[PDF] Généralité sur les fonctions

1 Généralité sur les fonctions

IH I FH I) ACTIVITES ET RAPPELLES 1.1 Ensemble de définition Activités 1: Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes définies de dans :1. 2. 3. 4. 5. 6. . Activité 2 : Soit un rectangle tel que : et un point qui part de et se déplace sans arrêt sur ; considérons la distance . 1- Calculer : - . 2- a) Déterminer graphiquement les variation de sur - b) Dresser le tableau de variation de sur -. c) Déterminer -suivant le tableau de variation- les extremums de la fonction sur -. 3- Montrer que la restriction de sur des intervalles de -, sont des fonctions affines et déterminer ses expressions. 4- Ecrire les expressions de - et sur . 5- a) Vérifier que b) Déterminer ----- et --. Activité 3 : Soit 1- Déterminer . 2- Etudier la parité de . 3- Donner la restriction de sur . 4- Déterminer les variations de sur - sur - et sur -. 5- Dresser le tableau de variation de sur . II)NOTIONS DE BASE 1) Ensemble de définition Définition :(fonction) On appelle fonction numérique à variable réel toute relation dune partie de vers tel que chaque élément de à au plus une image dans . Si alors : est limage de par la fonction est lantcdent de par la fonction .

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Définition :(Ensemble de dfinition dune fonction) Soit une fonction numérique à variable réel de dans , les éléments de qui ont une image par forment un ensemble uon appelle ensemble de dfinition de et on le note : Exercice : Dterminer lensemble de dfinition de la fonction : Remarque : Si est une fonction dont lensemble de dfinition est , lapplication dfinie de vers sappelle lapplication associée à la fonction . 2) Reprsentation graphiue dune fonction. Définition :(Graphe dune fonction) Soit une fonction numérique à variable réel, le graphe de la fonction est lensemble des couples tels que ; on le note : . Si le plan est rapporté à un repère (souvent orthogonal), chaque couple du graphe de peut être représenté par un point , lensemble des points ainsi dfinie forme une courbe dans le plan uon appelle la courbe représentative de la fonction , ou encore la représentation graphique de la fonction on la note par : Définition : Le plan étant rapporté à un repère , la représentation graphique de la fonction est lensemble des points tels que . Remarque : Pour uune courbe dans le plan soit une courbe dune fonction numriue ariable relle il faut et il suffit ue chaue parallle lae des ordonnes coupe cette courbe en au plus un point.

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Exemples : Les courbes suivantes ne sont pas les courbes des fonctions numériques à variable réelle. Les courbes suivantes sont les courbes des fonctions numériques à variable réelle. III) FONCTIONS : PAIRE ; IMPAIRE ; PERIODIQUE 1)Activités : Activité : Soit où désigne la partie entière. 1- a) Supposons uil eiste un rel qui vérifie ; montrer que . b) En déduire la valeur du plus petit réel strictement positif qui vérifie 2- Inversement pour la valeur trouvée en 1-b) : montrer que ) Activité 2 : Compléter la courbe ci-dessous de la fonction sachant que : .

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Activité 3 : La courbe ci-contre est une partie de la courbe de la fonction définie par : ( 1- Dterminer lensemble dfinition de la fonction 2- Déterminer la nature de . 3- Compléter la courbe 2) Fonction paires, fonctions impaires 2.1 Fonction paire : Définition : Soit une fonction dont lensemble de dfinition est , on dit que la fonction est paire si : ) Propriété : Dans le plan muni dun repère orthogonal, la courbe reprsentatie dune fonction paire est symétrique par rapport lae des ordonnées. Preuve : (en exercice) 2.2 Fonctions impaire : Définition : Soit une fonction dont lensemble de dfinition est , on dit que la fonction est impaire si : ) Propriété : La courbe reprsentatie dune fonction paire est symtriue par rapport lorigine du repre. Preuve : (en exercice). 3) Fonctions périodiques : Définition : Soit une fonction dont lensemble de dfinition est , on dit que la fonction est périodique sil eiste un réel non nul qui vérifie : )

5 Généralité sur les fonctions Tout réel ui rifie la dfinition sappelle une période de la fonction . Le plus petit réel strictement positif ui rifie la dfinition sappelle la période de la fonction . Exemples : Dans lactiit prcdente : est périodique de période Soit la fonction 1- Dterminer lensemble de dfinition de la fonction . 2- Montrer que la fonction est périodique et déterminer sa période. Propriété : Si est une fonction périodique de période alors pour tout dans , est une période de . Exercice : Démontrer par récurrence sur la propriété précédente. Envisager deux cas : et où est un entier naturel. Courbe dune fonction priodiue : Activité : La courbe ci-dessous est la courbe de la fonction qui est périodique de période est la courbe représentative de la restriction de la fonction sur 1- Quelle est la longueur de . 2- Déterminer graphiquement les transformations qui transforment en , en et 3- Conjecturer la transformation qui transforme en . Théorème : Soit une fonction périodique de période et dont lensemble de dfinition . On pose : où est un élément de et la courbe de la restriction de sur . est limage de par la translation de vecteur - Preuve : En exercice.

