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Suites et séries de fonctions

7 octobre 2019

Dans ces notes on s"intéresse aux problèmes de convergence de suites ou de séries de fonc- tions, et aux propriétés de l"éventuelle limite. Tous les résultats donnés dans ce chapitre sont valables pour des fonctions d"une variable réelle. Quand cela aura du sens on pourra également considérer des fonctions d"une variable

complexe (ou de plusieurs variables réelles ou complexes) mais les spécificités des fonctions

d"une variable complexe seront abordées dans le chapitre sur les fonctions holomorphes. On commence par rappeller qu"étudier une suite ou une série est essentiellement équi- valent. En effet, si on s"intéresse à la série numériqueP n2Nun, alors pour toutN2Non peut noterSN=PN n=0un(inversement on aun=SnSn1pour toutn2N), et alors la convergence de la sérieP n2Nunest équivalente à la convergence de la suite(SN)N2N.

Simplement, selon les cas, il est plus agréable de travailler soit avec le terme général d"une

suite soit avec la différence entre deux termes consécutifs. Ce sera la même chose pour les suites et séries de fonctions. Dans toutes ces notes on considérera des fonctions à valeurs dansK, oùKdésigneRou C. En fait on pourrait énoncer la plupart des résultats pour des fonctions dans un espace de

Banach quelconque, mais on n"en parlera pas ici.

1 Convergence simple

1.1 Définition et exemples

SoitDun ensemble. On considère une suite(fn)n2Nde fonctions deDdansK. La façon la plus naturelle de définir une limite pour la suite(fn)n2Nest de regarder, pour chaque x2D, la limite éventuelle de la suite numérique(fn(x))n2N. Définition 1.1.SoientDun ensemble,(fn)n2Nune suite de fonctions deDdansK, etf une fonction deDdansK. On dit quefnconverge simplement (ou ponctuellement) versf quandntend vers+1si pour toutx2Don a f n(x)!n!+1f(x):

Autrement dit,

8x2D;jfn(x)f(x)j !n!+10:

Ce qui s"écrit encore

8x2D;8" >0;9N2N;8n>N;jfn(x)f(x)j6":(1.1)

Exemple1.2.Pourn2Non considère la fonction

f n:[0;1]!R; x7!xn: Alorsfnconverge simplement vers la fonctionfqui àx2[0;1]associe f(x) =(

0six2[0;1[;

1six= 1:

1 Préparation à l"agrégation - Suites et séries de fonctions

Figure1 - Puissances dexsur[0;1]

Exemple1.3.Pourn2Non considère la fonction

f n:R!R x7!1 +xn n Alorsfnconverge simplement vers la fonction exponentielle. Exemple1.4.Soit'une fonction quelconque deRdansR. Pourn2Retx2Ron note f n(x) ='(x)n+1. Alorsfnconverge simplement vers 0. La convergence simple est définie de façon parfaitement analogue pour les séries de fonc- tions. Définition 1.5.Soit(gn)n2Nune suite de fonctions deDdansK. On dit que la sérieP n2Ngn converge simplement si la série numériqueP n2Ngn(x)est convergente pour toutx2D. Dans ce cas on noteP n2Ngnla fonction qui àx2DassocieP n2Ngn(x).

Remarque1.6.PourN2Non noteSN=PN

n=0gn:Alors la sérieP n2Ngnest simple- ment convergente si et seulement si la suite(SN)N2Nconverge simplement. Dans ce cas,SN converge simplement vers la sommeS=P n2Ngn.

Exemple1.7.La sérieP

n2Nxnconverge simplement sur]1;1[, et sa somme est X n2Nx n=11x: En effet, pour toutN2Nla somme partielleSNest telle que, pour toutx2]1;1[, S

N(x) =1xN+11x!N!+111x:

Exemple1.8.Pourn2Netx2Ron pose

g n(x) =sin(nx)n 2:

Soitx2R. Pourn2Non ajgn(x)j61n

2, donc la série numériqueP

n2Ngn(x)converge.

Cela signifie que la série de fonctionsP

n2Ngnconverge simplement. Exemple1.9.Soit >0. On considère sur[0;1]la série de fonctionsP n2N(1)nxnn . Par le critère des séries alternées la série converge pour toutx2[0;1]. Puisque la notion de convergence simple n"est rien d"autre qu"une limite de suites numé- riques regardées indépendamment les unes des autres, il est clair que toutes les opérations algébriques valables pour les limites sont valables pour la convergence simple. Ainsi la somme de deux suites de fonctions simplement convergentes est simplement convergente, et la limite de la somme est la somme des limites. Idem pour le produit, le quotient si les dénominateurs ne s"annulent pas, etc.2 J. Royer - Université Toulouse 3

1 CONVERGENCE SIMPLE

1.2 Propriétés de la limite simple

On considère un intervalleIdeRet(fn)n2Nune suite de fonctions deIdansRconver- geant simplement vers une fonctionf.

