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Université Paris-Dauphine Année universitaire 2019-2020 Analyse 3 (L2)Chapitre 4 : Suites et séries de fonctions

1 Convergence simple et uniforme de suite de fonctions

Exercice 1.Donner un exemple de suite de fonctions qui converge simplement surRmais pas uniformément.

Exercice 2.Etudier la convergence simple et uniforme sur[0;1]de la suite de fonctions(fn)dans chacun des cas suivants. (i)fn(x) =xnpn+ 1;(ii)fn(x) =n2x2n(1x): Exercice 3.Soit(fn)la suite de fonctions définies sur[0;1]par,

8x2[0;1]; fn(x) =xnln

sinx2

Déterminer

lim n!+1Z 1 0 f n(x)dx:

Exercice 4.Soitfn:R!Rdéfinie par

f n(x) =rx 2+1n Montrer que chaquefnest de classeC1et que la suite(fn)converge uniformément surRvers une fonction fqui n"est pas de classeC1. Exercice 5.1. Montrer que la suite de fonctionsfn(x) =x(1+nenx)définies surR+pour2Ret n2Nconverge simplement vers une fonctionfà déterminer.

2. Déterminer les valeurs depour lesquelles il y a convergence uniforme.

3. Calculer

lim n!+1Z 1 0 x(1 +pne nx)dx

Exercice 6.Soitfn(x) =enx+2e

nx+1, pourx2R.

1. Montrer que la suite(fn)converge simplement surR. Expliciter sa limite simple.

2. La convergence est-elle uniforme surR?

3. La convergence est-elle uniforme sur[1;+1[?

Exercice 7.Soitfn(x) = (1 +xn)1n

, pourx2R+.

1. Montrer que(fn)converge simplement surR+vers une fonctionfà déterminer.

2. En déduire que(fn)converge uniformément sur[0;1]versf.

3. Montrer que(fn)converge uniformément versfaussi sur[1;+1[et conclure.

Exercice 8.Soitfn(x) =1 +xn

n, pourx2R+.

1. Montrer que(fn)converge simplement surR+vers la fonctionfdéfinie surR+parf(x) =ex.

1

2. Montrer que la convergence est uniforme sur[0;A], quel que soitA >0.

3. A-t-on convergence uniforme surR+?

Exercice 9.Soit(fn)la suite de fonctions définies surR+par f n(x) = 1xn n;six2[0;n];

0six > n:

1. Montrer que(fn)converge simplement surR+vers la fonctionex.

2. (a) Soit, pour toutx0,h(x) =xex. Montrer que, pour toutx0,

jh(x)j e1: (b) Pourn >1, on pose g n(x) =ex1xn n;six2[0;n]; e xsix > n: Montrer que, pour toutx2[0;n],g0n(x) =exhn(x), avec h n(x) =1 +ex 1xn n1: (c) Calculerh0n(x), pourx2[0;n]. En déduire qu"il existen2[1;n]tel que g

0n(n) = 0;8x2[0;n[; g0n(x)>0;8x2]n;n]; g0n(x)<0:

d) Montrer quegn(n) =1n nenet donner le tableau de variation degnsurR+. e) En déduire que(fn)converge uniformément versexsurR+.

3. Calculer

lim n!+1Z +1 0 f n(x)dx: Exercice 10.On considère la suite de fonctions(fn)définies sur[0;1]par,

8x2[0;1]; fn(x) =n(x3+x)exnx+ 1:

1. Montrer que(fn)converge simplement sur[0;1]vers une fonctionfque l"on déterminera.

2. Montrer que, pour tout entiern1, et pour toutx2[0;1],

jfn(x)f(x)j 2nx+ 1:

3. Montrer que(fn)converge uniformément versfsur[";1], pour tout"2]0;1[. Converge-t-elle unifor-

mément sur[0;1]?

Exercice 11.On noteI= [0;12

]. Le but de l"exercice est de construire une application continuef:I!R, telle que

8x2I; f(x) = 1 +12

Z x

0f(t) +f(t2)dt:

On considère les applicationsfn:I!Rdéfinies par récurrence : f0(x) = 1;8x2I; f n+1(x) = 1 +12 R x

0fn(t) +fn(t2)dt:

2

1. Calculerf1etf2. Montrer que, pour tout entiern,fnest un polynôme.

2. On note, pourn1,

D n= sup x2Ijfn(x)fn1(x)j:

CalculerD1etD2. Montrer que

8n2N;8x2I;jfn+1(x)fn(x)j 12

Dn; et en déduire que, pour toutn2N, D n12 n:

3. On poseuk(x) =fk(x)fk1(x).

(a) Soitxfixé dansI. Montrer que la série numériqueP kuk(x)est absolument convergente. (b) On note, pour toutx2I,S(x) =P k1uk(x). En remarquant que S n(x) =nX k=1u k(x) =fn(x)1; montrer que la suite(fn)converge simplement surIvers une fonction que l"on noteraf. Donner l"expression def(x)en fonction deS(x).

