Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 Fonction f discontinue en 2 lim x?2+ f (x) = 3 = f (2) ... Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I.
Exemples de fonctions discontinues Continuité et dérivabilité dune
fonction définie par morceaux est continue/dérivable. 1 Deux Rappels et une nouvelle définition. On se donne une fonction f : I ? R définie sur un
1.5 Les fonctions non dérivables
Certains points d'une courbe peuvent ne pas avoir de dérivée. Les fonctions discontinues sont non dérivables en tout point où elles sont discontinues. Certaines
Dérivation des fonctions
Si une fonction f est dérivable en x0 alors f est continue en x0. f discontinue aux bornes de l'intervalle f ne s'annule pas.
Leçon 228: Continuité et dérivabilité des fonctions de la variable
26 déc. 2012 Soit f : I ? R une fonction dérivable sur A ? I. La fonction ... 5 (Limite simple d'une suite de fonctions continues qui est discontinue).
Limites continuité
Théor`eme de Rolle et
Fonctions sans primitive
(Pour être dérivable elle doit déjà être continue ce qui suppose c¢ = c Parmi les fonctions discontinues
Une fonction non continue qui admet des primitives Étude dune
dérivables et puisque x x2 est dérivable
FONCTIONS DE CLASSE C1
Une fonction numérique f d?une variable réelle définie sur un intervalle I est dite de classe 1. C si elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée
Suites de fonctions
vers une fonction dérivable et constater que la suite ( . ?) ??? ne converge pas. Convergence simple vers une fonction discontinue.
[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction définie par morceaux
On rappelle que si une fonction est dérivable sur un intervalle I (ou bien en un réel x0 ? I) alors elle est continue sur l'intervalle I (ou bien en x0 ? I)
[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes
7 nov 2014 · Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I La réciproque de ce théorème est fausse Remarque : La réciproque
[PDF] Dérivation des fonctions
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I
[PDF] 15 Les fonctions non dérivables
Certains points d'une courbe peuvent ne pas avoir de dérivée Les fonctions discontinues sont non dérivables en tout point où elles sont discontinues Certaines
[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R Définition 3 1 1 Soit f : I ? R une fonction et soit x0 ? I On dit que f est dérivable
[PDF] Fonctions continues et dérivables
Fonctions continues et dérivables Si y = f(x) est une fonction on dit que x est une préimage et y est l'image de cette est discontinue en x = 0
[PDF] Leçon Continuité dérivabilité des fonctions réelles dune variable
Exemple fonction dérivable en 0 mais discontinue ailleurs (propriété ponctuelle) Théorème Théorème fondamental de l'analyse Définition C
[PDF] Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d - AGREGMATHS
Il existe une fonction f continue sur R
[PDF] CONTINUITÉ DES FONCTIONS - maths et tiques
Théorème : Si une fonction est dérivable sur un intervalle alors elle est continue sur cet http://www maths-et-tiques fr/telech/Algo_SolEqua pdf
[PDF] Continuité en un point Contimritê sr:r un intervalle
La fonction racine carrée est contime sur (0 +ool mais n'est pas dérivable en 0 On a ainsi deux exemples de fonctions continues et non dérivables en un point
Comment montrer qu'une fonction est discontinue ?
La fonction g est discontinue en x0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.Quand une fonction est discontinue ?
Intuitivement, une fonction discontinue est une fonction dont on ne peut tracer le graphique sans « lever le crayon du papier ». Dans le graphique ci-contre, vous retrouverez une fonction affine par parties présentant des « sauts ».Comment savoir si la fonction est derivable ?
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g ? fg g2 . f (x) = ax + b cx + d .Une fonction ( ) est continue si elle respecte les trois conditions suivantes :
doit être défini en ( appartient à l'ensemble de définition de ) ;l i m ? ? ? ( ) doit exister ;l i m ? ? ? ( ) et ( ) doivent avoir la même valeur.
