SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES
La limite de cette suite est la matrice colonne dont les coefficients sont les p limites obtenues. Dans tous les autres cas on dit que la suite est divergente.
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Terminale S spécialité - Lycée Saint-CharlesPatrice Jacquet - www.mathxy.fr - 2015-2016
1 Suites arithmético-géométiquesDéfinition 1
Une suite de nombres(un)vérifiantun+1=aun+best ditearithmético-géométrique(ou àrécurrence affine).Remarque.Si une suite arithmético-géométrique vérifiantun+1=aun+bconverge alors sa limite
xest solution de l"équationx=ax+b.Propriété 1 Soit une suite arithmético-géométrique vérifiantun+1=aun+b, avec-1< a <1. La suite(un)converge vers le nombrecvérifiantc=ac+b.Preuve.Soitcla solution unique de l"équationx=ax+b.
Soit la suite(xn)définie parxn=un-c, avecc=ac+b. On déduit par soustraction :un+1-c=aun+b-ac-bsoitun+1-c=a(un-c)et doncxn+1=axn. La suite(xn)est géométrique de raisonaet de premier termeu0-c. D"où pour tout entier natureln,xn=x0×anet doncun=x0×an+c. -1< a <1donclimx→∞an= 0. On en déduit que la suiteunconverge versc.2 Suites de matrices colonnes(Un)vérifiant Un+1=AUn+B.
2.1 Convergence d"une suite de matricesDéfinition 2 - Convergence d"une suite de matrices
(Un)est une suite de matrices de format donné,Lest une matrice de même format. Dire que la suite(Un)a pour limiteLsignifie que la suite des coefficientsUna pour limite les coefficients deL.Exemple.Un=( (3 + 0,1n5 + 0,8n
4 + 0,2n)
),n?N. La suite(Un)a pour limite la matrice( (3 5 4) Remarque.Si une suite de matrices colonnes(Un)vérifiantUn+1=AUn+Best convergente, alors sa limiteXest une matrice colonne vérifiant l"égalitéX=AX+B. 1 Classe de Terminale S Matrices et suites http://www.mathxy.fr/2.2 Etude des suites de matrices colonnes vérifiant U
n+1=AUn+BPropriété 2 Soit une suite de matrices colonnes(Xn)telle que pour toutn>0,Xn+1=AXn. X n=AnX0pour toutn>0.Preuve.(démonstration par récurrence)La propriété est vraie au rangn= 0.
On suppose la propriété vraie au rangk, c"est-à-direXk=AkX0 Au rangk+ 1, on a :Xk+1=A×(AkX0) = (A×Ak)×X0=Ak+1X0.La propriété est vraie au rangk+ 1.
D"après le principe de récurrence, la propriété est donc vraie pour toutn>0.Propriété 3
SoitIla matrice identité de même taille qu"une matriceA. Si la matriceI-Aest inversible, pour toute matrice colonneBde même taille queA, il existeune et une seulematrice colonneXvérifiantX=AX+B.Preuve.X=AX+B?X-AX=B?(I-A)X=B?X= (I-A)-1×B.Propriété 4
(propriété admise) SoitIla matrice identité de même taille qu"une matriceA. Dans le cas où la matriceI-An"est pas inversible, il n"existeaucunematrice colonneXvérifiantX=AX+Bou bien une infinitéde matrices colonneXvérifiantX=AX+B.Méthode.Détermination d"une form uleexplicite
DeUn+1=AUn+BetC=AC+B.
L"équationC=AC+Badmet une unique solution :C= (I-A)-1B.Par soustraction :Un+1-C=A(Un-C).
PosonsXn=Un-C. On a doncXn+1=AXn.
D"après le propriété 2, on en déduitXn=AnX0. On en déduitUn-C=An(U0-C), d"oùUn=An(U0-C) +CavecC= (I-A)-1B. 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] matrice de transition cours
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