2, l'ensemble de denition def(pour la fonction arctanyx , c'est le planR2prive de l'axe des ordonnees). Cette

deuxieme etape est souvent la plus dicile.Fonction de deux variables versus courbes parametrees planes.Attention : fonc-

tions de deux variables et courbes parametrees planes sont des objets tres dierents. Une fonction de deux variables (sous-entendu \a valeurs reelles") est une fonction qui part de R

2(ou une partie deR2) et arrive dansR. Une courbe parametree plane est une fonction

qui part deRet arrive dansR2. Une fonction de deux variables est utilisee pour modeliser une situation ou une quantite reelle (par exemple la temperature de l'air) depend de deux autres quantites reelles (par exemple la latitude et la longitude). Une courbe parametree plane est utilisee pour modeliser une situation ou deux quantites reelles (typiquement l'abscisse et l'ordonnee d'un point) dependent d'une seule autre quantite reelle typiquement le temps).

5.2 GrapheDenition(Graphe).Soitfune fonction de deux variables,Dfson ensemble de denition.

On appellegraphedef, ou surface representative def, l'ensemble des points(x;y;z)de l'espaceR3ou(x;y)est dansDfet qui verient la relationz=f(x;y). Pour comprendre cette notion, il est bon de se rappeler comment on faisait pour tracer le graphe d'une fonction d'une variable : pour chaquexsur son axe, on s'elevait d'une hauteur y=f(x). En deux variables, c'est similaire : pour chaque point (x;y) sur le plan des variables, on s'eleve d'une hauteurz=f(x;y). Remarque.Bien s^ur, on peut denir egalement le graphe d'une fonction de trois, quatre, etc. variables. Helas, le graphe d'une fonction depvariables est un objet de dimensionpqui vit dansRp+1. On ne peut donc pas le visualiser pourp3. C'est pourquoi on ne considerera que des graphes de fonctions de deux variables Exemple de graphes (I) : fonctions anes.Comme en une variable, les fonctions de deux variables les plus simples sont lesfonctions anes (x;y)7!ax+by+c oua;b;csont des constantes. Leur graphes sont des plans. Reciproquement, tout plan (non vertical) est le graphe d'une fonction ane. Ci-dessous, les graphes des fonctionsf1(x;y) = x+yetf2(x;y) =xy+ 2. 9

Exemple de graphe (II) :x2+y2.La gure ci-contre

montre une portion du graphe de la fonctionf(x;y) = x

2+y2(\parabolode a une nappe"). Sur la gure, on a

dessine le plan (Oxy) (\plan des variables"); au dessus de chaque point (x;y) dans ce plan, on place le point de hauteurz=f(x;y). Autrement dit, si on imagine que le graphe est le dessin d'un relief, la fonctionfest la fonction altitude (x;yetant latitude et longitude). Le plan (Oxy) est le plan d'altitudez= 0, graphe de la fonction (x;y)7!

0; pour une carte du relief, il correspond au niveau de la

mer.

Exemple de graphes (III).Les gures ci-dessous

represente successivement la fonction f(x;y) =x2y2(selle de cheval, ou col de montagne ou hyperbolode a une nappe); la fonction f(x;y) =x33 xyy2+x+32 (une presqu'ile avec une montagne, et la mer d'equation z= 0); la fonction f(x;y) = sin(x)sin(y)y(un champ de bosse); la fonction f(x;y) = sin(xy).10

5.3 Lignes de niveau

Le graphe d'une fonction de deux (a fortioritrois, quatre,etc.) variables est beaucoup plus dicile a tracer que le graphe d'une fonction d'une variable : diculte du dessin, et surtout, pas de notion equivalente au tableau de variation des fonctions d'une variable

