1 Convergence simple et convergence uniforme 2 Crit`eres de
x ? E la suite fn(x) est convergente sa limite f(x) est une fonction de x et Étudier la convergence simple puis uniforme sur R des suites de fonctions ...
Suites et séries de fonctions
7 oct. 2019 2 Convergence uniforme. 2.1 Définition et exemples. On a vu que la convergence simple d'une suite ou d'une série de fonctions est une notion.
Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions
Convergence uniforme d'une suite de fonctions : Définition : soit la suite de fonctions de dans et sa limite simple. On dit que converge uniformément vers
Notes du Cours Analyse et Convergence II Math203
Montrer que la suite de fonctions (x ?? xn)n converge uni- formément sur [0a]. Y-a-t-il convergence uniforme sur [0
1 Convergence simple et uniforme de suite de fonctions
Donner un exemple de suite de fonctions qui converge simplement sur R mais pas uniformément. Exercice 2. Etudier la convergence simple et uniforme sur [01]
Suites de fonctions
Exercice 5. Convergence simple vers une fonction discontinue. Etudier la convergence éventuellement uniforme
Chapitre 3 - Suites et séries de fonctions
convergente ainsi qu'un crit`ere plus contraignant de convergence la convergence uniforme. Définition 3.1.1. (convergence simple d'une suite de fonctions).
Suites et séries de fonctions
Suites et séries de fonctions. 6.1 Convergence simple uniforme d'une suite de fonctions. Dans ce paragraphe
Chapitre 10 :Suites et séries de fonctions
L'étude de la convergence simple correspond à celle d'une suite ou d'une série II Convergence uniforme des suites et séries de fonctions.
Convergences simple et uniforme
Convergence simple convergence uniforme. 1.1. Suites de fonctions. Définition 1 : Soit X un ensemble
[PDF] Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions
Convergence uniforme d'une suite de fonctions : Définition : soit la suite de fonctions de dans et sa limite simple On dit que converge uniformément vers
[PDF] Suites de fonctions - Licence de mathématiques Lyon 1
Exercice 5 Convergence simple vers une fonction discontinue Etudier la convergence éventuellement uniforme des suites de fonctions définies par :
[PDF] Suites de fonctions Chapitre 12 I Convergence simple et uniforme
10 août 2022 · ? L'interprétation de la convergence uniforme lorsque X = R et E = R est la suivante : si (fn) converge uniformément vers f alors pour tout ?
[PDF] 1 Convergence simple et convergence uniforme 2 Crit`eres - LMPA
Étudier la convergence simple puis uniforme sur R des suites de fonctions définies par fn(x) = ? x2 + 1 n2 et gn(x) = fn(x) Correction :
[PDF] Suites et séries de fonctions
13 déc 2015 · La suite de fonctions fn converge-t-elle uniformément vers f sur E? Exercice 2 6 12 (Convergence simple et convergence uniforme) Pour tout n ?
[PDF] SUITES et SERIES DE FONCTIONS
La différence entre convergence simple et convergence uniforme sur A c'est-à-dire entre (1) et (2) est que dans (1) le n0 dépend de ™ et de x alors que pour
[PDF] Convergences simple et uniforme
Convergence simple convergence uniforme 1 1 Suites de fonctions Définition 1 : Soit X un ensemble (f n ) une suite de fonctions de X dans F On dit
[PDF] Suites et séries de fonctions
7 oct 2019 · Pour avoir convergence uniforme il faut non seulement avoir convergence simple mais de plus la vitesse de convergence de fn(x) vers f(x) doit
[PDF] Suites et séries de fonctions - Xiffr
Étudier la convergence simple et uniforme sur R de la suite de fonctions (fn) donnée par fn(x) = sinn(x) cos(x) Exercice 14 [ 02518 ] [Correction]
[PDF] Suites et séries de fonctions
Dans le convergence simple le « N » dépend du x et du ? choisi tandis qu'il ne dépend que du ? dans le cas de la convergence uniforme voir remarque 6 1 X y =
Comment montrer la convergence simple d'une suite de fonction ?