6 Généralité sur les fonctions Remarque : La courbe est la réunion de toutes les courbes où , Exercice : La courbe ci-dessus est la courbe de la restriction de la fonction sur linteralle On a montré que cette fonction est périodique de période , continuer à tracer la courbe sur -- IV) FONCTION MAJOREE, MINOREE, BORNEE 1) Activité Activité 1 : Soit la fonction définie par : - En utilisant la forme canonique du trinôme , montrer que Activité 2 : Soit la fonction définie par : 1- Dterminer lensemble de dfinition de la fonction et étudier sa parité. 2- Construire la courbe de la restriction de sur -, puis construire 3-Montrer que et que 4- La fonction admet-elle un maximum absolu ? Définitions Soit une fonction numriue dont lensemble de dfinition est , et une partie de . On dit que : est majorée sur si On dit que : est minorée sur si On dit que est bornée sur si elle est majorée et minorée sur . Remarque :

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Quand une fonction est majorée sur son ensemble de définition, on se contente de dire uelle est majore. Un majorant dune fonction sur nest pas ncessairement extremum absolu. Dans la courbe ci-contre est un majorant de mais pas un etremum absolu (Il n y a pas de rel qui vérifie que ) Exemple : La fonction dans lactiit 2 est majore par 1 et minore par . La fonction dans lactiit 1 est minorée. Montrer par absurde que ne peut pas être majorée. Propriété : Si est une fonction majorée par alors elle majorée par tout nombre tel que : Si est une fonction minorée par alors elle majorée par tout nombre tel que : Interprétations géométriques : La courbe dune fonction majore par est au-dessous de la droite (figure 1) La courbe dune fonction minore par est au-dessus de la droite (figure 2) Propriété : Soit une fonction numriue dont lensemble de dfinition est ; est bornée si et seulement si : Preuve : (en exercice) V) COMPARAISON DE DEUX FONCTIONS 1) Signe dune fonction Activité : Soit la fonction définie sur par : - Montrer que - Définition : Soit une fonction dont lensemble de dfinition est , et une partie de . On dit que : est positive sur si - On dit que : est négative sur si -

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Remarque : Si est positive sur on dit que est positive et on écrit : - Si est négative sur on dit que est négative et on écrit : - Une fonction positive est minorée par 0, par contre une fonction négative est majorée par 0. Exemple : Sur la courbe ci-contre la fonction change de signe : est négative sur et positive sur Définition : Soient et deux fonctions dont les domaines de définitions sont respectivement et et une partie commune entre et On dit que et plus grande que sur si et on écrit sur Interprétation géométrique : Si sur alors est au-dessus de Exemple : Sur la figure ci-contre est la courbe de la fonction - et est la courbe représentative de la fonction Sur on a : . Sur on a Exercice : Considérons les fonctions - et 1- Résoudre dans luation 2- Construire les courbes et 3- Nous définissons le réel par : . Soit la fonction définie par : a) Donner une expression de en fonction de b) Construire la courbe représentative de .

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VI) VARIATION DUNE FONCTION ET EXTREMUMS 1) Activités et définition. Activité1 : A partir de la courbe ci-contre dune fonction , 1-Déterminer la monotonie de sur les intervalles ; - et sur - 2-Dresser le tableau de variations de la fonction . 3-Déterminer les extremums de la fonction et leurs natures. Activité 2 : Soit la fonction - 1- Ecrire des expressions de la fonction sans la valeur absolue. 2- Etudier la monotonie de la fonction 3- Dresser le tableau de variation de la fonction . 4- Déterminer les extremums de la fonction et leurs natures. Activité 3 : Soit la fonction Montrer que la fonction nadmet pas de maimum absolu. Définitions :(Monotonie dune fonction) Soit une fonction numriue ariable relle dont lensemble de dfinition est . un intervalle de . On dit que : est croissante sur si : On dit que : est strictement croissante sur si : On dit que : est décroissante sur si : On dit que : est strictement décroissante sur si : On dit que est monotone sur linteralle sil est croissante ou bien dcroissante sur . On dit que est strictement monotone sur linteralle sil est strictement croissante ou bien strictement décroissante sur . 2) Tau de ariation dune fonction 2.1 Définition Définition : Soit une fonction dont est son ensemble de définition ; un intervalle inclus dans . et deux éléments distincts de ; le nombre sappelle le tau daccroissement de la fonction entre et . Théorème : Soit une fonction dont est son ensemble de définition ; un intervalle inclus dans . la fonction est croissante sur si et seulement si - la fonction est décroissante sur si et seulement si - Preuve : En exercice

