[PDF] Fonctions affines 2) Définition d'une

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Fonctions affines 1/3 FONCTIONS AFFINES I) Présentation

1) Opérateurs élémentaires

L'opérateur o + 3 est associé à la fonction 3+xxa.

L'opérateur 2

´ o est associé à la fonction linéaire xx2a.

Si l'on fait agir deux opérateurs du type précédent, on obtient une fonction de la forme baxx+a.

Exemples :

· x o + 3 x + 3 2

´ o 2(x + 3) = 2x + 6

· x 2

´ o 2x o + 3 2x + 3

2) Définition d'une fonction affine

Définition : La fonctio définie sur R par f(x) = ax + b est appelée fonction affine.

II) Représentation graphique

Définition : Dans un repère, la représentation graphique de la fonctio définie par f(x) = ax + b est la droite D d'équation y = ax + b. Le nombre a est le coefficient directeur de D. Le nombre b, qui est égal à f(0), est appelé ordonnée à l'origine.

Cas particuliers :

· a = 0 : pour tout x réel, on a alors f(x) = b ; f est dans ce cas une fonction dite constante représentée par une droite

parallèle à l'axe des abscisses d'équation y = b.

· b = 0 : pour tout x réel, on a alors f(x) = ax ; f est dans ce cas une fonction linéaire représentée par une droite

passant par l'origine du repère.

III) Propriétés du coefficient directeur

1) Proportionnalité des accroissements

Propriété : Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b. Pour tous réels x1 et x2, l'accroissement f(x2) - f(x1) est proportionnel à l'accroissement x2 - x1 et le rapport 21

21f()f()xx

xx - est constant et égal au coefficient directeur a de la droite D représentant la fonction f.

Remarque : Le coefficient de proportionnalité reliant x2 - x1 à f(x2) - f(x1) est le coefficient directeur a.

Exemple : Soit f la fonction affine définie par f()21xx=- représentée par la droite d'équation 21yx=-.

L'accroissement des images entre x1 = .1 et x2 = 2 est égal à f(2) . f(.1) soit 6 alors que l'accroissement de la variable est égal à

2 . (.1) soit 3, donc f(x2) . f(x1) = 2J(x2 . x1).

Prenons d'autres valeurs par exemple, x1 = 0 et x2 = 1, on a : f(1) . f(0) = 2 et 1 . 0 = 1, donc (x2) . f(x1) = 2J(x2 . x1). On a bien proportionnalité entre l'accroissement des images { f(x2) - f(x1) } et l'accroissement de la variable { x2 . x1 }et le coefficient de proportionnalité est égal à 2, coefficient directeur de la droite représentant la fonction f. O 1 1

2 . (.1) = 3 f(2) . f(.1) = 6 x

1= .1 x

2=2 y = 2x . 1

Fonctions affines 2/3 2) Interprétation graphique du coefficient directeur

Propriété : Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points de la droite D d'équation y = ax + b représentant la fonction affine f définie par f()xaxb=+. Le coefficient directeur a de la droite D est donné par : BA

BAyyaxx-

Remarque : on peut retenir que déplacement verticalaccroissement des ordonnées déplacement horizonta l accroissement des abscissesBA

BAyyaxx-===-.

Exemples

O1

31+=xy3

13 1=a O3

52+-=xy5

25
2-=a

IV) Sens de variation

Propriété : Soit f une fonction affine définie sur R par f()xaxb=+. · Si a > 0, alors f est croissante sur R.

O baxy+=:Db · Si a < 0, alors f est décroissante sur R. O b baxy+=:D· Si a = 0, alors f est constante sur R. Conséquence graphique et tableau de variation : · Si a > 0, la droite D " monte ». · Si a < 0, la droite D " descend ». x -¥ +¥ Variation de f

Remarque : a désigne un nombre réel.

L'opérateur multiplicatif a

´ o conserve l'ordre, lorsque a > 0.

L'opérateur multiplicatif

a ´ o inverse l'ordre, lorsque a < 0. x -¥ +¥ Variation de f

Fonctions affines 3/3

V) Signe d'une fonction affine

Propriété : Soit f une fonction affine définie sur R par f()xaxb=+ avec a ' 0, f(x) est du signe de a pour les valeurs de x supérieures à la valeur x0 qui annule la fonction f.

Tableau de signe de f(x) en fonction de x : · a > 0 · a < 0

O baxy+=:Db x

0

O b baxy+=:Dx

0

Remarque : La valeur x0 qui annule la fonctio est l'antécédent de 0 par f, mais aussi la solution de l'équation

f(x) = 0, c'est-à-dire de l'équation 0=+bax. x -¥ x0 +¥ Signe de ax + b x -¥ x0 +¥ Signe de ax + b 0 0quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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