Définition : Soit I un intervalle de R , (fn) une suite de fonctions définies sur I , et f définie sur I . On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si pour tout x appartenant à I, la suite (fn(x)) ( f n ( x ) ) converge vers f(x) . Ex : I=[0,1] I = [ 0 , 1 ] et fn(x)=xn f n ( x ) = x n .Comment calculer la convergence simple ?
Série géométrique. La somme partielle est définie par S n ( x ) = 1 ? x n + 1 1 ? x pour tout x ? 1 et S n ( 1 ) = n + 1 . La série numérique ( ? x n ) converge si et seulement si , donc pour x ? ] ? 1 , 1 [ . La fonction reste d'ordre n est ici explicitable : R n ( x ) = x n + 1 1 ? x .Comment calculer la convergence uniforme ?
Convergence simple et convergence uniforme
Soit ( ? f n ) une série de fonctions qui converge simplement. Alors elle converge uniformément si et seulement si la suite des restes partiels ( ) converge uniformément vers la fonction nulle. Cela est évident car R n = S ? S n .sont d'autres variables aléatoires telles que pour tout et , alors converge aussi vers .
Convergence essentiellement uniforme (ou L?)Convergence en moyenne d'ordre p (ou Lp)Convergence presque sûre.Convergence en probabilitéConvergence en loi.
Chapitre6
Suites et séries de fonctions
6.1 Convergence simple, uniforme d"une suite de fonctions
Dans ce paragraphe,on donne les définitions pour des fonctionsf:X?→R. On les adapte dans le cas où les fonctions sont
à valeurs dansCou même dans un evn. Il suffit de remplacer les valeurs absolues par le module ou la norme.
DÉFINITION6.1♥♥♥Convergence simple d"une suite de fonctionsOn considère un ensemble non-vide quelconqueXet une suite de fonctions(fn)?F(X,R)Noù?n?N,fn: X?→R.
On dit que la suite de fonctions(fn)n?Nconverge simplementvers une fonctionf: X?→Rsi pour toutx?X, la suite
numérique?fn(x)?converge versf(x)dansR. Autrement dit : Remarque 6.1Dans cette définition, le rangNdépend dexetε. X x y=f(x) y=f0(x) y=fn(x)f0(x) fn(x) f(x) FIGURE6.1 - Convergencesimple d"une suite de fonctions PLAN6.1 : Pour étudier la convergencesimple d"une suite de fonctions(fn) Pour étudier la convergencesimple d"une suite de fonctions(fn),1Fixerx?X.
2Étudier la suite(fn(x)).
3Noterf(x)=limn→+∞fn(x)
4On définit ainsi une fonctionf:X?→R, etfncvs-----→n→+∞f.
Exemple 6.1On considère la suite de fonctions(fn)n?Nde[0,1]versRdéfinies par : f n:?[0,1]-→R x?-→xnÉtudions la convergencesimple de(fn).
1Six?[0,1[alorsfn(x)-----→n→+∞0et six=1alorsfn(x)=1-----→n→+∞1donc(fn)converge simplement vers
f:?????[0,1]-→R x?-→?0six?[0,1[1six=1.
Remarque 6.2Si on considère une suite de fonctions(fn)définies surIà valeurs réelles qui converge simplement sur
Ivers une fonctionf: I→R, il est naturel de se demander quelles propriétés desfnpassent à la la limitef. Étudions
plus précisément le problème de la continuité : si pour toutn?N,fn?C0(I), qu"en est-il def? On a vu dans l"exemple
précédent quefn"est pas nécessairement continue surI. Essayons alors de comprendrequelle(s) hypothèse(s)imposer à
(fn)pourfsoit continuesurI.Tentonsuncalcul : considéronsa?Ietε>0. Pourx?I, essayonsde majorer??f(x)-f(a)??
parε. Il faut faire intervenir nos hypothèses qui sont la convergence simple defnversfet la continuité desfn. Ceci
nous invite à écrire :On aimerait alors majorer chacun de ces3termes parε/3pour que leur somme soit plus petite queε.
