1 GENERALITES SUR LES FONCTIONS 1 ) QUELQUES RAPPELS
Cette écriture signifie que la fonction f définie sur l'intervalle I
Majorant minorant
minimum.
Série dexercices
Déterminer l'ensemble de définition et étudier la parité des fonctions suivantes : 4) Préciser si f est majorée minorée
Généralité sur les fonctions
On a montré que cette fonction est périodique de période continuer à tracer la courbe sur [?2
Généralités sur les fonctions
Rappels de cours. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est bornée sur I si elle est majorée et minorée sur I. Fonction paire impaire ...
Généralités sur les fonctions
Rappels de cours. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est bornée sur I si elle est majorée et minorée sur I. Fonction paire impaire ...
Majorer minorer
https://math.unice.fr/~ah/ens/cours/anal11/majo.pdf
Bornes des fonctions
Certaines fonctions sont majorées et minorées on dit qu'elles sont bornées. Exemples. La fonction sinus est bornée. Les fonctions logarithme et exponentielle ne
FONCTIONS - Généralités
Cours de 1ere Sciences math BIOF. Leçon : FONCTIONS - Généralités Fonctions majorées ; minorées et bornée : 6-1) Comparaison de fonctions.
Bornes des fonctions
Certaines fonctions sont majorées et minorées on dit qu'elles sont bornées. Exemples. La fonction sinus est bornée. Les fonctions logarithme et exponentielle ne
Majorer minorer encadrer - unicefr
On peut aussi encadrer (majorer minorer) une fonction Dans ce cas on peut encadrer la fonction par deux nombres ou par deux fonctions Exemple La fonction x 7? 1 x2+1 est comprise entre 0 et 1 Exo 1 Encadrer la fonction sinus (par deux nombres)
Fonctions réelles d'une variable réelle - boilleyovh
Une fois les ariationsv de la fonctions établies on peut regarder si la fonction est bornée 11 3 1onctionF majorée minorée ou bornée Soit IˆR et f: I!R On dit que : festmajorées'il existe M2R tel que pour tout x2I on a f(x) M festminorées'il existe m2R tel que pour tout x2I on a f(x) m
Majorer minorer encadrer - unicefr
Majorer une fonction Pour majorer une fonction (par un nombre) on peut regarder son tableau de variations et eventuellement conclure Exemple Une fonction f ayant le TV suivant est major ee par 70 x 1 7 3 4 +1 4 66 f(x) & & 2 7 1 Exo corrig e Minorer la fonction pr ec edente au vu de son TV
Borne Inférieure borne supérieure - univ-toulousefr
Théorème:Toute partie non vide et majorée dans R admet une borne supé-rieure Caractérisation 1 :Soit Aune partie de R non vide et majorée La borne supérieure de Aest l’unique réel tel que : i) Si a?A alors a?sup(A) (c’est un majorant de A)
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Une fonction est majorée par son maximum et est minorée par son minimum Attention : Une fonction peut admettre un majorant ( ou un minorant ) sur un intervalle sans admettre forcément de maximum( ou de minimum ) Ex : La fonction inverse est minorée par 0 sur l’intervalle ] 0 ; + ? [ mais 0 n’est pas un minimum
Quelle est la différence entre une fonction majorée et une fonction bornée ?
Une fonction est T -périodique si et seulement si sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur ( T ; 0). Une fonction est dite majorée (resp. minorée) par un réel si son image est majorée (resp. minorée) par ce réel. Une fonction est dite bornée si son image est bornée.
Quelle est la différence entre borne supérieure et borne minorée ?
Soit . · On dit que f est majorée, s’il existe un réel Mtel que . Dans ce cas, on appelle borne supérieurede fsur l’intervalle I, noté , le plus petit majorant de f. · On dit que f est minorée, s’il existe un réel mtel que . Dans ce cas, on appelle borne inférieurede fsur l’intervalle I, noté , le plus grand minorant de f.
Comment savoir si une fonction est bornée ?
Une fonction est dite majorée (resp. minorée) par un réel si son image est majorée (resp. minorée) par ce réel. Une fonction est dite bornée si son image est bornée. Une fonction est bornée si et seulement si sa valeur absolue est majorée. Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D ? R non vide.
Comment montrer qu'une fonction est majorée ou minorée ?
