[PDF] Notes du Cours Analyse et Convergence II Math203

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Notes du Cours

Analyse et Convergence II

Math203

Thierry Ramond

Mathematiques

Universite Paris Sud

e-mail: thierry.ramond@math.u-psud.fr version du 6 fevrier 2015

Table des matieres

1 Suites de fonctions 3

1.1 Quelques rappels sur les suites numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2 Comment montrer qu'une suite numerique converge? . . . . . . . . . .

4

1.2 Notion de suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1 Distance entre courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2 Denition de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1 Un exemple : la suite de fonctions (xn)n. . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.4.2 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.1 Des triangles glissants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.2fn(x) =xn+x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.5.3fn(x) =xenx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

2 Proprietes de la limite 14

2.1 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2 Integrabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3 Derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3 Series de Fonctions 19

3.1 Quelques rappels sur les series numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2 Notion de serie de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

TABLE DES MATI

ERES 23.3 Notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

3.4 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.5 Proprietes de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.6 A propos des series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.7 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

4 Fonctions denies par des integrales a parametre 28

4.1 Integrales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.1.1 Notion de continuite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.1.2 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.1.3 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.2 Integrales generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4.2.1 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4.2.2 Continuite, Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.2.3 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

5 Series de Fourier 37

5.1 Introduction : cordes vibrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

5.1.1 Mise en equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

5.1.2 En avant la musique! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5.2 Series trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.2.1 Applications periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.2.2 Series trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

5.3 Coecients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5.4 Series de Fourier : Cas des fonctions "tres" regulieres . . . . . . . . . . . . . .

46

5.5 Theoreme de convergence simple de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.6 Convergence au sens de Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

6 Methodes hilbertiennes 53

6.1 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

6.2 Espaces prehilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54 Notes du cours Math203, annee 2011/2012. Version 1.1Thierry Ramond

TABLE DES MATI

ERES 36.2.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

6.2.2 Inegalite de Cauchy-Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

6.2.3 Norme associee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

6.2.4 Orthogonalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

6.2.5 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

6.3 Application aux series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

6.3.1 L'espaceL2([0;2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

6.3.2 Inegalite de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

6.3.3 Identite de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 Notes du cours Math203, annee 2011/2012. Version 1.1Thierry Ramond

Preambule

Chapitre 1

Suites de fonctions

1.1 Quelques rappels sur les suites numeriques

1.1.1 Notion de limite

On se rappelle qu'une suite numerique est une liste innie de nombres, reels ou m^eme com-

plexes. De maniere plus preciseDenition 1.1.1Unesuite numeriqueest une fonction deNdans l'ensemble des nombres

reels (ou complexes), denie sur une partie innie deN. Siu:N!Rest une suite, on note u nlen-ieme element de la liste, c'est-a-dire le nombreu(n)image denparu. On note aussi

(un)n2N, ou m^eme simplement(un), la suiteu.Ces "objets mathematiques" apparaissent lorsque l'on veut modeliser des phenomenes qui

evoluent etape par etape, ou souvent lorsque l'on veut etudier etape par etape un phenomene qui evolue continument (c'est parfois plus facile, et parfois aussi susant). On peut penser par exemple au capital plac e au ntaux mensuel : apresnmois, le capital estun= (1 +)nu0 (suite geometrique de raison 1 +et de premier termeu0. au nom bred'individus d'une p opulationde lap ins: Fib onaccia imagin eque la p opu- lationunau bout denmois verie la relation de recurrence a deux termesun+1= u n+un1 L'etude mathematique d'une suite numerique consiste essentiellement a decrire son compor- tement asymptotique : que devientunquandndevient grand? La notion essentielle est celle de limite d'une suite de nombre

CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS 6ll+e

Tous les termes de la suite,

sauf un nombre fini Ne.

l-eFigure1.1 { Limite d'une suiteDenition 1.1.2On dit qu'une suite(un)de nombres reels a pour limite un reel`donne,

outend vers`, ou encoreconverge vers`lorsque pour tout" >0;il existeN"2Ntel quenN") junlj "