1On sait que pour toutn?N,fnest continue surIdonc il existeη>0qu"on noteraη(n)car il dépend de la
fonctionfnconsidérée tel que six?I∩?a-η(n),a+η(n)?alors??fn(x)-fn(a)???ε/3.2Commefn(x)-----→n→+∞f(x), il existe un rangN?N, qu"on noteraN(x)car il dépend dex, tel que??f(x)-fn(x)???
ε/3sin?N(x).
3On a alors??f(x)-fn(x)???ε/3sin?N(a).
Afin d"obtenir la majoration souhaitée, il faut donc vérifierles deux " conditions croisées » qui sont "x?I∩?a-η(n),a+η(n)?» et "n?N(x)pour toutx?I∩?a-η(n),a+η(n)?» et le principal obstacle est dû au fait que le
rangNest dépendant dex. Si on suppose que ce n"est pas le cas, c"est-à-dire si on suppose qu"il existeNtel que pour
toutx?Iet pour toutn?N,??f(x)-fn(x)???ε/3alors on obtient facilement notre majorationet on sait doncmontrer que
fest continue ena. Ces considérations nous amènent à la définition suivante. DÉFINITION6.2♥Convergence uniforme d"une suite de fonctionsOn considère un ensemble non-vide quelconqueXet une suite de fonctions(fn)?F(X,R)N. On dit que cette suite de
fonctionsconverge uniformémentvers une fonctionf:X?→Esi et seulement si :Remarque 6.3Dans le cas des fonctions à valeurs dansR, cela signifie que pour toute bande délimitée parf-εet
f+ε, à partir d"un certain rang, tous les graphes des fonctionsfnse trouvent dans cette bande. Voir la figure 6.2
Remarque 6.4Il est instructif de comparer les définitions avec quantificateurs de la convergence simple et de la
convergenceuniforme. Dans le convergence simple, le "N» dépend duxet duεchoisi tandis qu"il ne dépend que duε
dans le cas de la convergenceuniforme, voir remarque 6.1. X y=f(x) y=fn(x)FIGURE6.2 - Convergence uniforme
PROPOSITION6.1♥Caractérisation de la convergence uniforme avec??∞ Une suite de fonctions(fn)n?N?F(X,R)Nconverge uniformément versf?F(X,R)si et seulement si :1. À partir d"un certain rang, les fonctions(fn-f)sont bornées.
2Démonstration
?On suppose que(fn)converge uniformément versf. Soitε>0. À partir d"un certain rangN, sin?Nalors
?x?I,??fn(x)-f(x)???εdonc à partir d"un certain rangfn-fest bornée on peut prendre sa norme sup et on a?fn-f?∞?ε. On peut alors de plus
affirmer que ?fn-f?∞-----→n→+∞0.?Si à partir d"un certain rang, les fonctions(fn-f)sont bornées, alors on peut leur appliquer la norme?.?∞et comme
?fn-f?∞-----→n→+∞0alors pourε>0fixé, il existe un rangNtel que sin?Nalors?fn-f?∞?ε. Donc pour toutx?I,??fn(x)-f(x)???εet on en déduit que(fn)converge uniformément versf.
Remarque6.5Si les fonctionsfnetfsont toutesbornées,pourétudierla convergenceuniformedela suite defonctions
(fn)vers la fonctionf, on étudie la suite de réelsαn=?fn-f?∞. La norme?.?∞s"appelle lanorme de la convergence
uniforme. Remarque 6.6Si(fn)etfsont des fonctions bornées telles que(fn)converge uniformément versfalorsEn effet
THÉORÈME6.2♥♥♥CV uniforme=?CV simpleSoit une suite de fonctions(fn)?F(X,R)Net une fonctionf:X?→R. Si la suite de fonctions(fn)converge uniformé-
ment vers la fonctionf, alors la suite de fonctions(fn)converge simplement versf: fDémonstrationC"est immédiat!
