[PDF] Fonctions usuelles et réciproques Fiche de cours

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Fonctions usuelles

et réciproquesFiche de cours

1. Bijection : Définitions

Définitions et propriétés

Dans la suite, on supposera que E et F deux ensembles et quefest une application : f:E-→F x?-→f(x)SiA?E, on appelleimage deApar l"applicationfle sous-ensemble deFdéfini par : f(A) ={f(x)?F;x?A}.Définition 1.Image

SoitI,Jdeux intervalles deR.uetvdeux fonctions à valeurs réelles définies respectivement surI

etJtels queu(I)?J.

On définit la fontion composéev◦upar :

u◦v:I-→R x?-→u(v(x)).Définition 2.Comp osition La fonctionfest ditebijectivesi l"une de ces propriétés équivalentes est vérifiée : •Pour touty?F, l"équationf(x) =yd"inconnuex?Eadmet une unique solution. •Il existe une applicationgdeFdansEtel quefog=idFetgof=idE.

Dans ce cas,gest unique, et appeléefonction réciproque defet se notef-1.Définition 3.Bi jection

3

Conseils méthodologiques

Déterminer la réciproque d"une fonction bijective Sifest une fonction bijective deEdansFalorsf-1est définie deFdansE. Pour déterminer l"image d"un élément deFparf-1, on résout l"équation d"inconnuexdansE: f(x) =y??x=f-1(y).

Autrement ditf-1(y)est l"unique solution de l"équationf(x) =y.2. Fonctions exponentielle et logarithme

Fonction exponentielleLa fonctionexponentielle, notéeexp, est l"unique fonctionydérivable vérifiant :

??x?R, y?(x) =y(x) y(0) = 1.Définition 4.F onctionexp onentielle

1.expest une bijection strictement croissante deRsur]0,+∞[.

2.limx→-∞exp(x) = 0etlimx→+∞exp(x) = +∞.

3.?(x,y)?R2,exp(x+y) = exp(x)×exp(y).

4.expest dérivable surRet?x?R,exp?(x) = exp(x).Proposition 1.

Résoudre une équation avec une exponentielle

La résolution des équations d"inconnueexoulnxpasse très régulièrement par le changement d"inconnue

X=exouX= lnx.

Fonction logarithme

La fonctionlogarithme népérienpeut être définie comme l"unique primitive dex?→1x sur]0,+∞[ qui s"annule en1. Notéeln, elle est donc définie sur]0,+∞[par : ln(x) =? x 11t dt. L"application réciproque delnest la fonction exponentielle c"est-à-dire ?x?R,?y?]0,+∞[,exp(x) =y??x= lny.Définition 5.F onctionlogarithme nép érien ?x,y?]0,+∞[,ln(xy) = ln(x) + ln(y).Proposition 2. lnest une bijection strictement croissante de]0,+∞[surR. De plus,limx→+∞ln(x) = +∞etlimx→0ln(x) =-∞Proposition 3.

Dérivée d"une composée

SoitIetJdeux intervalles deR,u:I-→Retv:J-→Rdeux fonctions tels queu(I)?J.

Si les fonctionsuetvsont dérivables sur leur ensemble de définition alorsu◦vest dérivable surIet

?x?I,(u◦v)?(x) =u?◦v(x)×v?(x).Proposition 4.

3. Fonctions trigonométriques

Définitions et propriétésDans le plan muni d"un repère orthonormé di- rect(O,-→i ,-→j), on considère un cercle orienté de centre O et de rayon 1. Soitxun réel etM un point qui lui est associé.

On appellecosinusdexetsinusdexles co-

ordonnées deMdans le repère(O,-→i ,-→j).

Le pointMest alors de coordonnées

(cos(x),sin(x)).Définition 6.F onctionssin uset cosin us Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur

R,2π-périodiques.

?x?R,cos(x+ 2π) = cos(x)et sin(x+ 2π) = sin(x).