On commence par les propritétés définies par des égalités, évidemment préservées par

passage à la limite simple. Proposition 1.10.(i)SiIest un intervalle symétrique et sifnest paire (respectivement impaire) pour toutn2N, alorsfest paire (respectivement impaire). (ii)SiI=Ret s"il existeT >0tel quefnestT-périodique pour toutn2N, alorsfest

T-périodique.

On rappelle que le passage à la limite est compatible avec la relation d"ordre. Ainsi toutes

les propriétés définies par des inégalités sont préservées par le passage à la limite simple. On

pense évidemment à la monotonie, mais aussi à la convexité. On rappelle qu"une fonction f:I!R, oùIest un intervalle deR, est convexe si

8x;y2I;82[0;1]; fx+ (1)y6f(x) + (1)f(y):

La définition de la concavité est obtenue en renversant l"inégalité. Proposition 1.11.(i)Sifnest croissante (respectivement décroissante) pour toutn2N, alorsfest croissante (respectivement décroissante). (ii)Sifnest convexe (respectivement concave) pour toutn2N, alorsfest convexe (res- pectivement concave). Démonstration.On suppose quefnest croissante pour toutn2N. Soientx;y2Itels que x6y. Pour toutn2Non afn(x)6fn(y). Par compatibilité de la relation d"ordre avec le passage à la limite, on obtient quandntend vers+1quef(x)6f(y). Cela prouve quef

est croissante. Les autres propriétés sont démontrées de façon analogue.Remarque1.12.Attention, les inégalités strictes ne sont pas préservées par passage à la

limite. Ainsi, sifnest strictement croissante pour toutn2Nalorsfsera croissante (d"après la proposition 1.11 ) mais pas nécessairement strictement croissante (voir par les exemples 1.2 ou 1.4 a vec'strictement croissante). De même la limite simple d"une suite de fonctions strictement convexes sera convexe mais pas nécessairemeent strictement convexe.

1.3 La régularité ne passe pas à la limite simple

La convergence simple d"une suite de fonctions est relativement simple à vérifier, puisqu"il suffit de vérifier, pour chaquexindépendamment des autres, la convergence d"une suite numérique. Mais cela ne donne pas de bons résultats, au sens où si on part d"une suite de

fonctionsfnqui vérifient de bonnes propriétés, la limitefne vérifiera pas nécessairement ces

mêmes propriétés. Typiquement, la régularité des fonctions, qui nécessite de pouvoir comparer la valeur d"une fonction en un pointxaux valeurs de la fonction aux points proches dex, ne se trans- met pas du tout par limite simple.

Prenons l"exemple

1.2 . On observe que lim n!+1limx!1x<1x n= limn!+11 = 1; tandis que limx!1x<1limn!+1xn= limx!1x<10 = 0:

Avec les notations de l"exemple

1.2 on p eutencore écrire que

8n2N;limx!1x<1f

n(x) = 1;Année 2019-2020 3 Préparation à l"agrégation - Suites et séries de fonctions et pourtant limx!1x<1f(x)6= 1: Pour chaquen, sixest suffisamment proche de 1, alorsxnest proche de 1. Mais la condition "xest suffisamment proche de » est de plus en plus restrictive au fur et à mesure quengrandit, à tel point qu"aucunx <1ne peut vérifier cette condition pour toutn. Plus précisément, si on fixe" >0, alorsjfn(x)1j6"si et seulement six>(1")1n . Cette condition devient de plus en plus restrictive quandngrandit, et seulx= 1la vérifie pour toutn. Une autre façon de dire la même chose est de remarquer que si on notexn= (1")1n alors on a x n!n!+11etfn(xn) = 1" <1: Pire, si on noteyn= 1=(n1=n) = exp(ln(n)=n)alors on a y n!n!+11etfn(yn)!n!+10:

Par suite, toutes les notions de régularité définies à partir de limites (continuité, dérivabi-

lité, etc.) ne passent pas non plus à la limite simple. À nouveau, l"exemple 1.2 est très parlan t, puisqu"une suite de fonctions polynomiales (on ne peut plus régulières, donc) converge vers une fonction qui n"est même pas continue. Pour se convaincre qu"on ne peut rien conclure avec la limite simple, on donne un autre contre-exemple.

Exemple1.13.Pourn2Netx2Ron pose

f n(x) =sin(nx)n

Pour toutx2Ron a

jfn(x)j61n !n!+10; doncfnconverge simplement versf= 0. On observe quefnest dérivable surRpour tout n2Net pourn2Netx2Ron a f

0n(x) =ncos(nx):

D"un autre côté,fest dérivable de dérivée nulle. Et pourtantf0nne converge pas versf0.

D"ailleurs, la suite(f0n)n2Nn"a pas du tout de limite simple.

1.4 Limites simples et intégration

Le passage à la limite simple ne se comporte pas bien du tout non plus vis-à-vis de l"intégration. On reviendra sur ce point au paragraphe 4

. On note ici que même si(fn)n2Nest une suite de fonctions continues à supports compacts qui converge (simplement) vers une

fonction continue à support compact (le cas a priori le plus favorable pour l"intégration), on peut avoir lim n!+1Z R f n(x)dx6=Zquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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