[PDF] Matrices et suites - Lycée dAdultes

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DERNIÈRE IMPRESSION LE22 mai 2016 à 11:38

Matrices et suites

Table des matières

1 Matrice2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Opération sur les matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Addition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Multiplication par un scalaire (réel). . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Transposition d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.4 Produit de deux matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Écriture matricielle d"un système linéaire. . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Inversion d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.2 Condition pour qu"une matrice d"ordre 2 soit inversible. . 7

1.5 Puissancen-ième d"une matrice carrée d"ordre 2 ou 3. . . . . . . . 8

1.6 Diagonalisation d"une matrice d"ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Étude de suite à l"aide de matrice11

2.1 Un premier exemple : un système fermé. . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Le problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Résolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Étude d"une suite du type :Xn+1=XnM+B. . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Le problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Résolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Marche aléatoire16

3.1 Marche aléatoire simple sur un segment. . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Marche aléatoire aux sommets d"un tétraèdre. . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Un retour en arrière est-il possible?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Traitement de l"image19

4.1 Numériser les images. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Opérations sur les images. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

PAUL MILAN1TERMINALE S SPÉ

TABLE DES MATIÈRES

Introduction

Le but de ce chapitre est de résoudre quelques problèmes liés à des variables discrète par l"intermédiaire d"un nouvel outil que constitue les matrices. Il s"agit de mettre en évidence la pertinence d"introduire des matrices pour résoudre quel- ques problèmes concrets. Bien que l"introduction des matrices dansle nouveau programme doit se faire "naturellement", il me semble préférable d"introduire directement les matrices, en donnant des exemples concrets, sans théorie exces- sives, afin ensuite de traiter quelques exemples cités dans le programme.

1 Matrice

1.1 Définition

Définition 1 :Une matriceM(m×n)est un tableau de nombres possèdant mlignes etncolonnes. On écrit alors :

M=((((a

11a12...a1n

a

21a22...a2n

a m1am2...amn)))) Les nombresaijsont les éléments ou coefficients de la matriceM.aijest situé à l"intersection de laieligne et de lajecolonne. On note parfois la matriceM par?aij?. Exemple :SoitAmatrice(2×3)définie par :?1 20 43-1?

On a par exemple les coefficientsa21=4 eta13=0

Application :Voici les productions (en milliers) de deux usines de cycles appar- tenant à une même enseigne pour le premier semestre de l"année 2010 : VTT adultesVélos enfantsVTCBMXVélos de course

Usine 112,9913,205,581,531,95

Usine 24,624,982,160,510,78

On peut alors créer une matrice productionPdont les lignes correspondent aux usines et les colonnes aux différents type de cycles. La matricePest alors une matrice(2×5):

P=?12,99 13,20 5,58 1,53 1,95

4,62 4,98 2,16 0,51 0,78?

Remarque :Quelques matrices particulières

•Sim=1, la matriceMest appelée matrice ou vecteur ligne, par exemple :

M=?1 5 8?

PAUL MILAN2TERMINALE S SPÉ

1. MATRICE

•Sin=1 , la matriceMest appelée matrice ou vecteur colonne, par exemple : M=(( 1 3 -4)) •Sim=n, la matriceMest appelée matrice carrée d"ordrem. Par exemple la matrice carrée d"ordre 2 :

M=?4 53-2?

•Une matrice carrée est symétrique si et seulement siaij=aji?i?=j. Par exemple la matrice symétrique d"ordre 2 :

M=?4-1

-1 4? •On définit la matrice unitéImd"ordrempar la matrice carrée d"ordremqui possède que des "1" sur sa diagonale et des "0" ailleurs. Par exemple la matrice unité d"ordre 3 : I 3=(( 1 0 0 0 1 0

0 0 1))

•On définit une matrice diagonale d"ordrempar la matrice carrée d"ordremqui ne possède des éléments non nuls que sur sa diagonale. Par exemple: D=(( 2 0 0 0 1 0

0 0-3))

•On définit une matrice triangulaire d"ordrempar une matrice carrée d"ordrem qui possède un triangle composé uniquement de "0". Si la diagonaleest compo- sée de "0", on dit alors que la matrice est strictement triangulaire. Par exemple : T=(( 1 4 5 0 2 7

0 0 6))

Matrice triangulaire supérieureT=((

0 4 5 0 0 7

0 0 0))

Matrice strictement triangulaire

1.2 Opération sur les matrice

1.2.1 Addition

Définition 2 :L"addition ou la soustraction de deux matrices de même di- mensionAetBest égale à la matriceCdont chaque coefficient est obtenu en additionnant ou soustrayant chaque coefficient de la matriceAau coefficient correspondant de la matriceB. Par exemple : ?1 2 04 3-1? +?5 2 31 3 4? =?6 4 35 6 3? Remarque :L"addition de deux matrices ne posent donc aucun problème.

PAUL MILAN3TERMINALE S SPÉ

TABLE DES MATIÈRES

1.2.2 Multiplication par un scalaire (réel)

Définition 3 :LeproduitdelamatriceAparunréelλ,estégalàlamatrice Bdont chaque coefficient est obtenu en multipliant chaque coefficient de la matriceAparλ. Par exemple :

2·?1 2 04 3-1?