On note alors :

lim(un) =`ou encorelimn!1un=`1.1.2 Comment montrer qu'une suite numerique converge? On dispose d'un arsenal assez etendu pour demontrer qu'une suite converge. On peut citer pour memoire les th eoremesd'op erationa vecles limites : si un!`etvn!`0, alorsun+vn!`+`0, u nvn!``0,... le th eoremedes gendarmes : si vnunwn, et sivn;wn!`, alorsun!`. le th eoremesur les suites monotones : toute suite croissan teet ma joreeest con vergente. le c riterede Cauc hy(on y reviendra plus loin) : la suite ( un) converge si et seulement si

8 >0;9N2Ntel quep;qN=) jupuqj :

On notera que les deux derniers resultats permettent d'armer qu'une suite converge sans qu'il soit necessaire de disposer de renseignement sur sa limite. Il y a plein d'autres facon de proceder, plus ou moins specique a un type de suite particulier. On peut par exemple penser aux suites geometriques, ou encore aux suites adjacentes ...

1.2 Notion de suite de fonctions

Les suites de fonctions sont essentiellement un outil interne aux mathematiques, et sont donc probablement plus dicile a apprehender que les suites de nombres. Par contre c'est un outil

indispensable, par exemple pour approcher la fonctionfsolution d'un probleme et en deduireNotes du cours Math203, annee 2011/2012. Version 1.1Thierry Ramond

CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS 7

des proprietes def- parfois m^eme en deduire l'existence d'une telle solution! Le but de ce

cours est de vous les rendre familieres.Denition 1.2.1SoitIR. Unesuite de fonctions(fn)surIest une liste innie de

fonctions deIdansR.Pour illustrer (une partie de) l'inter^et de ces objets, on va s'interesser ici a l'equation dierentielle

f

0=f. Tout le monde sait que les solutions de cette equation sont les fonctionsf(x) =Cex

ouC2R(voirC2Csi l'on s'interesse aux solutions a valeurs complexes). Pour simplier la discussion, on va se restreindre au probleme de Cauchy f0=f; f(0) = 1; dont la solution est la fonctionf:x7!ex. Tres bien. Maintenant on se pose la question suivante : comment tracer la courbe representative def? On veut tracer la courbe representative def, disonsCf, sur l'intervalle [0;1] par exemple. Voici une methode attribuee a Euler et qui porte son nom. - Les seuls renseignements donnes par le probleme sontf(0) = 0 etf0(0) = 1. On peut alors penser queCfest proche, sur [0;1] de sa tangente au pointA0= (0;1) , c'est a dire de la droitey=x+ 1. De cette maniere on obtient en particulier l'approximatione=f(1)2. Bof. - On se dit queCfest proche de sa tangente en (0,1) mais pas sur tout l'intervalle [0;1]. On coupe alors [0,1] en deux sous-intervalles de longueur 1/2. Sur [0;1=2], on approcheCfpar sa tangente enA0. On obtient en particulierf(1=2)3=2 etf0(3=2)3=2. Sur [1=2;1], on approcheCfpar sa tangente enA1= (1=2;f(1=2)). Petit probleme : on ne connait nif(1=2) nif0(1=2). Qu'a cela ne tienne, on les remplace par les valeurs approchees qu'on vient d'obtenir. Sur [1=2;1], on approcheCfpar le segment d'equationy3=2 =

3=2(x1=2).

Au total, on pense que la courbeCfest proche, sur [0;1] de la fonction ane par morceaux f

1denie par

f

1(x) =x+ 1 pourx2[0;1=2]

32
x+34 pourx2[1=2;1] On a en particuliere=f(1)f1(1) = 9=4 = 2;25. Rebof. - On recommence : on decoupe l'intervalle ennmorceaux, et on approcheCfpar la courbe representativeCnde la fonction ane par morceauxfnconstruite de proche en proche. Il reste une question. Quel sens donner a l'assertion "la courbeCnest proche de la courbe C

f"? Ou encore "la courbeCnconverge vers la courbeCf"?Notes du cours Math203, annee 2011/2012. Version 1.1Thierry Ramond

CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS 800,250,50,7511,250,250,50,7511,251,51,752 y(x) y 20 app (x) y 2 app (x) y 4 app (x)Figure1.2 { Construction de la courbe representative de l'exponentielle

1.3 Convergence uniforme

La notion naturelle de convergence pour une suite de fonctions (fn) est celle que l'on a vue pour les courbes representatives. On veut pouvoir dire que la suite de fonctions (fn) converge versflorsque la courbe representative de la fonctionfnse rapproche, quandntend vers l'inni, de celle def. Comme dans le cas des suites numeriques, la notion de convergence pour les suites de fonctions est plus precise que cette assertion un peu vague.

