[PDF] FONCTIONS DE CLASSE C1 Une fonction numérique f





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Continuité et dérivabilité dune fonction

7 nov. 2014 Fonction f discontinue en 2 lim x?2+ f (x) = 3 = f (2) ... Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I.



Exemples de fonctions discontinues Continuité et dérivabilité dune

fonction définie par morceaux est continue/dérivable. 1 Deux Rappels et une nouvelle définition. On se donne une fonction f : I ? R définie sur un 



1.5 Les fonctions non dérivables

Certains points d'une courbe peuvent ne pas avoir de dérivée. Les fonctions discontinues sont non dérivables en tout point où elles sont discontinues. Certaines 



Dérivation des fonctions

Si une fonction f est dérivable en x0 alors f est continue en x0. f discontinue aux bornes de l'intervalle f ne s'annule pas.



Leçon 228: Continuité et dérivabilité des fonctions de la variable

26 déc. 2012 Soit f : I ? R une fonction dérivable sur A ? I. La fonction ... 5 (Limite simple d'une suite de fonctions continues qui est discontinue).



Limites continuité

Théor`eme de Rolle et



Fonctions sans primitive

(Pour être dérivable elle doit déjà être continue ce qui suppose c¢ = c Parmi les fonctions discontinues



Une fonction non continue qui admet des primitives Étude dune

dérivables et puisque x x2 est dérivable



FONCTIONS DE CLASSE C1

Une fonction numérique f d?une variable réelle définie sur un intervalle I est dite de classe 1. C si elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée 



Suites de fonctions

vers une fonction dérivable et constater que la suite ( . ?) ??? ne converge pas. Convergence simple vers une fonction discontinue.



[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction définie par morceaux

On rappelle que si une fonction est dérivable sur un intervalle I (ou bien en un réel x0 ? I) alors elle est continue sur l'intervalle I (ou bien en x0 ? I)



[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes

7 nov 2014 · Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I La réciproque de ce théorème est fausse Remarque : La réciproque 



[PDF] Dérivation des fonctions

On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I 



[PDF] 15 Les fonctions non dérivables

Certains points d'une courbe peuvent ne pas avoir de dérivée Les fonctions discontinues sont non dérivables en tout point où elles sont discontinues Certaines 



[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R Définition 3 1 1 Soit f : I ? R une fonction et soit x0 ? I On dit que f est dérivable



[PDF] Fonctions continues et dérivables

Fonctions continues et dérivables Si y = f(x) est une fonction on dit que x est une préimage et y est l'image de cette est discontinue en x = 0



[PDF] Leçon Continuité dérivabilité des fonctions réelles dune variable

Exemple fonction dérivable en 0 mais discontinue ailleurs (propriété ponctuelle) Théorème Théorème fondamental de l'analyse Définition C





[PDF] CONTINUITÉ DES FONCTIONS - maths et tiques

Théorème : Si une fonction est dérivable sur un intervalle alors elle est continue sur cet http://www maths-et-tiques fr/telech/Algo_SolEqua pdf



[PDF] Continuité en un point Contimritê sr:r un intervalle

La fonction racine carrée est contime sur (0 +ool mais n'est pas dérivable en 0 On a ainsi deux exemples de fonctions continues et non dérivables en un point 

  • Comment montrer qu'une fonction est discontinue ?

    La fonction g est discontinue en x0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.

  • Quand une fonction est discontinue ?

    Intuitivement, une fonction discontinue est une fonction dont on ne peut tracer le graphique sans « lever le crayon du papier ». Dans le graphique ci-contre, vous retrouverez une fonction affine par parties présentant des « sauts ».

  • Comment savoir si la fonction est derivable ?

    On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g ? fg g2 . f (x) = ax + b cx + d .

  • Une fonction �� ( �� ) est continue si elle respecte les trois conditions suivantes :

    �� doit être défini en �� ( �� appartient à l'ensemble de définition de �� ) ;l i m ? ? ? �� ( �� ) doit exister ;l i m ? ? ? �� ( �� ) et �� ( �� ) doivent avoir la même valeur.

FONCTIONS DE CLASSE C1

La notion de classe

1

Cpour une fonction est

présente en analyse (étude de fonctions numériques à une variable réelle, intégrations par parties) et en probabilités (fonction de e variable aléatoire à densité). de plusieurs exercices, nous allons travailler cette notion.