4. Montrer que, pour toutx2I, et pour toutp > n,

jfp(x)fn(x)j= p X k=n+1u k(x) 12 n: En déduire que(fn)converge uniformément surIversf, et quefrépond à la question posée. Exercice 12.Soit(fn) : [a;b]!Rune suite de fonctions pour laquelle il existeK >0tel que pour tout n2N,fnest "K-lipschitzienne", c"est-à-dire :

8x;y2[a;b];jfn(x)fn(y)j Kjxyj:

On suppose de plus que(fn)converge simplement vers une certaine fonctionf: [a;b]!R. Montrer cette convergence est uniforme.

Exercice 13.(Deuxième théorème de Dini) Soit(fn) : [a;b]!Rune suite de fonctions croissantes, qui

converge simplement vers une fonctionf. On suppose de plus quefest continue. Montrer que(fn)converge uniformément versf.

2 Modes de convergence de séries de fonctions

Exercice 14.Soit, pournentier, et pourx2]1;1[,un(x) =nxn. Montrer que la série de fonctionsPun converge simplement sur]1;1[et uniformément sur tout intervalle de la forme[1 +";1"]vers une fonctionuà déterminer.

Exercice 15.Montrer que

f(x) =+1X n=11n

2arctan(nx)

est continue surRet de classeC1surR. Est-elle dérivable en0? 3

Exercice 16.Soit8(n;x)2NR;un(x) =(1)nn

2+x2.

1. Montrer la convergence normale de la série de fonctions de terme généralunsurR.

2. Soitusa fonction somme. En déduire la continuité de la fonctionusurR.

3. Montrer que la fonctionuest dérivable surRet que sa dérivée est donnée par

8x2R; u0(x) =2x+1X

n=1(1)n(n2+x2)2:

Exercice 17.Étudier la convergence simple, uniforme et normale de la série des fonctions définies surR

parfn(x) =(1)nn+x2.

Exercice 18.Soit8(n;x)2NR,un(x) =sin(nx)n

3.

1. Montrer la convergence normale de la série de fonctions de terme généralunsurR.

2. Soitusa limite. Calculer la limite deu(x)lorsquextend vers0.

3. Prouver queZ

0 u(x)dx= 2+1X n=11(2n1)4:

On donne

P+1 k=11k 4=490 . En déduireR

0u(x)dx.

4. Montrer que la fonctionuest dérivable surRet que sa dérivée est donnée par

8x2R; u0(x) =+1X

n=1cos(nx)n 2:

Exercice 19.Pourx2R+etn2N,n2on pose

S(x) =1X

n=2xe nxlnn sous réserve de convergence.

1. Démontrer queSconverge simplement surR+.

2. Démontrer que la convergence n"est pas normale surR+.

3. Pourx2R+, on poseRn(x) =P

knxekxlnk. Démontrer que, pour toutx0,

0Rn(x)1ln(n)xe

x1ex; et en déduire que la série converge uniformément surR+.

4. Montrer queSest de classeC1surR+.

5. Montrer queSn"est pas dérivable à droite en0.

6. Montrer quexkS(x)tend vers0en+1pour toutk2N.

Exercice 20.On appelle fonctionde Riemann la fonction de la variables2Rdéfinie par la formule (s) =X n11n s:

1. Donner le domaine de définition deet démontrer qu"elle est strictement décroissante sur celui-ci.

4

2. Prouver queest de classeC1sur son domaine de définition et écrire l"expression de sakième

dérivée.

3. Montrer que

8s >1;1s1(s)1s1+ 1:

En déduire que(s)1+1s1.

4. Déterminerlims!+1(s).

5. Démontrer queest convexe.

6. Démontrer queln()est convexe.

Exercice 21.Soit

8x2R; S(x) =1X

n=0x1 +n2x2:

1. Montrer queSest définie surRet impaire.

2. Montrer queSest continue surR.

3. Montrer que

8x >0;2

S(x)2 +x: En déduire queSadmet des limites à droite et à gauche en0, mais n"y est pas continue.

4. Montrer queSest de classeC1surR.

Exercice 22.Soit1< a <1. On considère la suite de fonctions(un)n2Ndonnée par 8t2h 0;2 i ; u n(t) = (cost)nan:

1. Montrer que la série de fonctions

Punconverge uniformément sur0;2

2. On poseWn:=R

2

0cos(t)ndt, l"intégrale de Wallis. Rappeler sa valeur en fonction den.

3. Montrer que

+1X n=0W nan=Z 2

0dt1acos(t):

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