1.3.1 Distance entre courbes

La premiere chose a faire est de denir une notion de distance entre les courbes representatives de deux fonctions.Proposition 1.3.1Soientfetgdeux fonctions deIRdansR. On appelle distance entre C fetCgsurIla quantite d

I(f;g) = sup

x2Ijf(x)g(x)j: D'un point de vue pratique, on peut se demander comment calculer cette distance : il s'agit de calculer la borne superieure de la fonctionjfgjsurI. On verra des exemples un peu

plus loin, mais on doit se souvenir du Theoreme de Weierstrass :Notes du cours Math203, annee 2011/2012. Version 1.1Thierry Ramond

CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS 9

C f b aC g x 0d [a;b](f;g) =jf(x0)g(x0)j

Figure1.3 { Distance entre deux courbesProposition 1.3.2SiI= [a;b]est un intervalle ferme et borne, et sifetgsont continues

surI, il existex02[a;b]tel que d

I(f;g) =jf(x0)g(x0)j

Autrement dit, dans les conditions de la proposition, cette borne superieure est un maximum.

Ce n'est pas toujours le cas :

P ourI= [0;1[ etf:x7!x2,dI(f;0) = sup

x2[0;1[x2= 16=f(x0) pour toutx02I.

P ourI=]0;+1[ etf:x7!1=x,dI(f;0) = sup

x2]0;+1[1=x= +1. Revenons au cadre de la proposition. La quantitedI(f;g) est alors reellement une distance.

Plus precisementProposition 1.3.3SoitEl'espace vectoriel des fonctions continues sur l'intervalle ferme

I= [a;b]. Pourf2Eon note

kfk1=dI(f;0): L'application deEdansR+qui afassociekfk1est une norme. Preuve.|Tout d'abord, puisquefest continue surI= [a;b], il existex02Itel que kfk1=jf(x0)j. Cela prouve en particulier quekfk1est bien deni et dansR+. On verie les trois proprietes qui caracterisent une norme :

i)kfk1= 0 si et seulement si pour toutx2I,f(x) = 0, i.e.fest la fonction nulle.Notes du cours Math203, annee 2011/2012. Version 1.1Thierry Ramond

CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS 10

ii)Pour toutx2I, on a jf(x) +g(x)j jf(x)j+jg(x)j kfk1+kgk1: Autrement ditkfk1+kgk1est un majorant dejf(x)+g(x)jsurI. Puisque la borne superieure est le plus petit des majorants, on a kf+gk1 kfk1+kgk1; ce qui est l'inegalite triangulaire. iii)Soit2R. Pour toutx2I, on ajf(x)j jj jf(x)j jj kfk1. Donc, en raisonnant comme ci-dessus, kfk1 jj kfk1:

Poura= 1=etg=af, cette inegalite donne

kfk1=kagk1 jaj kgk1=1jjkfk1: On a donc bienkfk1=jj kfk1pour tout6= 0. Cette egalite est bien s^ur egalement vraie pour= 0.1.3.2 Denition de la convergence uniforme Denition 1.3.4Soit(fn)une suite de fonctions denies surIR, etfune autre fonction denie surI. On dit que la suite(fn)converge uniformement versfsurIlorsque la suite numerique(dI(fn;f))tend vers 0 quandn!+1. d

I(fn;f) =kfnfk1= sup

x2Ijfn(x)f(x)j !0quandn!+1:Pour montrer que la suite de fonctions (fn) converge uniformement versfsurI, il s'agit

de montrer que la suite numerique (un) denie parun= supx2Ijfn(x)f(x)jtend vers 0. Autrement dit, (fn) converge uniformement versfsurIlorsque