1. C'est pourquoi

on utilise souvent d'autres modes de representation graphique. Par exemple, la carte de la premiere page ore une representation graphique d'une fonction pressionP(x;y); on a dessine desisobares: un isobare est une courbe sur laquellefest constante. Ce type de representation est tres utilise; par exemple, pour la temperature, on trace les isothermes, courbes sur lesquelles la temperature est constante. Pour les cartes geographique representant le relief, a la place d'une carte en trois dimension (pas pratique a plier), on trace

les courbes d'altitude constante.1. Nous y reviendrons. Le probleme vient du fait que les points deR2ne sont pas ordonnes contrairement

aux points deR. 11 Denition(Lignes de niveau).Soitfune fonction de deux variables, ethun nombre reel. On appelleligne de niveauhde la fonctionfest l'ensemble des points(x;y)du plan(Oxy) en lesquelsfprend la valeurh: L h=f(x;y)tels quef(x;y) =hg: Exemple.Determiner la ligne de niveau 1 de la fonctionf(x;y) =x2+y2? La ligne de niveau 0? La ligne de niveau1? Lien avec le graphe.Le graphe defest l'ensemble des points (x;y;z) tels quez=f(x;y). La ligne de niveauhdefest l'ensemble des points (x;y) tels quef(x;y) =h. Pour passer du graphe defa la ligne de niveauh, il faut donc se restreindre aux points du graphe qui verientz=h, puis oublier la coordonneesz. L'ensemble des points qui veriientz=hest le plan horizontal d'altitudeh. Oublier la coordonneez, c'est projeter sur le plan (Oxy). On voit donc que : 12 La ligne de niveauhdefest obtenue en projetant dans le plan(Oxy)l'intersection du graphe defavec le plan horizontalz=h. Exemple.Ci-dessous, la ligne de niveau 5 de la fonctionf(x;y) =x2+y2, vue comme

intersection du graphe de cette fonction (qui est un parabolode) et du plan dequationz= 5.5.4 Fonctions partielles

Beaucoup de problemes concernant les fonctions de plusieurs variables peuvent se ramener a des problemes concernant les fonctions d'une seule variable. Pour cela, on utilise lesfonctions

partielles, qui sont obtenues en xant la valeur de l'une des variables.Denition(Fonctions partielles).Soitfune fonction de deux variablesx;y, et(x0;y0)un

point du domaine de denition def. On appellefonctions partiellesau point(x0;y0)les deux fonctions f

1:x7!f(x;y0)etf2:y7!f(x0;y)

Exemple.Si l'on reprend notre fonction denie parf(x;y) =x2+y2, qu'on se place au point (0;0), alors : la premi erefonction partielle est f1:x7!f(x;0) =x2(on a xey= 0); la seconde fonction partielle est f2:y7!f(0;y) =y2(on a xex= 0). Test.Donner les fonctions partielles def(x;y) =x2+y2au point (x0;y0) = (1;2). Lien avec le graphe.Fixery=y0revient a se placer dans le plan vertical d'equation y=y0. De m^eme, xerx=x0revient a se placer dans le plan vertical d'equationx=x0. On voit donc que :{Le graphe de la fonction partiellef1:x7!f(x;y0)est la projection dans le plan(Oxz) de l'intersection du graphe defavec le plan vertical d'equationy=y0. {Le graphe de la fonction partiellef2:y7!f(x0;y)est la projection dans le plan(Oyz) de l'intersection du graphe defavec le plan vertical d'equationx=x0. Exemple.Sur la gure ci-dessous, on a represente le graphe de la fonctionf(x;y) =x2+y2 (un parabolode) et le plan d'equationx= 0. Leur intersection est le graphe de la fonction partiellef2:y7!f(0;y) =y2(ce graphe est bien s^ur une parabole). 13 Exercice.Donner les fonctions partielles def(x;y) = sin(x)sin(y), et expliquer l'allure du graphe def. Cas des fonctions de trois variables.Sifest maintenant une fonction de deux variables x;y;z, et (x0;y0;z0) est un point du domaine de denition def, on peut aussi denir des notions de fonctions partielles defen (x0;y0;z0). Mais la situation est plus compliquee : on a trois fonctions partielles de deux variables (x;y)7!f(x;y;z0) (on xe la valeur dez); (y;z)7!f(x0;y;z) (on xe la valeur dex); (x;z)7!f(x;y0;z) (on xe la valeur dey). et trois fonctions partielles d'une variables : x7!f(x;y0;z0) (on xe les valeurs deyetz); y7!f(x0;y;z0) (on xe les valeurs dexetz); z7!f(x0;y0;z) (on xe les valeurs dexety). Bien s^ur en quatre variables, c'est encore plus complique...