Comment montrer q’une fonction est majorée ou minorée ? Rappel sur les fonctions majorée et les fonctions minorée : On dit que f est minorée par m sur une intervalle I si et seulement si ($forall xin I$) ; $f(x)>m$. On dit que f est majorée par M sur une intervalle I si et seulement si ($forall xin I$) ; $f(x)
L'essentiel à connaître
Généralités sur les fonctions 7
Chapitre
Généralités sur les fonctions
Rappels de cours
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.Fonction croissante, décroissante
f est croissante sur I, si pour tous éléments x et y de I : xy f(x) f(y). f est strictement croissante sur I, si pour tous éléments x et y de I : xy f(x) f(y). f est décroissante sur I si pour tous éléments x et y de I : xy f(x) f(y). f est strictement décroissante sur I si pour tous x et y de I : xy f(x) f(y).Maximum, minimum, extremum
f admet un maximum (absolu) en a I, si pour tout x de I : f(x) f(a). f admet un minimum (absolu) en aI, si pour tout x de I : f(x) f(a). 1L'essentiel à connaître
8 Chapitre 1 f admet un maximum relatif en
aI, s'il existe un intervalle ouvert JI, tel que aJ et tel que pour tout x de J : f(x) f(a). f admet un minimum relatif en aI, s'il existe un intervalle ouvert JI, tel que aJ et tel que pour tout x de J : f(x) f(a). f admet un extremum sur I si f a un maximum ou un minimum sur I.Soit f définie sur
I[b;c] et soit a]b;c[ ; si f est croissante sur
[b ; a] et décroissante sur [a ; c], f (a) est un maximum de f sur I.Fonction majorée, minorée, bornée
f est majorée sur I s'il existe M tel que pour tout x de I : f(x) M.M est un majorant de f sur I.
f est minorée sur I s'il existe un réel m tel que pour tout x de I : f(x) m. m est un minorant de f sur I. f est bornée sur I si elle est majorée et minorée sur I.Fonction paire, impaire, périodique
La fonctio , d'ensemble de définition
fD, est paire si :
ff (x D) ( x D) et fD, f( x) f(x).
La fonctio , d'ensemble de définition
fD, est impaire si :
ff (x D) ( x D) et fD, f( x) f(x).
La fonctio , d'ensemble de définition
fD, est périodique de
période T si : ff (x D ) (x T D ) et fD, f(x T) f(x).
L'essentiel à connaître
Généralités sur les fonctions 9Fonctions ku , u + v, uv, u v Soit u une fonction définie sur l'intervalle I et soit k une constante. La fonction ku est la fonction définie sur I par : (ku)(x) ku(x). Soit u et v deux fonctions définies sur l'intervalle I ;La fonction u + v est définie sur I par :
(u v)(x) u(x) v(x).La fonction uv est définie sur I par :
(uv)(x) u(x) v(x).La fonction
u v est définie par : uu(x)(x)vv(x) , pour tout x de I qui n'annule pas le dénominateur. Si u est croissante sur I et si k > 0, alors ku est croissante sur I. Si u est croissante sur I et si k < 0, alors ku est décroissante sur I. Si u et v sont croissantes sur I, alors u + v est croissante sur I. Si u et v sont décroissantes sur I, alors u + v est décroissante sur I. Si u et v sont croissantes sur I et si pour tout x de I, u(x) 0 et v(x) 0, alors uv est croissante sur I.Fonction composée
Soit f une fonction définie sur l'intervalle I et soit g définie sur un intervalle J contenant toutes les images des éléments de I par f.La fonction
o gf est définie sur I par : o (g f)(x) g[f(x)]. f et g vérifiant les conditions de la définition précédente :Si f et g sont croissantes,
o gfest croissante.Si f et g sont décroissantes,
o gfest croissante. Si l'une est croissante, l'autre décroissante, g O f est décroissante.L'essentiel à connaître
10Chapitre 1
Fonctions de base
Les fonctions à connaître :
O O f(x) 0,5x 1 f(x) |x| O O 2 f(x) x f(x) x O O1f(x)x
3 f(x) x O O f(x) cosx f(x) sinxPour tout x réel :
cos(x 2 ) cosx et sin(x 2 ) sinx. cos( x) cosx et sin( x) sinx cos(x ) cosx et sin(x ) sinx .L'essentiel à connaître
Généralités sur les fonctions 11 Propriétés des inégalitésSi a < b et c < d, alors a + c <
b + d : on peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens. Si a < b alors pour tout réel c, a + c < b + c : on peut additionner un même nombre aux deux membres d'une inégalité. Si a < b et si c > 0, alors ac < bc : on peut multiplier les deux membres d'une inégalité par un réel strictement positif, sans changer le sens de l'inégalité. Si a < b et si c < 0, alors ac > bc : on peut multiplier les deux membres d'une inégalité par un réel strictement négatif, à condition de changer le sens de l'inégalité. Si0ab, alors
220a b : la fonction
2 xx est strictement croissante sur Si ab0, alors 220b a : la fonction
2 xx est strictement décroissante sur Si0ab, alors
110ba: la fonction 1xx est strictement décroissante sur Si ab0, alors
110ba : la fonction 1xx
est strictement décroissante sur Si0x1, alors
432...xxxx. Si x1, 234
x x x x ...