8 >0;9N2Ntel quenN=) kfnfk1:

Puisque

sup x2Ijfn(x)f(x)j () 8x2I;jfn(x)f(x)j ;

on arrive a la caracterisation suivante :Notes du cours Math203, annee 2011/2012. Version 1.1Thierry Ramond

CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS 11

(fn) converge uniformement versfsurIlorsque

8 >0;9N2Ntel quenN=) 8x2I;jfn(x)f(x)j :Il est peut-^etre plus facile d'interpreter graphiquement cette propriete sous la forme

8 >0;9N2Ntel quenN=) 8x2I;fn(x)2[f(x);f(x) +]:

1.4 Convergence simple

1.4.1 Un exemple : la suite de fonctions(xn)n

On etudie la suite de fonctions (fn), oufn: [0;1]!Rest denie parfn(x) =xn. On veut-0,5-0,2500,250,50,7511,251,51,750,250,50,7511,251,5Figure1.4 { Courbes representatives des fonctionsx7!xn, pourn2 f1;:::;10g

savoir si la suite (fn) converge uniformement surI= [0;1] vers une certaine fonctionf. La premiere chose a faire est de trouver une fonctionfqui soit un candidat plausible. Pour cela, on a trace dans la gure ci-contre les premieres courbes representatives des fonctions de la suite (fn). Il semble que ces courbes se rapprochent de plus en plus de celle de la fonction nulle. Il est donc raisonnable d'essayer de montrer que la suite (fn) converge uniformement vers la fonction nullef= 0. Or kfn0k1= sup x2[0;1]jfn(x)j=fn(1) = 1;Notes du cours Math203, annee 2011/2012. Version 1.1Thierry Ramond

CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS 12

donc (fn) ne converge pas uniformement vers la fonction nulle : le probleme est quefn(1) ne tend pas vers 0 quandn!+1. On peut d'ailleurs remarquer que si (fn) converge uniformement versfsurI, alors

8x2I; fn(x)!f(x):

Voila donc un moyen de reperer une limite uniformefpossible : dans notre exemple (fn(x) = x n), on afn(x)!0 pour 0x <1 etfn(1)!1 quandn!+1. Donc si (fn) converge uniformement versf, la fonctionfest necessairement la fonction denie par f(x) =0 si 0x <1

1 six= 1

Cependant, pour cette fonctionf, et puisquefn(1)f(1) = 0 kfn(x)f(x)k1= sup x2[0;1]jfn(x)f(x)jsup x2[0;1[jfn(x)f(x)j= sup x2[0;1[xn= 1: La suite (fn) ne converge donc pas uniformement sur [0;1]. Exercice 1.4.1Soit0< a <1. Montrer que la suite de fonctions(x7!xn)nconverge uni- formement sur[0;a]. Y-a-t-il convergence uniforme sur[0;1[?

1.4.2 Convergence simple

De l'exemple precedent, on retient une denition et une condition necessaire de convergence uniforme.Denition 1.4.2Soit(fn)une suite de fonctions denies surIR. i)On dit que la suite(fn)converge simplement au pointx0deIlorsque la suite numerique(fn(x0))est convergente. ii)On dit que la suite(fn)converge simplement surIlorsqu'elle converge simplement en tout pointx0deI. Dans ce cas la fonctionfdenie surIpar f(x0) = limn!+1fn(x0)

est appelee limite simple de la suite(fn).Proposition 1.4.3Si la suite(fn)converge uniformement versfsurI, alors(fn)converge

simplement versfsurI.Notes du cours Math203, annee 2011/2012. Version 1.1Thierry Ramond

CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS 13

En particulier, la premiere etape dans l'etude d'une suite de fonctions est toujours le calcul de son eventuelle limite simple. Celle-ci peut d'ailleurs ne pas exister : penser au cas de la

suite de fonctions (x7!xn)nsur ]1;+1[. Resumons :Soit (fn) la suite de fonctions denies surR+parfn(x) =xn. La suite (fn)

div erges ur]1 ;+1[. con vergesimplemen tsur [0 ;1] vers la fonctionf:x7!0 si 0x <1