5.5 Un danger

Attention, les dierents objets (ensemble de denition, graphe, lignes de niveaux, graphes des fonctions partielles) permettant de representer graphiquement une fonction vivent dans des espaces dierents.Ainsi, pour une fonction de deux variables (x;y)7!f(x;y) : le graphe de fest un sous-ensemble de l'espaceR3muni des coordonnees (x;y;z); l'ensem blede d enitionde fest un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- donnees (x;y); le dessin des lignes de niv eaude fse situe lui-aussi dans le plan horizontal muni des coordonnees (x;y); le dessin du graphe d'une fonction partielle f1:x7!f(x;y0) est un dessin dans un plan vertical muni des coordonnees (x;z); le dessin du graphe d'une fonction partielle f2:y7!f(x0;y) est un dessin dans un plan vertical muni des coordonnees (y;z). Pour chacun des objets graphiques qu'on considere, il ne faut pas se tromper de cadre! 14

Chapitre 6

Fonctions de plusieurs variables :

derivees Lorsqu'on veut des informations sur le comportement d'une fonctiond'une variablex7!f(x) au voisinage d'un pointx0, on peut calculer sa derivee, qui nous une approximation defpar une fonction ane. Cette fonction ane n'est autre que la partie principale du developpement limite a l'ordre 1 def. Graphiquement, cela revient a approcher le graphe defpar sa tangente. On en deduit en particulier le sens de variation defau voisinage dex0. Peut-on decrire une theorie similaire pour une fonction deplusieurs variables? La reponse est armative. Par exemple,f(x;y) est une fonction de deux variable, on va encore pouvoir approcherf(x;y), au voisinage d'un point (x0;y0), par une fonction ane; on obtiendra cette approximation ane en calculant lesderivees partiellesdefau point considere. Le graphe de l'approximation ane sera le plan tangent au graphe def. On pourra aussi en deduire le \sens de variation" defau voisinage de (x0;y0), mais la situation est plus compliquee qu'en dimension 1 : en eet,fpeut ^etre croissante dans certaines directions, et decroissante dans d'autres. Rappelons que l'on suppose tacitement que toutes les fonctions considerees dans la suite admettent des derivees partielles dans toutes les directions et a tous les ordres.

6.1 Derivees partielles

Exemple.Considerons la fonction de deux variables (x;y)7!f(x;y) denie par f(x;y) =x33 xyy3+32 Si l'on xe la valeur de l'une des deux variables, on obtient une fonction d'une variable (c'est une fonction partielle def). On peut alors deriver cette fonction d'une variable. Par exemple, si on xey= 0, alors on obtientf(x;0) =x33 +32
. La derivee de cette fonction de xestx7! x2. La valeur de cette derivee enx= 1 est1. On notera@f@x (1;0) =1. si on xex= 1, alors on obtientf(1;y) =yy3+76 . La derivee de cette fonction de yesty7!13y2. La valeur de cette derivee eny= 0 est 1. On notera@f@y (1;0) = 1. 15 Passons aux denitions formelles. Commencons par le cas d'une fonction de deux variables. Denition(Derivees partielles en un point).Soitfune fonction de deux variables(x;y), denie au voisinage de(x0;y0). Notonsf1:x7!f(x;y0)etf2:y7!f(x0;y)les deux fonctions partielle defau point(x0;y0). On appellederivees partielles defau point (x0;y0) les nombres@f@x (x0;y0) :=f01(x0)et@f@y (x0;y0) :=f02(y0): Remarque.Souvenez-vous que la derivee en un pointz0d'une fonction d'une variablez7! g(z) est denie comme la limite quandhtend vers 0 du taux d'accroissement degentrez0 etz0+h: g

0(z0) = limh!0g(z0+h)g(z0)h

Par consequent, sifest une fonction de deux variables (x;y), les derivees partielles defen un point (x0;y0) peuvent elles-aussi s'ecrire comme des limites de taux d'accroissements; plus precisement, on a : @f@x (x0;y0) = limh!0f(x0+h;y0)f(x0;y0)h et@f@y (x0;y0) = limk!0f(x0;y0+k)f(x0;y0)k Exemple.Calculer les derivees partielles de la fonctiong(x;y) = sin(x+y) +yau point (=2;=2).Denition(Fonctions derivees partielles).Lesfonctions derivees partiellesdefsont les fonctions de deux variables (x;y)7!@f@x (x;y)et(x;y)7!@f@y (x;y):En pratique, on calcule directement les fonctions (x;y)7!@f@x (x;y) et (x;y)7!@f@y (x;y), sansquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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