[PDF] Matrices et suites Matrices et suites. Terminale S -

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Matricesetsuites

Terminale S - Spé

Vocabulaire des matrices

matricem×nmatrice ligne matrice colonne matrice diagonale matrice unité((((((a

11a12···a1n

a

21a22···a2n

a m1am2···amn)))))) a

1a2···an?((((((a

1 a 2 a m)))))) (a

110···0

0a22···0

0 0···ann))))))

(1 0···0

0 1···0

0 0···1))))))

A= (aij): matrice de coefficientsaij(lignei, colonnej)m=n: matrice carrée d"ordrenmatrice unité :InouI

Opérations avec des matrices

A= (aij)est une matrice de dimensionm×n

B= (bij)est une matrice de dimensionp×q

?A=B??m=p;n=qetaij=bij ?C=A+Bavecm=petn=q:cij=aij+bij ?C=kA:cij=kaij ?C=A×B:cij=lignei|A×colonnej|B ?An=A×A× ··· ×A? nfoissin?= 0etA0=Ia

11a12... a1n

a21a22...a2n a m1am2... amn((((((( )b 11 b12... b1q b 21
b22... b2q b n1 bn2... bnq((((((( c

11c12... c1q

c 21
c22... c2q c m1cm2... cmq((((((( a21×b12 a22×b 22
a2n×bn2 (kA)B=k(AB)

ABC= (AB)C

=A(BC)

A(B+C) =AB+BC

(A+B)C=AC+BC

AI=IA=A

?en général :

AB?=BA

Inverse d"une matrice

?Amatrice carrée inversible?? il existeBtel queAB=BA=I

Notation :B=A-1

?A=? a b c d? inversible?? det(A) =ad-bc?= 0 A -1=1 ad-bc? d-b -c a?

Résolution d"un système linéaire

?a

11x1+···+a1nxn=b1

a n1x1+···+annxn=bn??((((a

11···a1n

a n1···ann)))) A(((( x 1 x n))))

X=((((b

1 b n)))) B ?Écriture :AX=B ?Condition de solution (unique) :Ainversible ?Solution :X=A-1B

SuitesUn+1=AUn

Une suite de matrices converge

??toutes les suites formant les

éléments de cette matrice converge

?SiUn+1=AUnalorsUn=AnU0

Marche aléatoire

Un système qui anétats possiblesE1,E2,...Enqui évolue de l"un à l"autre par étapes successives aléatoires suit une marche aléatoire ànétats On notePnla matrice ligne associée à la marche aléatoire à l"instantn P n= (P(Xn=E1)P(Xn=E2)... P(Xn=En)) graphe probabiliste matrice de transition E1E2 E3 p12 p21 p23 p32p13 p31 p33 p11p22

T=(((p

11p12p13

p

21p22p23

p

31p32p33)))

p

11+p12+p13= 1

p

21+p22+p23= 1

p

31+p32+p33= 1

?Pn+1=Pn×TetPn=P0×Tn ?Un état probabilistePest stable??P×T=PCas particulier de deux états E1E2 p q

1-p1-q

T=? 1-p p q1-q?

Si(p;q)?= (0;0)et(p;q)?= (1;1)

alorsPnconvergequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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