1 six= 1

ne con vergepas uniform ementv ersfsur [0;1]. con vergeuniform ementv ersfsur tout intervalle de la forme [0;a] avec 0< a <1.1.5 Exemples

1.5.1 Des triangles glissants

Pourn2N, on notefn:R+!Retgn:R+!Rles fonctions dont la courbe representative est indiquee sur la Figure 1.5.0 12n1n 1 y x y=fn(x)0 n11 n n + 1y x y=gn(x) Figure1.5 { Un triangle qui s'ecrase sur l'axe des ordonnees, et un qui part a l'inni

Con vergencesimple :

La suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction nulle. En eet pour chaquex >0 xe,fn(x) = 0 pour toutn >1=x, donc limfn(x)n!+1= 0, et on a aussifn(0) = 0 pour toutn, doncfn(0)!0 quandn!+1. La suite de fonctions (gn) converge simplement elle aussi vers la fonction nulle. En eet pour chaquex0 xe,fn(x) = 0 pour toutn > x, donc limfn(x)n!+1= 0. Con vergenceuniforme : P arcon treaucune de c esdeux suites ne con vergeuniform ement surR+, puisquekfnk1=kgnk1= 1 pour toutn.

1.5.2fn(x) =xn+x

Pourn1, on notefn:R+!Rla fonction denie parfn(x) =xn+x. Con vergencesimple : p ourc haquex2R+xe,fn(x)!0 quandn!+1. Donc la

suite (fn) converge simplement surR+vers la fonction nulle.Notes du cours Math203, annee 2011/2012. Version 1.1Thierry Ramond

CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS 140510152025300,511,5Figure1.6 { Courbes representatives des fonctionsx7!xx+n, pourn2 f1;:::;10g

Con vergenceuniforme : supp osonsque la suite ( fn) converge uniformement surR+. Sa limite est alors forcement la fonction nulle. Ainsi, pour tout >0, on pourrait trouver unN2Ntel que,

8nN;8x2R+;xn+x

ce qui equivaut a

8nN;8x2R+;x(1)n:

En particulier on aurait

8x2R+;x(1)N;

ce qui est absurde : prendrex= 2N=(1). Donc (fn) ne converge pas uniformement surR+. On remarque au passage que pour chaquexxe, on a trouve unN(x) =x(1) tel que nN(x)! jfn(x)j : Ce n'est pas une surprise, puisque l'on sait que la suite numerique (fn(x)) tend vers

0 pour chaquex. La dierence entre la convergence simple et la convergence uniforme

reside ici : pour la convergence simple le rangN(x) peut dependre dex, alors que le rangNdoit ^etre le m^eme pour tous lesxdans le cas de la convergence uniforme.

1.5.3fn(x) =xenx

Con vergencesimple : P ourx= 0,fn(0) = 0, doncfn(0)!0 quandn!+1. Pour x >0 xe,fn(x) =xenx!0 quandn!+1(l'exponentielle l'emporte). Donc la

suite (fn) converge simplement surR+vers la fonction nulle.Notes du cours Math203, annee 2011/2012. Version 1.1Thierry Ramond

CHAPITRE 1. SUITES DE FONCTIONS 15

Con vergenceuniforme : On v eutestimer kfnk1= supx0fn(x). Comme les fonctions f nsont derivables surR+, on va dresser leur tableau de variations. On a f

0n(x) =enx(1nx);

d'ou le tableau donne dans la Figure 1.7. On a donckfnk1=fn(1n ) = 1=ne, doncx0+1 f n(x)f

0n(x)1n

1ne 0 0 Figure1.7 { Le tableau de variation de la fonctionfn:x7!xenx kfnk1!0 quandn!+1, et la suite (fn) converge uniformement surR+vers la fonction nulle.Notes du cours Math203, annee 2011/2012. Version 1.1Thierry Ramond

