[PDF] [PDF] Suites de fonctions - Licence de mathématiques Lyon 1





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1 Convergence simple et convergence uniforme 2 Crit`eres de

x ? E la suite fn(x) est convergente sa limite f(x) est une fonction de x et Étudier la convergence simple puis uniforme sur R des suites de fonctions ...



Suites et séries de fonctions

7 oct. 2019 2 Convergence uniforme. 2.1 Définition et exemples. On a vu que la convergence simple d'une suite ou d'une série de fonctions est une notion.



Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions

Convergence uniforme d'une suite de fonctions : Définition : soit la suite de fonctions de dans et sa limite simple. On dit que converge uniformément vers 



Notes du Cours Analyse et Convergence II Math203

Montrer que la suite de fonctions (x ?? xn)n converge uni- formément sur [0a]. Y-a-t-il convergence uniforme sur [0



1 Convergence simple et uniforme de suite de fonctions

Donner un exemple de suite de fonctions qui converge simplement sur R mais pas uniformément. Exercice 2. Etudier la convergence simple et uniforme sur [01] 



Suites de fonctions

Exercice 5. Convergence simple vers une fonction discontinue. Etudier la convergence éventuellement uniforme



Chapitre 3 - Suites et séries de fonctions

convergente ainsi qu'un crit`ere plus contraignant de convergence la convergence uniforme. Définition 3.1.1. (convergence simple d'une suite de fonctions).



Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions. 6.1 Convergence simple uniforme d'une suite de fonctions. Dans ce paragraphe



Chapitre 10 :Suites et séries de fonctions

L'étude de la convergence simple correspond à celle d'une suite ou d'une série II Convergence uniforme des suites et séries de fonctions.



Convergences simple et uniforme

Convergence simple convergence uniforme. 1.1. Suites de fonctions. Définition 1 : Soit X un ensemble



[PDF] Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions

Convergence uniforme d'une suite de fonctions : Définition : soit la suite de fonctions de dans et sa limite simple On dit que converge uniformément vers 



[PDF] Suites de fonctions - Licence de mathématiques Lyon 1

Exercice 5 Convergence simple vers une fonction discontinue Etudier la convergence éventuellement uniforme des suites de fonctions définies par :



[PDF] Suites de fonctions Chapitre 12 I Convergence simple et uniforme

10 août 2022 · ? L'interprétation de la convergence uniforme lorsque X = R et E = R est la suivante : si (fn) converge uniformément vers f alors pour tout ? 



[PDF] 1 Convergence simple et convergence uniforme 2 Crit`eres - LMPA

Étudier la convergence simple puis uniforme sur R des suites de fonctions définies par fn(x) = ? x2 + 1 n2 et gn(x) = fn(x) Correction :



[PDF] Suites et séries de fonctions

13 déc 2015 · La suite de fonctions fn converge-t-elle uniformément vers f sur E? Exercice 2 6 12 (Convergence simple et convergence uniforme) Pour tout n ? 



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La différence entre convergence simple et convergence uniforme sur A c'est-à-dire entre (1) et (2) est que dans (1) le n0 dépend de ™ et de x alors que pour 



[PDF] Convergences simple et uniforme

Convergence simple convergence uniforme 1 1 Suites de fonctions Définition 1 : Soit X un ensemble (f n ) une suite de fonctions de X dans F On dit 



[PDF] Suites et séries de fonctions

7 oct 2019 · Pour avoir convergence uniforme il faut non seulement avoir convergence simple mais de plus la vitesse de convergence de fn(x) vers f(x) doit 



[PDF] Suites et séries de fonctions - Xiffr

Étudier la convergence simple et uniforme sur R de la suite de fonctions (fn) donnée par fn(x) = sinn(x) cos(x) Exercice 14 [ 02518 ] [Correction]



[PDF] Suites et séries de fonctions

Dans le convergence simple le « N » dépend du x et du ? choisi tandis qu'il ne dépend que du ? dans le cas de la convergence uniforme voir remarque 6 1 X y = 

  • Comment montrer la convergence simple d'une suite de fonction ?

    Définition : Soit I un intervalle de R , (fn) une suite de fonctions définies sur I , et f définie sur I . On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si pour tout x appartenant à I, la suite (fn(x)) ( f n ( x ) ) converge vers f(x) . Ex : I=[0,1] I = [ 0 , 1 ] et fn(x)=xn f n ( x ) = x n .

  • Comment calculer la convergence simple ?

    Série géométrique. La somme partielle est définie par S n ( x ) = 1 ? x n + 1 1 ? x pour tout x ? 1 et S n ( 1 ) = n + 1 . La série numérique ( ? x n ) converge si et seulement si , donc pour x ? ] ? 1 , 1 [ . La fonction reste d'ordre n est ici explicitable : R n ( x ) = x n + 1 1 ? x .

  • Comment calculer la convergence uniforme ?

    Convergence simple et convergence uniforme
    Soit ( ? f n ) une série de fonctions qui converge simplement. Alors elle converge uniformément si et seulement si la suite des restes partiels ( ) converge uniformément vers la fonction nulle. Cela est évident car R n = S ? S n .

  • sont d'autres variables aléatoires telles que pour tout et , alors converge aussi vers .

    Convergence essentiellement uniforme (ou L?)Convergence en moyenne d'ordre p (ou Lp)Convergence presque sûre.Convergence en probabilitéConvergence en loi.
1

Suites de fonctions

Exercice 1. Convergence uniforme

1. ׊

2. ׊

Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2. Autre outil pour la convergence uniforme Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions définies sur Թା par :

Allez à : Correction exercice 2

Exercice 3. Convergence uniforme et dérivation

ξ௡ sur ቂ-ǡగ

fonction ݂ ࣝଵ.

