[PDF] Suites de fonctions vers une fonction dérivable





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Continuité et dérivabilité dune fonction

7 nov. 2014 Fonction f discontinue en 2 lim x?2+ f (x) = 3 = f (2) ... Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I.



Exemples de fonctions discontinues Continuité et dérivabilité dune

fonction définie par morceaux est continue/dérivable. 1 Deux Rappels et une nouvelle définition. On se donne une fonction f : I ? R définie sur un 



1.5 Les fonctions non dérivables

Certains points d'une courbe peuvent ne pas avoir de dérivée. Les fonctions discontinues sont non dérivables en tout point où elles sont discontinues. Certaines 



Dérivation des fonctions

Si une fonction f est dérivable en x0 alors f est continue en x0. f discontinue aux bornes de l'intervalle f ne s'annule pas.



Leçon 228: Continuité et dérivabilité des fonctions de la variable

26 déc. 2012 Soit f : I ? R une fonction dérivable sur A ? I. La fonction ... 5 (Limite simple d'une suite de fonctions continues qui est discontinue).



Limites continuité

Théor`eme de Rolle et



Fonctions sans primitive

(Pour être dérivable elle doit déjà être continue ce qui suppose c¢ = c Parmi les fonctions discontinues



Une fonction non continue qui admet des primitives Étude dune

dérivables et puisque x x2 est dérivable



FONCTIONS DE CLASSE C1

Une fonction numérique f d?une variable réelle définie sur un intervalle I est dite de classe 1. C si elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée 



Suites de fonctions

vers une fonction dérivable et constater que la suite ( . ?) ??? ne converge pas. Convergence simple vers une fonction discontinue.



[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction définie par morceaux

On rappelle que si une fonction est dérivable sur un intervalle I (ou bien en un réel x0 ? I) alors elle est continue sur l'intervalle I (ou bien en x0 ? I)



[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes

7 nov 2014 · Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I La réciproque de ce théorème est fausse Remarque : La réciproque 



[PDF] Dérivation des fonctions

On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I 



[PDF] 15 Les fonctions non dérivables

Certains points d'une courbe peuvent ne pas avoir de dérivée Les fonctions discontinues sont non dérivables en tout point où elles sont discontinues Certaines 



[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R Définition 3 1 1 Soit f : I ? R une fonction et soit x0 ? I On dit que f est dérivable



[PDF] Fonctions continues et dérivables

Fonctions continues et dérivables Si y = f(x) est une fonction on dit que x est une préimage et y est l'image de cette est discontinue en x = 0



[PDF] Leçon Continuité dérivabilité des fonctions réelles dune variable

Exemple fonction dérivable en 0 mais discontinue ailleurs (propriété ponctuelle) Théorème Théorème fondamental de l'analyse Définition C





[PDF] CONTINUITÉ DES FONCTIONS - maths et tiques

Théorème : Si une fonction est dérivable sur un intervalle alors elle est continue sur cet http://www maths-et-tiques fr/telech/Algo_SolEqua pdf



[PDF] Continuité en un point Contimritê sr:r un intervalle

La fonction racine carrée est contime sur (0 +ool mais n'est pas dérivable en 0 On a ainsi deux exemples de fonctions continues et non dérivables en un point 

  • Comment montrer qu'une fonction est discontinue ?

    La fonction g est discontinue en x0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.

  • Quand une fonction est discontinue ?

    Intuitivement, une fonction discontinue est une fonction dont on ne peut tracer le graphique sans « lever le crayon du papier ». Dans le graphique ci-contre, vous retrouverez une fonction affine par parties présentant des « sauts ».

  • Comment savoir si la fonction est derivable ?

    On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g ? fg g2 . f (x) = ax + b cx + d .

  • Une fonction �� ( �� ) est continue si elle respecte les trois conditions suivantes :

    �� doit être défini en �� ( �� appartient à l'ensemble de définition de �� ) ;l i m ? ? ? �� ( �� ) doit exister ;l i m ? ? ? �� ( �� ) et �� ( �� ) doivent avoir la même valeur.
1

Suites de fonctions

Exercice 1. Convergence uniforme

1. ׊

2. ׊

Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2. Autre outil pour la convergence uniforme Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions définies sur Թା par :

Allez à : Correction exercice 2

Exercice 3. Convergence uniforme et dérivation

ξ௡ sur ቂ-ǡగ

fonction ݂ ࣝଵ.

Allez à : Correction exercice 3

Exercice 4. Convergence uniforme sur un ouvert

Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5. Convergence simple vers une fonction discontinue Etudier la convergence, éventuellement uniforme, des suites de fonctions définies par :

Allez à : Correction exercice 5

Exercice 6. Un cas pathologique

1. Faire une figure pour quelques valeurs de ݊.

3. Préciser si la convergence est uniforme dans les trois cas suivants :

2

Allez à : Correction exercice 6

Exercice 7. Convergence uniforme et intégration

2. Calculer :

Allez à : Correction exercice 7

Exercice 8. On considère la suite de fonctions réelle définies par

Cette suite est-elle ?

Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9. On considère la suite de fonctions réelles définies par

Cette suite est-elle ?

Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10. On considère, pour tout ݊א

déterminera. 3

Allez à : Correction exercice 10

2. Pour ݊אԳכ

Et la limite de ܫ

Allez à : Correction exercice 11

Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.

Allez à : Correction exercice 13

Exercice 14.

Allez à : Correction exercice 14

Corrections

4

Correction exercice 1.

1.

majorer la valeur absolue de cette différence par une expression ne faisant plus apparaître de " ݔ » en

sachant que ݔא

Car ݔא

Car ݁ି௫൑ͳ et ଵ

On en déduit que

Allez à : Exercice 1

2. Soit 5 Donc Comme

Allez à : Exercice 1

Correction exercice 2.

Si ݔ൐- alors

La dérivée est positive pour ݔא

௡ቂ, nulle en ଵ ௡ et négative pour ݔא Donc ݂௡ admet un maximum en ݔ௡ൌଵ

Si ߙ

Si ߙ

Allez à : Exercice 2

Correction exercice 3.

6

1. Pour tout ݔא

మቃ la fonction nulle sur ቂ-ǡగ

évidemment dérivable.

Allez à : Exercice 3

2.

Par conséquent

Et enfin

Allez à : Exercice 3

Correction exercice 4.

Si ݔ൐- alors

7

Etude de ݂௡ sur Թା

Comme sur Թା

conclure Donc

Allez à : Exercice 4

Correction exercice 5.

a) Si ݔא converge simplement vers la fonction ݂ définie par b) Si ݔא Ce qui montre que la suite de fonction converge simplement vers la fonction ݃ définie par Ce qui montre que la suite de fonction converge simplement vers la fonction ݄ définie par 8

Allez à : Exercice 5

Correction exercice 6.

1. Courbes pour ݊ൌͳǡ݊ൌ- et ݊ൌͳ- 2. Si ݔ൐-, il existe ݊଴ tel que ଵ Comme

La convergence est uniforme

ݔ൑- et qui vaut ͳ pour ݔ൐--à-dire une fonction discontinue or les fonctions ݂௡ sont continues,

en ݔൌ- les limites à gauche et à droite valent - et en ݔൌͳ les limites à gauche et à droite valent ͳ, il

Comme

Il y a convergence uniforme.

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -1,5-1-0,500,511,52 9

Allez à : Exercice 6

Correction exercice 7.

1. Pour ݔא

2. ௡ , et pour

Donc il y a convergence uniforme.

Allez à : Exercice 7

Correction exercice 8.

1. Pour tout ݔא

On peut étudier cette fonction (ݔ՜௫

maximum pour ݔൌͳ et alors Ou alors on peut majorer de façon à éliminer les " ݔ » Ainsi On peut faire les deux raisonnements de la question ci-dessus 10

On peut étudier cette fonction (ݔ՜௫

maximum pour ݔൌͳ et alors

Ou alors on peut majorer de façon à éliminer les " ݔ », attention ici, il y a une petite nuance

Mais on aurait aussi pu majorer par ଵ

Ainsi

4. Pour tout ݔא

Là, on va avoir un problème pour majorer cette expression indépendamment de ݔ par une expression qui

tend vers -. gence uniforme, prenons ݔ௡ൌ݊

Ce •—" ne peut pas tendre vers -

Allez à : Exercice 8

Correction exercice 9.

1. Pour tout ݔא

Il faut bien distinguer le cas ݔ്- ݔൌ-, 2.

Etude de la fonction ݔ՜ଵ

Autre méthode

11 de la fonction Elle est décroissante donc elle atteint son •—" pour ݔൌܽ Elle est décroissante donc elle atteint son •—" pour ݔൌͳ

Allez à : Exercice 9

Correction exercice 10.

à priori, prenons la suite ݔ௡ൌଵ Donc

Allez à : Exercice 10

Correction exercice 11.

1. Pour tout ݔא

2. 12 Donc

Allez à : Exercice 11

Correction exercice 12.

indépendante de ݔ qui tendrait vers -, on va donc étudier la fonction 1

On en déduit que le •—" de

2. En réutilisant le calcul ci-dessus

Pour tout ݔ്-

13 par :

Ah bah çà alors quelle surprise !!!!

Allez à : Exercice 12

Correction exercice 13.

Si ଵ

Comme ͳ൅ݔ൐-

Si ݔൌ-

Les fonctions ݂௡ sont continues, si la convergence était uniforme la fonction ݂ serait continue or ݂

pas continue en ݔൌ-

Allez à : Exercice 13

Correction exercice 14.

Convergence simple

Pour tout ݔ il existe ݊଴אԳ tel que ݊଴൐ݔ donc pour tout ݊൐݊଴, ݔא

lorsque ݊ ቀͳെ௫

Convergence uniforme

14

On pose

Donc pour tout ݔא

nulle. supérieur à ݊, mais peu importe.

Deux cas se présentent

Soit

Dans ce cas

Soit

Dans ce cas

Dans tous les cas, que ݔ௡ existe ou pas le maximum éventuel tend vers -

Finalement

Allez à : Exercice 14

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