Chapitre 2

Proprietes de la limite

On s'interesse maintenant a la regularite (continuite, derivabilite...) de la limite d'une suite de fonctions. L'exemple de la suite (fn) denie sur [0;1] parfn(x) =xnmontre que m^eme si chacune des fonctionsfnest tres reguliere (ici de classeC1), la fonction limite peut ne m^eme pas ^etre continue (icif(x) = 0 pourx2[0;1[ etf(1) = 1). D'un point de vue un peu formel, on peut d'ailleurs noter que, toujours dans le cas de cette suite

0 = lim

x!1limn!+1fn(x)6= limn!+1limx!1fn(x) = 1: On est donc en presence d'un cas ou l'on ne peut pas intervertir impunement l'ordre dans lequel on calcule deux limites successives. Le point essentiel de ce chapitre est que ce genre de dicultes ne se presente pas lorsque la suite (fn) converge uniformement. On precise ci-dessous ce principe trop vague pour l'instant.

2.1 ContinuiteProposition 2.1.1SoitI=]a;b[Run intervalle. Soit(fn)une suite de fonctions denies

et continues surI. Si la suite(fn)converge uniformement surIvers une fonctionf, alorsf est continue surI. Preuve.|Soitc2I. On veut montrer que pour tout >0, il existe()>0 tel que jxcj ()) jf(x)f(c)j : On xe donc >0. Comme la suite (fn) converge uniformement versfsurI, il existeN2N tel que nN) kfnfk13 On sait aussi quefNest continue au pointc. Donc il existe>0 tel que jxcj ) jfN(x)fN(c)j 3

CHAPITRE 2. PROPRI

ETES DE LA LIMITE 17Du coup, sijxcj ,

jf(x)f(c)j jf(x)fN(x)j+jfN(x)fN(c)j+jfN(c)f(c)j kfNfk1+jfN(x)fN(c)j+kfNfk1 3 +3 +3 On peut donc prendre() =. Ce raisonnement marche pour tout >0 : on a donc prouve

la continuite defau pointc.On notera bien l'importance de la convergence uniforme dans cette preuve. Le point essentiel

est quejf(x)fN(x)j 3 pour toutx2I. Il faut remarquer aussi que la proposition ci-dessus donne une condition susante de conti- nuite pour la limite de la suite (fn). Par exemple la suite (fn) denie par f n(x) =sinnx1 +n2x2 converge simplement surRvers la fonction nulle, qui est evidemment continue, bien que la suite (fn) ne converge pas uniformement :fn(1n ) =sin12 6!0. On utilise en general cette proposition pour montrer la continuite d'une fonction, en l'appro- chant par une suite de fonctions continues qui converge uniformement. On peut aussi s'en servir pour montrer qu'une suite de fonctions ne converge pas uniformement : Exemple 2.1.2Soit(fn)la suite de fonctions denies surR+par f n(x) =1xn1 +xn i)Montrer que(fn)converge simplement surR+. ii)Y a-t-il convergence uniforme surR+? Pour nir, on notera que la proposition ci-dessus dit que, lorsque ses hypotheses sont satis- faites,lim x!climn!+1fn(x) = limn!+1limx!cfn(x):2.2 Integrabilite La limitefd'une suite (fn) de fonctions integrables sur [a;b] est-elle integrable? Dans ce cas, est-ce que l'on peut utiliser la suite (fn) pour obtenir une valeur approchee de l'integrale de f?Notes du cours Math203, annee 2011/2012. Version 1.1Thierry Ramond

CHAPITRE 2. PROPRI

ETES DE LA LIMITE 180

12n1n n y x y=fn(x) Figure2.1 { Une bosse glissante de surface constante Modions un peu notre bosse glissante. Soit (fn) la suite de fonctions anes par morceaux denie sur [0;1] par la Figure 2.1. La suite (fn) converge vers 0, mais l'integrale defnsur [0;1] vaut 1=2 pour toutn. Pour cette suite de fonctions, on n'a donc pas le resultat espere. Voila cependant un cas (dont on pouvait se douter...) ou la reponse a la question posee est positive.Proposition 2.2.1SoitI= [a;b]un intervalle deR. Soit(fn)une suite de fonctions integrables sur[a;b]. Si(fn)converge uniformement versfsur[a;b], alorsfest integrable sur[a;b]et (2.2.1) lim n!+1Z b a f n(x)dx=Zquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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