Ces exercices nous permettront

(continuité, dérivabilité, limites, dérivées). Cours

1) Définition

Une fonction numériqueféfinie sur un intervalleIest dite de classe 1 Csi elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée'fest continue sur cet intervalle.

2) Propriétés

a) Si fetgsont deux fonctions de classe 1

Csur un intervalleIalors les

fonctions fgetfgsont de classe 1

CsurI͘

Si de plus

gI, alors f g est de classe 1

CsurI.

b) Si fest une fonction de classe 1

Csur un intervalleIet si gest une

fonction de classe 1

Csur un intervalleJfI ,alors

la fonction gffest de classe 1

CI͘

Remarque.

La fonction

fétant de classe 1

CI, elle est dérivable donc

continue sur cet intervalle.

FONCTIONS DE CLASSE

C 1 (théorème des valeurs intermédiaires), on peut donc affirmer que fIest un intervalle.

Exercice 1

On considère la fonction numériquefde la variable réellextelle que

0 si 0

sinon lnx fx x x 1) f.

2) La fonction

f est-elle dérivable en 0 ?

3) Justifier que la fonction

fest de classe 1

Csur 0,1.

4) Dresser le tableau des variations de la fonction

f. (On y fera apparaître les différentes limites et la valeur defe)

On considère la suite

vtelle que 0 3vet 1 ,ln n n n vnvv 1 ln n v, n 1n v, n

5) Montrer que

n nve , n ve, n v, n

6) Justifier que la suite

vconverge et déterminer sa limite.

Correction

1. lnx x existe si et seulement si 0xet ln 0x. lnx x existe si et seulement si 0xet 1x.

0fexiste donc la fonctionfest définie sur 0,1 1,1,

2. Pour

0

01ln0,1 , 00ln

x x fx f xxxxx puisque 0 limln x x

La fonction

fest donc dérivable en 0 et'0 0f

FONCTIONS DE CLASSE C110

3. La fonctionfest de classe

1

Csur0,1et sur1,comme quotient de

fonctions de classe 1

C0,1 et sur

1,.

Pour établir le caractère

1

Cde la fonctionfsur chaque

intervalle ouvert on utilise les théorèmes généraux rappelés en début de chapitre. 22 2

11lnln 1 1 10,1 1, , 'ln(ln )ln lnxx

xxxfxxxxx 0 limln x x donc 0

1lim 0ln

x x et 20

1lim 0ln

x x

Finalement

0 lim ' 0 ' 0 ' x fx f f continue en 0.

La fonction

fest de classe 1

Csur0,1.

4. 22

1ln 1ln 10,1 1, , 'ln lnxx

xxxfxxx est du signe de ln 1x : ln 1 0 ln 1xxxe ln 1 0 ln 1xxxe

La fonction

fest dérivable donc continue en 0 : 0 lim 0 0 x fx f 1 1 1 lim 1 limlim ln 0 x x x x fxx 1 1 1 lim 1 limlim ln 0 x x x x fxx

11FONCTIONS DE CLASSE C1

lnlim 0 x x x (Limite usuelle)lim x fx x 0 1 e 'fx - - 0 + fx 0 e

5. Montrons le résultat par récurrence. On note

n

Pn v e

Initialisation :

0

3ve , puisque 2.718e.

Hérédité : on suppose que pour un

0n, n ve et on veut montrer que 1n ve Si n ve, alors 1nn fv v fe e car la fonctionfest croissante sur ,e.

Conclusion :

n nve , n ve, n v, n 6. 1

1ln,ln ln

nn nn nn nn vvnvv vvvv nn1n1 v, n vv 1 nn1 1 0 ln 1 1 ln 00 ln 1 0 n nn nnn nn ve ve v v v v ve v

La suite

n vest décroissante et minorée par e : elle converge vers un réel Le. 1 ln n n n vvv . On passe à la limite quand ntend vers : lnLLL car la fonction lnest continue en Le.

On a donc

ln 0 1 ln 0 0lnLLLLLLLLL ou Le. Comme

Le, on a Le : la suite

n vconverge vers e.

FONCTIONS DE CLASSE C112

Exercice 2

Soit f par :

2 1si 0 0si 0 x exfxx x 1.

Montrer que f est impaire et continue sur

2.

Montrer que f est de classe

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