PLAN6.2 : Pour étudier la convergenced"une suite de fonctions(fn) Pour étudier la convergenced"une suite de fonctions(fn):1Étudier la convergencesimple : fixerx?Xet étudier la limite de la suite numérique(fn(x)).
2Définir la fonction limite simple :
f:?X-→R x?-→limn→+∞fn(x)3Étudier la convergenceuniforme : si la suite de fonctions converge uniformément,ce ne peut être que vers la
fonctionf.4Calculer (ou majorer)?fn-f?∞et montrer que?fn-f?∞-----→n→+∞0.
Voici trois exemples "graphiques» de suites de fonctions qui convergent simplement mais pas uniformément :
nn+11 y=fn(x) (a) bosse glissante1 ny=fn(x)1 (b) pic rétrécissant 12n1ny=fn(x)n
(c) pic évanescentFIGURE6.3 - Pas de convergenceuniforme
1. Dans le premier cas, on montre que(fn)converge simplement vers la fonction nulle. Les fonctionsfetfnsont
bornées. De plus?f-fn?∞,R+=1?→0donc la convergencen"est pas uniforme. 32. Dans le second cas, on montre que(fn)converge simplement vers
f:?????R +-→R x?-→?1six=00sinon.
Là encore les fonctionsfetfnsont bornées mais?f-fn?∞=1?→0.3. Dans le dernier exemple, montrons que(fn)converge simplement vers la fonction nulle. Soitx?R?+. À partir
d"un certain rang(N=E(1/x)+1), on a1/n1. CV simple. Àxfixé,fn(x)-----→n→+∞0. La suite converge simplement vers la fonction nulle.
2. CV uniforme. Calculons?fn?∞en étudiant les variations defnànfixé.
f ?n(x)=nαe-nx?1-nx?On en déduit que pour toutn,fn-f=fnest bornée surR+et que?fn?∞=f(1/n)=nα-1e-1. La suite converge
uniformément si et seulement siα<1. PROPOSITION6.3♥♥La limite uniforme de fonctions bornées est bornée Soit(fn)n?N?F(X,R)Nune suite de fonctions etf:X?→R. On suppose que :H1(fn)converge uniformément versfsurX.
H2Les fonctions(fn)sont bornées surX.
Alors la fonctionfest bornée surX.
DémonstrationOn sait que pour toutn?N,fnest bornée surXalors commefncvu-----→n→+∞f, on sait aussi, d"après la proposition
6.1, que les fonctions
f-fnsont bornées à partir d"un certain rang. Maisf=(f-fn)+fnest une somme de fonction bornées sur
Xet est donc bornée surX(car les fonctions bornées surXforment un sous-espace vectoriel deF(X,R)).
Remarque 6.7Ce résultat est faux si on suppose uniquement la convergencesimple. Par exemple, la fonction expo-
nentielle n"est pas bornée sur[0,+∞[, et si l"on définit la suite de fonctions(fn)par : f n:?????R +-→R x?-→?exsix?[0,n]0six>n
Alors ces fonctions sont toutes bornées et la suite(fn)converge simplement versf:x?→ex.THÉORÈME6.4♥♥♥La limite uniforme d"une suite de fonctions continues est continue
Soit une partieA?Ret une suite(fn)?F(A,R)Nde fonctions définies surXetf: A?→R. Soit un pointx0?A. On
suppose que : H1Pour toutn?N, la fonctionfnest continue au pointx0. H2La suite de fonctions(fn)converge uniformément vers la fonctionf.Alors la fonctionfest continue au pointx0.
DémonstrationSoitε>0. Puisque la suite(fn)converge uniformément versf, il existe un rangN?Ntel que pour toutn?N,
?fn-f?∞?ε/3. Posonsn=N. Puisque la fonctionfnest continue au pointx0, il existeα>0tel que?x?X,|x-x0| ?α=?