De plus, la fonction sinus est impaire et la

fonction cosinus est paire. ?x?R,cos(-x) = cos(x)et sin(-x) =-sin(x).Proposition 5. Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables surRet cos ?=-sinetsin?= cos.Proposition 6.Déri véedes fonctions sin uset cosin us t0 π6 π4 π3 π2

2π3

3π4

5π6

πcos(t)1

⎷3 2 ⎷2 2 12 0-12 -⎷2 2 -⎷3 2 -1sin(t)0 12 ⎷2 2 ⎷3 2

1⎷3

2 ⎷2 2 12

0tan(t)0

⎷3 3

1⎷3n.d-⎷3-1-⎷3

3

0Pourθnon congru àπ2

modulo

π, on pose :

tanθ=sinθcosθ.Définition 7.T angented"un angle

La fonction tan, définie surR-?π2

+kπ, k?Z? estπ-périodique et impaire. Pour toutk?Z, elle est dérivable surIk=? -π2 +kπ,π2 +kπ? et : ?x?Ik,tan?(x) = 1 + tan2(x) =1cos 2(x); elle est donc strictement croissante surIket, en particulier, surI0=? -π2 ,π2 .Théorème 7.

Courbe de la fonction tangente

-P ourtout réel θ?≡π2 [π], on a : tan(-θ) =-tan(θ),tan(π+θ) = tan(θ)ettan(π-θ) =-tan(θ).

P ourtout réel θ?≡0?π2

, on atan?π2 =1tan(θ).Proposition 8.

Théorèmes

Les formules suivantes sont à connaître par coeur.

1.sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a);

2.sin(a-b) = sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a);

3.cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b);

4.cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b);

5.tan(a+b) =tan(a) + tan(b)1-tan(a)tan(b);6.tan(a-b) =tan(a)-tan(b)1 + tan(a)tan(b).

7.sin(2a) = 2sin(a)cos(a).

8.cos(2a) = cos2a-sin2a= 2cos2a-1 =

1-2sin2a.

9.tan(2a) =2tan(a)1-tan2a.Proposition 9.

Les formules suivantes sont à connaître par coeur.

1.cos(a)cos(b) =12

(cos(a+b) + cos(a-b)).

2.sin(a)sin(b) =12

(cos(a-b)-cos(a+b)).

3.sin(a)cos(b) =12

(sin(a+b) + sin(a-b)).

4.sin(a) + sin(b) = 2sin(a+b2

)cos(a-b2

5.sin(a)-sin(b) = 2sin(a-b2

)cos(a+b2

6.cos(a) + cos(b) = 2cos(a+b2

)cos(a-b2

7.cos(a)-cos(b) =-2sin(a+b2

)sin(a-b2 ).Proposition 10.

4. Dérivation et fonction réciproque

ThéorèmesConsidéronsfune fonction dérivable sur un intervalleIdeRtelle que?x?I,f?(x)>0. La fonction

fest alors bijective deIdansJ=f(I)et sa réciproquef-1est dérivable surJet ?y?J, f-1?(y) =1f ?of-1(y).Proposition 11.

L"application

tan :?-π2 ,π2 ?-→R x?-→tan(x)est continue sur l"intervalle?-π2 ,π2 ?, strictement crois- sante, etlimx→-π2 tanx=-∞,limx→π2 tanx=∞; l"applicationtanadmet donc une réciproque, notée

Arctan:R-→?-π2

,π2 x?-→Arctan(x)et Arctan est continue surR. On a ainsi : ?(x,y)?R×? -π2 ,π2 ,(y=Arctan(x)??x= tany). Arctan est impaire. Puisque tan est dérivable sur ?-π2 ,π2 ?et que?y??-π2 ,π2 ?,tan?y= 1+tan2y?= 0,

Arctan est dérivable surRet :

?x?R,Arctan?(x) =1tan ?(Arctanx)=11 + tan

2(Arctanx)=11 +x2.Fonction Arctan

Conseils méthodologiques

Représenter une fonction réciproque

Les représentations des courbes de deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à l"axey=x.Calculer avec les fonctions réciproques

Attention, pour toutxréel,tan(Arctan(x)) =x(car l"Actant est définie surR) mais Arctan(tanπ)?=

π. Il faut bien faire attention aux ensembles où les fonctions sont bijections. Par contre, on a toujours

Arctan(tanx) =xpourx?]-π/2,π/2[.

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