Allez à : Correction exercice 3

Exercice 4. Convergence uniforme sur un ouvert

Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5. Convergence simple vers une fonction discontinue Etudier la convergence, éventuellement uniforme, des suites de fonctions définies par :

Allez à : Correction exercice 5

Exercice 6. Un cas pathologique

1. Faire une figure pour quelques valeurs de ݊.

3. Préciser si la convergence est uniforme dans les trois cas suivants :

2

Allez à : Correction exercice 6

Exercice 7. Convergence uniforme et intégration

2. Calculer :

Allez à : Correction exercice 7

Exercice 8. On considère la suite de fonctions réelle définies par

Cette suite est-elle ?

Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9. On considère la suite de fonctions réelles définies par

Cette suite est-elle ?

Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10. On considère, pour tout ݊א

déterminera. 3

Allez à : Correction exercice 10

2. Pour ݊אԳכ

Et la limite de ܫ

Allez à : Correction exercice 11

Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.

Allez à : Correction exercice 13

Exercice 14.

Allez à : Correction exercice 14

Corrections

4

Correction exercice 1.

1.

majorer la valeur absolue de cette différence par une expression ne faisant plus apparaître de " ݔ » en

sachant que ݔא

Car ݔא

Car ݁ି௫൑ͳ et ଵ

On en déduit que

Allez à : Exercice 1

2. Soit 5 Donc Comme

Allez à : Exercice 1

Correction exercice 2.

Si ݔ൐- alors

La dérivée est positive pour ݔא

௡ቂ, nulle en ଵ ௡ et négative pour ݔא Donc ݂௡ admet un maximum en ݔ௡ൌଵ

Si ߙ

Si ߙ

Allez à : Exercice 2

Correction exercice 3.

6

1. Pour tout ݔא

మቃ la fonction nulle sur ቂ-ǡగ

évidemment dérivable.

Allez à : Exercice 3

2.

Par conséquent

Et enfin

Allez à : Exercice 3

Correction exercice 4.

Si ݔ൐- alors

7

Etude de ݂௡ sur Թା

Comme sur Թା

conclure Donc

Allez à : Exercice 4

Correction exercice 5.

a) Si ݔא converge simplement vers la fonction ݂ définie par b) Si ݔא Ce qui montre que la suite de fonction converge simplement vers la fonction ݃ définie par Ce qui montre que la suite de fonction converge simplement vers la fonction ݄ définie par 8

Allez à : Exercice 5

Correction exercice 6.

1. Courbes pour ݊ൌͳǡ݊ൌ- et ݊ൌͳ- 2. Si ݔ൐-, il existe ݊଴ tel que ଵ Comme

La convergence est uniforme

ݔ൑- et qui vaut ͳ pour ݔ൐--à-dire une fonction discontinue or les fonctions ݂௡ sont continues,

en ݔൌ- les limites à gauche et à droite valent - et en ݔൌͳ les limites à gauche et à droite valent ͳ, il

Comme

Il y a convergence uniforme.

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -1,5-1-0,500,511,52 9

Allez à : Exercice 6

Correction exercice 7.

1. Pour ݔא

2. ௡ , et pour

Donc il y a convergence uniforme.

Allez à : Exercice 7

Correction exercice 8.

1. Pour tout ݔא

On peut étudier cette fonction (ݔ՜௫

maximum pour ݔൌͳ et alors Ou alors on peut majorer de façon à éliminer les " ݔ » Ainsi On peut faire les deux raisonnements de la question ci-dessus 10

On peut étudier cette fonction (ݔ՜௫

maximum pour ݔൌͳ et alors

Ou alors on peut majorer de façon à éliminer les " ݔ », attention ici, il y a une petite nuance

Mais on aurait aussi pu majorer par ଵ

Ainsi

4. Pour tout ݔא

Là, on va avoir un problème pour majorer cette expression indépendamment de ݔ par une expression qui

tend vers -. gence uniforme, prenons ݔ௡ൌ݊

Ce •—" ne peut pas tendre vers -

Allez à : Exercice 8

Correction exercice 9.

1. Pour tout ݔא

Il faut bien distinguer le cas ݔ്- ݔൌ-, 2.

Etude de la fonction ݔ՜ଵ

Autre méthode

11 de la fonction Elle est décroissante donc elle atteint son •—" pour ݔൌܽ Elle est décroissante donc elle atteint son •—" pour ݔൌͳ

Allez à : Exercice 9

Correction exercice 10.

à priori, prenons la suite ݔ௡ൌଵ Donc

Allez à : Exercice 10

Correction exercice 11.

1. Pour tout ݔא

2. 12 Donc

Allez à : Exercice 11

Correction exercice 12.

indépendante de ݔ qui tendrait vers -, on va donc étudier la fonction 1

On en déduit que le •—" de

2. En réutilisant le calcul ci-dessus

Pour tout ݔ്-

13 par :

Ah bah çà alors quelle surprise !!!!

Allez à : Exercice 12

Correction exercice 13.

Si ଵ

Comme ͳ൅ݔ൐-

Si ݔൌ-

Les fonctions ݂௡ sont continues, si la convergence était uniforme la fonction ݂ serait continue or ݂

pas continue en ݔൌ-

Allez à : Exercice 13

Correction exercice 14.

Convergence simple

Pour tout ݔ il existe ݊଴אԳ tel que ݊଴൐ݔ donc pour tout ݊൐݊଴, ݔא

lorsque ݊ ቀͳെ௫

Convergence uniforme

14

On pose

Donc pour tout ݔא

nulle. supérieur à ݊, mais peu importe.

Deux cas se présentent

Soit

Dans ce cas

Soit

Dans ce cas

Dans tous les cas, que ݔ௡ existe ou pas le maximum éventuel tend vers -

Finalement

Allez à : Exercice 14

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