4 |fn(x)-fn(x0)|?ε/3. Soit alorsx?Xtel que|x-x0|?α. Majorons : |f(x)-f(x0)|=??? ?ε/3+ε/3+ε/3Remarque 6.8Ce résultat est faux si l"on suppose uniquement la convergence simple, penser au pic rétrécissant ou à
la figure 6.4. 1 1 2 1 2+1n FIGURE6.4 - La limite simple de fonctions continues peut ne pas êtrecontinueRemarque6.9On peut se servir de ce théorèmepour montrerqu"unesuite de fonctionsne convergepas uniformément.
Exemple 6.3On considère la suite de fonctions(fn)n?Ndéfinies par : f n:?[0,1]-→R x?-→xnÉtudions la convergence simple et uniforme de cette suite. On sait, d"après l"exemple 6.1 qu"elle converge simplement
vers la fonction f:?????[0,1]-→R x?-→?0six?=11six=1
Il n"y a pas convergenceuniforme puisque les fonctionsfnsont continues au point1mais pas la fonctionf.
Remarque 6.10La continuité est une notion locale, aussi pour qu"une fonctionfobtenue comme limite simple d"une
suite de fonctions continues(fn)soit continue en un point deIest-il suffisant d"avoir la convergence uniforme de cette
suite sur un segment portant ce point (en dehors de ses extrémités) et inclus dansI. Ainsi, pour prouver la continuité de
fsurI, il suffit que(fn)converge uniformément versfsur tout segment deI.PROPOSITION6.5♥Pour la convergence uniforme sur tout segment, la limite d"une suite de fonctions continues
est continue Soit un intervalleI?Ret une suite de fonctions(fn)?F(I,R)Netf:I?→E. On suppose que :H1toutes les fonctionsfnsont continues surI;
H2la suite de fonctions(fn)converge uniformément sur tout segment deI.Alors la fonctionfest continue surI.
DémonstrationSoitx0?I. Montrons quefest continue au pointx0. On peut trouver un segmentK?Itel quex0?K. Comme
fncvu----→n→∞fsurKet que pour toutn?N, la fonctionfnest continue surKalors la fonctionfest continue surKet en particulier au
point x0. La proposition suivante est un corollaire immédiat de la proposition 6.1. PROPOSITION6.6♥Convergence uniforme sur tout segmentSoit une partieI?Ret une suite de fonctions(fn)?F(X,R)N. Alors la suite de fonctions(fn)converge uniformément
sur tout segmentvers la fonctionf:I?→Esi et seulement si pour tout segmentK=[a,b]?I:1. À partir d"un certain rangf-fnest bornée surK;
2.?fn-f?∞,K=sup
x?K|fn-f|-----→n→+∞0. 5Remarque 6.11En pratique, on ne cherche pas à prouver la convergence uniforme d"une suite de fonctions sur tout
segment deImais seulement sur unefamille exhaustive de parties deI, c"est-à-dire une famille(Kω)ω?Ωde parties deI
telle quepourtout segment[a,b]deI, il existeω?Ωtel que[a,b]?Kω. Souvent,pourla famille(Kω)ω?Ω, onconsidère:
quandI=R,Ka=[-α,α]avecα?R?+.
quandI=R?+,Kn=[α,+∞]avecα?R?+.
Exemple 6.4Considérons pour toutn?N?,
f n:?????R-→R x?-→?x2sin1 nxsix>00six=0.
1. Pourx?R?,fn(x)=x2sin1
nx≂n→+∞xn-----→n→+∞0etfn(0)=0-----→n→+∞0doncfncvs----→n→∞foùfest la fonction
identiquement nulle surR.2. On afn(n)=n2sin1
n2≂n→+∞1donc on ne peut avoir convergenceuniforme defnsurRversf.3. PosonsK=[-α,α]avecα>0. Alors, en utilisant l"inégalité classique?x?R,|sinx|?|x|, il vient pour tout
x?K, ?fn(x)????? x2?? n|x|=|x|n?αn donc?f-fn?∞,K?αn-----→n→+∞0. On en déduit quefnconvergeversfuniformément sur tout segmentK=[-α,α].