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Exercices : 1- Etudier la monotonie de la fonction sur . 2- Etudier la monotonie de la fonction sur - et sur 2.2 Monotonie et parité : Propriété : Soit une fonction paire dont le domaine de définition est , un intervalle dans , et son symétrique par rapport à 0. si est croissante sur alors elle est décroissante sur si est décroissante sur alors elle est croissante sur Soit une fonction impaire dont le domaine de définition est , un intervalle dans , et son symétrique par rapport à 0. si est croissante sur alors elle est croissante sur si est décroissante sur alors elle est décroissante sur Preuve : On suppose que est paire : soit un intervalle dans , et son symétrique par rapport à 0. Soient et deux éléments de alors il existe et dans tels que et = = (car est paire) = 3) Extremums 3.1 Extremums absolues Activité : Soit la fonction définie sur par : ( ; Montrer que -) Définition : Soit une fonction numriue dont lensemble de dfinitions est On dit que admet un maximum absolu en si : . On écrit : On dit que admet un minimum absolu en si : . On écrit : Remarque : Si admet un maximum absolu en alors est un majorant de . Si admet un minimum absolu en alors est un minorant de 3.2 Extremums relatifs Activité : Soit la fonction définie sur par : ( 1- Etudier la parité de la fonction . 2- Etudier les variations de la fonction sur - et sur 3- Dresser le tableau de variation de sur .

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Définition : Soit une fonction numriue dont lensemble de dfinitions est On dit que admet un maximum relatif en sil eiste un intervalle ouvert inclus dans et qui contient tel que : . On dit que admet un minimum relatif en sil eiste un intervalle ouvert inclus dans et qui contient tel que : . Propriété : Soit une fonction dont lensemble de dfinition est , trois éléments de tels que et Si est croissante sur et décroissante sur alors admet un maximum relatif en Si est décroissante sur et croissante sur alors admet un minimum relatif en f admet un maximum relatif en admet un minimum relatif en Interprétation géométrique : Sur la figure ci-contre on a : admet un maximum relatif en et admet un minimum relatif en VII) ETUDE DES FONCTIONS USUELLES (RAPPELLES) 1) Propriété : Soit un trinôme (- En posant et on obtient pour tout réel ; cest la forme canonique du trinôme . La courbe est limage de la courbe de la fonction ( par la translation de vecteur . La courbe dans un repère orthogonal est une parabole de sommet et dae la droite Les variations de et sa représentation graphique peut être définies suivant le signe de comme suite : En posant et

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Si : Si : 2) Propriété : Soit la fonction homographique définie sur par où - et - Ils existent trois réels tels que pour tout dans on a : La courbe est limage de la courbe représentative de la fonction par la translation de vecteur . La courbe dans un repère orthogonal est une hyperbole de centre et dasymptotes les droites et . Pour les variations de on envisage les deux cas suivants : Si : Si :

13 Généralité sur les fonctions 3) Activité : Soit la fonction définie par : où - 1- Déterminer suivant les valeurs de lensemble de dfinition de . 2- Dterminer le tau daccroissement de la fonction en deux réels et de 3- Dresser suivant les valeurs de le tableau de variation de la fonction Propriété : 0 0 4) Activité : Soit la fonction définie par : où - 1- Montrer que est une fonction impaire.

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2- Montrer ue le signe du tau daccroissement de sur est le signe de 3- Dresser suivant les valeurs de le tableau de variation de Propriété : 0 0 0 0 VIII) MONOTONIE DE LA COMPOSITION DE DEUX FONCTION. Soient et deux fonctions dons les ensembles des définitions respectifs et ; une intervalle de et un intervalles de tels que : Soient et deux éléments de tels que : et On a :

15 Généralité sur les fonctions Propriété : Soient et deux fonctions dons les ensembles des définitions respectifs et ; un intervalle de et un intervalles de tels que Si est croissante sur et est croissante sur alors est croissante sur . Si est décroissante sur et est décroissante sur alors est croissante sur . Si est croissante sur et est décroissante sur alors est décroissante sur . Si est décroissante sur et est croissante sur alors est décroissante sur . Exercice 1 : Soient les fonctions : et - et 1- Exprimer en fonction de . 2- Déterminer ensemble de définition de . 3- Dresser les tableaux de variation de et g. 4- En déduire les variations de . Exercice 2 : Soit la fonction - 1- Montrer que où - et - 2- Dresser les tableaux de variation de et 3- En déduire les variations de . IX) REMARQUES SUR LES GRAPHES. 1) Nombre de solution de luation Soit une fonction dont la courbe représentative est . Le nombre de solutions de luation est le nombre de points dintersection de la courbe avec la droite .

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Soit une fonction numérique dont la courbe représentative et sont symétrique par rapport lae Si - alors et dans ce cas et seront confondues. Si - alors et dans ce cas et seront symétriques par rapport à lae Si - alors et dans ce cas et sont confondues. La fonction etant paire alors est symétrique par rapport à lae