Dérivation des fonctions
Aimé Lachal
Cours de mathématiques
1 ercycle, 1reannéeSommaire
1Dérivabilité en un point
Nombre dérivé
Dérivabilité à gauche/à droite
Interprétation graphique
Fonctions à valeurs complexes
2Dérivabilité sur un intervalle
Opérations
Dérivation d"une réciproque
Extremum d"une fonction
Théorème de Rolle
Théorème des accroissements finis
Dérivée et variations
Limite de la dérivée3Dérivation d"ordre supérieurDérivées successives
ClasseCnOpérations
4Convexité d"une fonction
Fonctions convexes
Point d"inflexion
5Compléments
Règle de L"Hospital
Sommaire
1Dérivabilité en un point
Nombre dérivé
Dérivabilité à gauche/à droite
Interprétation graphique
Fonctions à valeurs complexes
2Dérivabilité sur un intervalle
3Dérivation d"ordre supérieur
4Convexité d"une fonction
5Compléments
1. Dérivabilité en un pointa) Nombre dérivé
Dans ce qui suit, sauf indication contraire,Idésigne un intervalle deRnonréduit à un point,fune application deIdansRetx0un point deI.Définition 1.1 (Dérivabilité)
Pour tout x?I\{x0}, on appelletaux d"accroissement defffentrex0x0x0etxxx le rapportτx0(x) =f(x)-f(x0)x-x0. On dit que f estdérivable enx0x0x0si l"applicationτx0admet une limitefinieen x0.On note alors cette limite f
?(x0)f?(x0)f?(x0)et on l"appelle lenombre dérivé defffenx0x0x0: f ?(x0) = limx→x0x?=x0f(x)-f(x0)x-x0= limh→0 h?=0f(x0+h)-f(x0)h Si x0est une borne de l"intervalle I, la limite deτx0en x0est supposée être une
limite à gauche ou une limite à droite selon le cas de figure.11. Dérivabilité en un pointa) Nombre dérivé
Corollaire 1.2 (Dérivabilité=?=?=?continuité)Si une fonction f estdérivableen x0alors f estcontinueen x0.
Attention, laréciproquede cette implication estfausse. Par exemple, pourf(x) =|x|et x0=0, la fonction f estcontinuemaispas dérivableen x0.Exemple 1.3 (Fonction puissance)
Soitn?N,f(x) =xnetx0?R. Les deux formulations conduisent àf?(x0) =nxn-1 0:0-→x→x0nxn-1
0; f(x0+h)-f(x0)h =(x0+h)n-xn0h =n 1 x n-1 0+n 2 x n-20h+···+n
n h n-1-→h→0nxn-10.Exemple 1.4 (Fonction sinus)
Soitf(x) = sinxetx0?R. Les deux formulations conduisent àf?(x0) = cosx0.En effet, à l"aide delimh→0sinhh
=1 etlimh→0cosh-1h =0 : f(x)-f(x0)x-x0=sinx-sinx0x-x0=2cosx+x02 sinx-x02 x-x0-→x→x0cosx0; +cosx0sinhh h→0cosx0.21. Dérivabilité en un pointb) Dérivabilité à gauche, à droite
Définition 1.5 (Dérivabilité à gauche, à droite) On dit que f estdérivable à gauche enx0x0x0(resp.dérivable à droite enx0x0x0) lorsque x0admet une limitefinieà gauche en x0(resp. une limitefinieà droite en x0).On note alors f
?g(x0) = lim x→x-0f(x)-f(x0)x-x0et f?d(x0) = lim
x→x+0f(x)-f(x0)x-x0.Proposition 1.6
Si f est définiedans un voisinage dex0x0x0:
f estdérivableen x0ssi f estdérivable à gauche et à droiteen x0et f ?g(x0)=f?d(x0).On a alors f
?(x0) =f?g(x0) =f?d(x0).Exemple 1.7 (Valeur absolue)Soitfla fonction "valeur absolue» :f(x) =|x|.
On a f(x)-f(0)x +1 six>0 -1 six<0puislim x→0+f(x)-f(0)x =+1,lim x→0-f(x)-f(0)x =-1. Ainsifest dérivableà droite et à gaucheen 0 :f?d(0) = +1 etf?g(0) =-1, maisf?g(0)?=f?d(0)doncfn"estpasdérivable en 0.31. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique
Définition 1.8 (Tangente)
On munit le plan d"un repère orthonormal.