La fonction partie entière E(x)
Tout réel x est compris entre deux entiers consécutifs : nxn1. Le nombre n est la partie entière de x et est noté E(x) E(x 1) E(x) 1 et pour tout entier p, E(x p) E(x) pLes méthodes
12Chapitre 1
1. Déterminer Df : a-t-o = g ?
Méthode
Etant donnée une expression f(x)de f, déterminer le sous- ensemble f Ddele plus grand possible sur lequel f est définie.Penser aux deux conditions :
un dénominateur ne peut être nul. u(x)n'est défini que si u(x) est défini et si u(x) 0.Deux fonctions f et g sont égales si :
fg DDPour tout x de
fD, f(x) g(x).
Exemple
1.Déterminer les ensembles de définition des fonctions f, g et h :
telles que 2 x2x4f(x)(x 1)( 2x 6)3x 6g(x)x1
3xh(x)5x 15
2.Les fonctions f et g sont-elles égales ?
a.1f(x)x
xg(x)x . b. xf(x)x ; g(x) x.Solution
1. f est définie pour tout réel x1 et x3 :
fD\{1,3}.
g est définie six1 et si 3x 6 0, soit x2. gD] ;2]\{1}.
h est définie si 5x 15 0, soit x > 3. hD]3;[.
2. a.f est définie sur
, et g est définie sur ; d'autre part, pour tout x de x1g(x)f(x)xx x . f et g sont égales. b.f est définie sur et g est définie sur ; on a donc fg.Cependant la restriction de g à
est égale à f.Attention
Une seule valeur de x telle que f(x) g(x) et déjà fg!Les méthodes
Généralités sur les fonctions 13
2. Montrer que f est croissante
Méthode 2.1.
Utiliser les propriétés des inégalités pour prouver que : xy implique f(x) f(y)Exemple
1.Montrer que la fonction f telle que f(x) 4x 3 est strictement
décroissante sur2.f est définie surI]1; [par :
2f(x) 3x1
Montrer que f est strictement croissante sur I.
3. f est définie sur par
2 f(x) (x 3) 4 ; montrer que f est décroissante sur [3; [Solution
1. Si x < y, on a 4x 4y, donc 4x 3 4y 3, soit
f(x) f(y). f est bien strictement décroissante sur .2. Si 1xy, on a : 0x1y1 et comme la fonction
1XX est strictement décroissante sur 11 y1 x1 donc 22y1 x1 , donc
2233y1 x1
et on a bien : xyimplique f(x) f(y); f est strictement croissante sur ]1; [.3. Si 3xy , on a 0x3y3 ; comme
2XX décroît
sur 22(x 3) (y 3) , donc 22
(x 3) 4 (y 3) 4 et on a bien l'implication xy implique f(x) f(y).
Attention
Méthode utile pour revoir les inégalités, mais elle a le même intérêt pour l'étude d'une fonction, qu'une trottinette pour faire le tour de France. On disposera bientôt d'un outil universel : les dérivées !Les méthodes
14Chapitre 1
Méthode 2.2.
Etudier le signe de f(x) f(y) en fonction de celui de xy.Exemple
1.Etudier le sens de variation de la fonctio définie sur [1; [
par 2 f(x) x 2x 3.2. Etudier le sens de variation de la fonctio définie sur [1; [
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