Si[a,b]est un segment deRalors[a,b]?[-α,α]avecα=max(|a|,|b|)et donc on a aussi convergence uniforme
defnversfsur[a,b]. En conclusion,fnconverge uniformément versfsur tout segment deR.Remarque 6.12Bien réfléchir à la remarque suivante : c"est une source d"erreurs classiques! On considère une suite
de fonctions(fn)définies sur un intervalleIet on suppose que cette suite de fonctions converge simplement vers une
fonctionf:I?→Iet que la convergenceest uniforme sur tout compact deI. On a prouvé quefétait continue surI.
Il peut ne pas y avoir de convergence uniforme surI! Par exemple, siI=[0,1[etfn(x)=xn, montrer qu"il y a
CVU sur tout segment[a,b]?[0,1[, mais pas CVU sur[0,1[.Toute la fin de cette section est hors programme.
THÉORÈME6.7♥Double limiteHORS PROGRAMME EN PCSoitA?Rune partie deR, et un point adhérenta?A. On considère une suite de fonctions(fn)?F(A,R)Net une
fonctionf: A?→R. On suppose que :H1?n?N,fn(x)---→x→aln?R.
H2La suite de fonctions(fn)converge uniformément vers la fonctionf.Alors :
1. La suite numérique(ln)converge versl?R.
2.f(x)---→x→al.
Démonstration
1. Montrons que la suite
(ln)est de Cauchy. Soitε>0. Puisque la suite de fonctions(fn)converge uniformément versf, il existe un rangN?Ntel que
?n?N,?fn-f?∞?ε/2Soit alorsn?Netp?N, pour toutx?A,
|fn(x)-fn+p(x)|=|[fn(x)-f(x)]+[f(x)-fn+p(x)]| ?|fn(x)-f(x)|+|f(x)-fn+p(x)| ?ε Passons à la limite dans les inégalités lorsquex→a: |ln-ln+p|?ε Comme la suite(ln)est de Cauchy, elle est convergente versl?R.2. Montrons que
f(x)----→x→al. Soitε>0. Comme la suite de fonctions
(fn)converge uniformément versf, il existe un rangN1?Ntel que?n?N1,?fn-f?∞?ε/3
6 Comme la suite(ln)converge versl, il existe un rangN2?Ntel que?n?N2,|ln-l|?ε/3.Posons
n=max(N1,N2). Puisquefn(x)----→x→aln, il existeα>0tel que?x?A, si|x-a| ?α, alors|f(x)-ln|?ε/3.
Soit alors
x?Atel que|x-a| ?α. Majorons : |f(x)-l| =|[f(x)-fn(x)]+[fn(x)-ln]+[ln-l]| ?|f(x)-fn(x)|+|fn(x)-ln|+|ln-l| ?ε/3+ε/3+ε/3 Remarque 6.13On peut donc sous l"hypothèse de convergenceuniforme "intervertir» les limites : lim Remarque 6.14Le résultat précédent reste valable pour des limitesln=±∞. COROLLAIRE6.8♥C(K)est un sev ferme deL∞(K)HORS PROGRAMME EN PCSiK?Rest une partie compacte, on considère l"evnL∞(K)l"ensemble des fonctions bornées surK, muni de la norme
?.?∞. Alors l"ensembleC(K)des fonctions continues surKest un sous-espace fermé deL∞(K).Démonstration
1. Une fonction continue sur un compact est bornée, donc
C(K)?B(K).