1Si f est une fonctiondérivableen x0, la droite
d"équation y=f?(x0)(x-x0) +f(x0)est appeléetangenteà la courbe représentative de f au point d"abscisse x 0.C"est la position limite descordesreliant
un point de la courbe M(x,f(x))au point M0(x0,f(x0))lorsque M tend vers M0.x
0xf(x0)f(x)M
0MDans le cas d"unedérivabilitéde f
uniquementà gauche ou à droiteen x0, on parle dedemi-tangente.2Dans le cas oùlim x→x-0ou x+
0f(x)-f(x0)x-x0=±∞, on dit que la courbe représentative
de f admet unedemi-tangente verticaleen x0.3Si f estcontinueen x0etdérivable à gauche et à droiteen x0avec f?g(x0)?=f?d(x0)
on dit que la courbe représentative de f admet unpoint anguleuxen x0.41. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique
Proposition 1.9 (Approximation affine)
Supposons fdérivableen x0. Alors il existe une applicationεdéfinie dans un voisinage de x0aveclimx0ε=0telle que
au voisinage de x0,f(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0) + (x-x0)ε(x).x
0M0f(x0)xMf(x)f(x0)+f0(x0)(xx0)f
0(x0)(xx0)"(x)(xx0)C
fT La droiteTd"équation y=f(x0) +f?(x0)(x-x0)est latangenteà la courbe représentativeCfde f (cf. Définition1.8 ). Remarque :la relation f(x) =x→x0f(x0) +f?(x0)(x-x0) + (x-x0)ε(x)est appelée développement limité d"ordre 1 defffenx0x0x0(cf. chapitre " Développements limités »).51. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique
Exemple 1.10 (Raccord dérivable)
Soitf(x) =(
x2six61, -x2+4x-2 six>1. fest continue surR; on af(x)-f(1)x-1=( x+1 six<1, -x+3 six>1, puislimx→1 x<1f(x)-f(1)x-1= limx→1 x>1f(x)-f(1)x-1=2; doncfest dérivable à droite et à gauche en 1 et f ?g(1)=f?d(1)=2. Ainsifest dérivable en 1 etf?(1)=2; la courbe admet la droite d"équationy=2x-1 pourtangenteau point de coordonnées(1,1).xf(x)11 Exemple 1.11 (Fonctions non dérivables en un point)1Soitg(x) =3⎷x. On alimx→0g(x)-g(0)x
donc la courbe admet unetangente verticaleen l"origine.xy y=3px2Soith(x) =|sinx|. On alim
x→0±h(x)-h(0)x =±1 donc la courbe admet unpoint anguleuxen l"origine.xy y=jsinxj 61. Dérivabilité en un pointd) Fonctions à valeurs complexes
On peut étendre la notion de dérivabilité aux fonctions definies surRà valeursdansCen utilisant les limites complexes des fonctions deRdansC.Proposition 1.12 (Dérivée d"une fonction à valeurs complexes)
Soit f une fonction de I dansCtelle que f(x) =f1(x) +if2(x), où f1et f2sont deux fonctions de I dansRet x0?I.La fonction f est dérivable en x
0ssi f1et f2le sont, et l"on a alors
f ?(x0) =f?1(x0) +if?2(x0).Proposition 1.13 (Dérivation de l"exponentielle complexe) Rappelons que pour tout z=a+ib?C,ez=ea(cosb+isinb)(exponentielle complexe). Soitλ?Cet f définie par?x?R,f(x) =eλx. Alors ?x?R,f?(x) =λeλx.7Sommaire
1Dérivabilité en un point
2Dérivabilité sur un intervalle
Opérations
Dérivation d"une réciproque
Extremum d"une fonction
Théorème de Rolle
Théorème des accroissements finis
Dérivée et variations
Limite de la dérivée
3Dérivation d"ordre supérieur
4Convexité d"une fonction
5Compléments
2. Dérivabilité sur un intervallea) Opérations
Définition 2.1 (Dérivabilité sur un intervalle) On dit qu"une fonction f estdérivable sur un intervalle Ilorsque f est dérivable en tout point de I. On note f?lafonction dérivéede f qui à tout x?I associe f?(x).Proposition 2.2 (Addition, multiplication, division)
Soit f et g deux fonctionsdérivablessur un intervalle I etλ?R. Les fonctionsλf , f+g, f×g sont alorsdérivablessur I et l"on a :Si g ne s"annule pas sur I,
fg est aussidérivablesur I etfg =f?g-fg?g2.Exemple 2.3 (Fonctions homographiques)
Soita,b,c,d?R,cétantnon nul.On définit la fonctionfpar f(x) =ax+bcx+d.Son ensemble de définition estDf=R\{-dc
La fonctionfestdérivablesurDfcomme quotient de fonctions dérivables et f ?(x) =ad-bc(cx+d)2. Remarque :fest constante ssi les couples(a,b)et(c,d)sont proportionnels.82. Dérivabilité sur un intervallea) Opérations
Proposition 2.4 (Composition)
Soit I et J deux intervalles, f une fonction de I dans J et g une fonction de J dansR. Si f estdérivablesur I et g estdérivablesur J alors g◦f estdérivablesur I et l"on a laformule de dérivation d"une fonction composée: (g◦f)?=f?×(g?◦f).Exemple 2.5 (Composées usuelles)Lorsque les conditions le permettent, on a :
•(ef)?=f?ef•(ln|f|)?=f?f •(fα)?=αf?fα-12fRemarque 2.6
Les conditionsfetgdérivables sontsuffisantesmaisnon nécessairespour queg◦fsoit dérivable.Par exemple, soitaetbdeux réels et
f(x) =axsix60 bxsix>0etg(x) =bxsix60 axsix>0. La fonctionh=f◦g=g◦fest définie parh(x) = (ab)x. Ainsi, lorsquea?=b,fetgnesontpasdérivables en 0 alors quehl"est.xyy=f(x)y=g(x)y=(gf)(x)Oquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] cycle acrosport niveau 3
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