=?2 4 08 6-2? Remarque :Cette opération ne pose donc aucun problème. Ces deux opérations sont identiques à celles utilisées par les vecteurs. Les matrices etles vecteurs ont donc une même structure appelée : espace vectoriel surR.

1.2.3 Transposition d"une matrice

Définition 4 :La transposéetMd"une matriceM(m×n)est la matrice (n×m)obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de la matriceM. Par exemple

SiM=?1 2 04 3-1?

alors tM=(( 1 4 2 3 0-1))

Remarque :

•La transposée d"un vecteur colonne est un vecteur ligne •SiMest une matrice carrée symétrique, alors :tM=M

1.2.4 Produit de deux matrices

Définition 5 :Le produit d"un vecteur ligne par un vecteur colonne est égal à la somme des produits de chaque coefficient du vecteur ligne avec le coefficient correspondant du vecteur colonne. Par exemple :

4 3-1?×((

5 2 3)) =4×5+3×2-1×3=23 Remarque :Cette opération correspond au produit scalaire de deux vecteurs. On généralise cette opération à deux matrices quelconquesAetBpourvu que le nombre de colonnes de la matriceAcorrespondent au nombre de lignes de la matriceB.

PAUL MILAN4TERMINALE S SPÉ

1. MATRICE

Définition 6 :Le produit de la matriceA(m×n)par la matriceB(n×p) est égal à la matriceC(m×p)dont chaque coefficientcijest égal au produit scalaire de la ligneide la matriceApar la colonnejde la matriceB. Par exemple : ?1 2 04 3-1?

×((5 12 33 5))

4×5+3×2-1×34×1+3×3-1×5

?9 7 23 8?

Remarque :Le produit de deux matrices est :

•associatif :A(B×C)=(A×B)C=ABC

•distributif par rapport à l"addition :A(B+C)=AB+AC

•non commutatif :AB?=BAen général.

Exemple :Une association de consommateurs compare les prix de cinq pro- duitsp1,p2,p3,p4,p5distincts dans trois magasins différents. Les observations fournissent les données suivantes : magasin 115234 magasin 21,14,71,83,13,8 magasin 30,95,11,93,24 On peut stocker les prix des produits sous la forme d"une matriceP(3×5). P=((

1 5 2 3 4

1,1 4,7 1,8 3,1 3,8

0,9 5,1 1,9 3,2 4))

Pour comparer la dépense d"une ménagère selon les magasins, onconsidère un " panier » indiquant pour chaque produit la quantité achetée. On appelleq1,q2,q3,q4etq5, les quantités correspondant aux 5 produits. par exemple 2, 1, 3, 3, 2 Le panier d"une ménagère peut être représenté par un vecteur colonneQ(1×5):

Q=((((((q

1 q 2 q 3 q 4 q

5))))))

=((((((21332)))))) SoitΠ1,Π2etΠ3les prix du panier de la ménagère dans chacun des trois maga- sins. On note alorsΠ(1×3)le vecteur colonne correspondant à ces trois prix : 1 2 3))

PAUL MILAN5TERMINALE S SPÉ

TABLE DES MATIÈRES

On peut donc traduire, le prix du panier de la ménagère dans chacundes trois magasin par l"égalité matricielle suivante :

Π=P×Q

En remplaçant par les données de notre exemple, on a : 1 2 3))

1 5 2 3 4

1,1 4,7 1,8 3,1 3,8

0,9 5,1 1,9 3,2 4))

×((((((21332))))))

Ce qui donne :

1 2 3))

1×2+5×1+2×3+3×3+4×2

30
29,2

30,2))

1.3 Écriture matricielle d"un système linéaire

Définition 7 :Soit le système(S)linéaire(n×n)suivant : ?a

11x1+a12x2+···+a1nxn=b1

a

21x1+a22x2+···+a2nxn=b2

a n1x1+an2x2+···+annxn=bn

On poseM=((((a

11a12...a1n

a

21a22...a2n

a n1an2...ann)))) ,X=((((x 1 x 2 x n)))) etB=((((b 1 b 2 b n)))) On a alors l"écriture matricielle du système(S)est : MX=B

Exemple :Soit le système suivant :?2x-3y=5

5x-4y=1

Son écriture matricielle est donc :

?2-3 5-4?? x y? =?51?

PAUL MILAN6TERMINALE S SPÉ

1. MATRICE

1.4 Inversion d"une matrice

1.4.1 Définition

Définition 8 :Une matrice carréeMest dites inversible (ou régulière) si, et seulement si, il existe une matrice carrée, appelée matrice inverse et notée M -1, telle que :

M×M-1=M-1×M=I

SiM-1n"existe pas, on dit que la matriceMest singulière Exemple :Soit la matriceAcarrée d"ordre 2, définie par :?4 32 1?

Montrons que la matriceBdéfinie par :?-0,5 1,5

1-2? est la matrice inverse de la matriceA.

A×B=?4 32 1?

×?-0,5 1,5

1-2? =?-2+3 6-6 -1+1 3-2? =?1 00 1?

B×A=?-0,5 1,5

1-2?

×?4 32 1?

=?-2+3-1,5+1,5

4-4 3-2?

=?1 00 1?

1.4.2 Condition pour qu"une matrice d"ordre 2 soit inversible

Définition 9 :SoitMunematricecarréed"ordre2,onappelledéterminant de la matriceM, noté det(M), le nombre réel tel que :

M=?a b

c d?quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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