2. Soit une suite
(fn)?C(K)Nqui converge versf?B(K). Puisque?fn-f?∞-----→n→+∞0, la suite(fn)converge uniformément
sur K. D"après le théorème précédent, la fonctionfest continue surK, doncf?C(K).6.2 Intégration sur un segment et convergence uniforme
On a souvent à étudier la limite d"une suite d"intégrales. Par exemple, chercher la limite de la suite(In)n?Ndéfinie par
I n=? 1 0n 4+x4 (n+x)4dxLa tentation est grande de dire qu"àxfixé,
n 4+x4 (n+x)4-----→n→+∞1 et "donc» queIn-----→n→+∞? 1 0 dx=1. Ce "raisonnement» peut être faux comme le montre l"exemplesuivant. Considérons la suite de fonctions(fn)continues sur[0,1]définies selon la figure 6.5 : 1 n2nnFIGURE6.5 - Un pic glissant
lim n→+∞? 1 0 fn(x)dx?=? 1 0 ( limn→+∞fn(x))dxEn effet,
?10fn(x)dx=1/2et on a montré auparavant que(fn)convergeait simplement (et pas uniformément...) vers la
fonction nulle. Donc? 1 0 ( limn→+∞fn(x))dx=0. 7 THÉORÈME6.9♥♥♥Intégrale d"une limite uniforme de fonctions continues On considère une suite de fonctions(fn)?C([a,b],R)Ncontinues sur un segment[a,b]. On suppose queH1La suite de fonctions(fn)convergeuniformémentvers une fonctionf:[a,b]?→Rsur le segment[a,b].
Alors la fonctionfest continue sur le segment[a,b], et b a fn(x)dx-----→n→+∞? b a f(x)dx.DémonstrationSoitn?N,
b a fn(x) dx-? b a f(x) dx??? b a?fn(x)-f(x)?dx b a?? fn(x)-f(x)??dxRemarque 6.15Sous l"hypothèse de convergenceuniforme, on peut donc inverser limite et intégrale :
lim n→+∞? b a fn(x)dx=? b a?limn→+∞fn(x)?dxRemarque6.16Onpeutse servirdecethéorèmepourmontrerqu"unesuitedefonctionsneconvergepasuniformément.
Exemple 6.5On considère la suite de fonctions(fn)n?Ndéfinies par f n:?[0,1]-→R x?-→n2xn(1-x)1. Montrer que(fn)n?Nconverge simplement.
2. Calculer pourn?N,?
1 0 fn(x)dx.3. En déduire que la convergencen"est pas uniforme.
4. Calculer explicitement?fn?∞et retrouver le résultat.
Solution :
1. Six=1,fn(1)=0-----→n→+∞0. Six?[0,1[, la suite géométrique(xn)converge vers0etxn=o(n2). Donc
fn(x)-----→n→+∞0. Par conséquent, la suite de fonctions(fn)converge vers la fonction nullef.
2. On calcule
In=? 1 03. Il ne peut pas y avoir convergence uniforme de
(fn)versfcar alors d"après le théorème précédent, on aurait?1 0 fn(x)dx-----→n→+∞04. On étudie les variations de
fn: f?n(x)=n2xn-1?n-(n+1)x? et donc ?fn?∞=fn?nn+1? =n2n+1enln?1-1n+1?
n→+∞ne On a donc?fn-f?∞-----→n→+∞+∞, et il n"y a pas convergenceuniforme.6.3 Dérivation et convergence uniforme
Une limite uniforme de fonctionC1sur un intervalle n"est pas forcémentC1, voir l"exercice??. Nous établissons dans
cette section une condition suffisante pour que ce soit le cas. 8 LEMME6.10♥♥♥Convergence uniforme des primitivesOnconsidèreunesuitedefonctions(fn)n?NcontinuessurunsegmentK=[a,b]. Pourtoutn?N, onintroduitla fonction
du théorème fondamental (unique primitive defnqui s"annule ena) : F n:???K-→R x?-→? x a fn(t)dtSi la suite de fonctions(fn)converge uniformément sur le segmentKvers une fonctionf, alors la suite de fonctions
(F n)converge uniformément surKvers la fonction F: ?K-→R x?-→? x a f(t)dtDémonstration
1. Puisque les fonctions
fnsont continues et que la suite de fonctions(fn)converge uniformément versfsurK, on sait déjà
que fest une fonction continue surK. Par conséquent, la fonctionFest bien définie.2. Pour tout
x?[a,b], |Fn(x)-F(x)| =???? x a fn(t) dt-? x a f(t) dt??? x a |fn(t)-f(t)|dt ?(x-a)?fn-f?∞,[a,x]quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] suite de fonction exercice corrigé
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