Chapitre 6 - Courbes planes PDF Montrer qu'il existe une

La courbe ci-contre est sa représentation graphique et admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. Fonction impaire. On dit que la fonction f est

La courbe admet un axe de symétrie La courbe admet un centre de

On trace la courbe de la fonction sur la calculatrice et on réfléchit à ce qu'il va falloir montrer. Comment montrer qu'une courbe admet un axe de symétrie

Poly fonctions R dans R Tout les methodes

Comment montrer que la courbe d'une fonction admet un point O(a b) comme centre de symétrie? . . . . 13. Limite. 15. Comment montrer qu'une fonction f

Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique

Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet un centre de symétrie situé sur l'axe Ox alors

de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1

On note (Cf ) sa courbe représentative dans un rep`ere orthonormé. 1. Montrer que (Cf ) admet un centre de symétrie en un point d'abscisse 1.

Cours magistral 5 : Étude de fonctions parité

symétrie

Chapitre 6 - Courbes planes

Montrer qu'il existe une symétrie s telle que s(M(?) = M(??). En déduire un domaine d'étude de la courbe. 2. Donner une équation cartésienne de la tangente `a

Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R

Montrer que la valeur absolue est une norme sur R. Proposition 1.4. Soit A ? Mn(R) une matrice symétrique définie positive et b ? Rn. On admet.

Baccalauréat mathématiques élémentaires Dakar juin 1963

Construire la courbe représentative ; montrer qu'elle admet un centre de symétrie ; donner l'équation de la tangente en ce point. EXERCICE 2.

Baccalauréat C Poitiers juin 1980

2 juin 1980 Démontrer que la courbe (C ) admet un centre de symétrie noté ? qu'on dé- terminera. 4. Soit u un nombre réel strictement supérieur à 1.

Chapitre6

Courbesplanes

6.1Fonctions d'unevariabler´eelle` avaleur vectorielle

Dansceparagrap he,oncon sid`ererafuneapplicat iondedomaineded´efinitionD?R`avaleu rsdansR n o`un?N

6.1.1Limiteset continuit´e

D´efinition6.1Onsup posequeD?]b,a[?]a,c[avecbOnnot ef i (x)lai-`emecomposa ntedef(x).Ond´efinitainsinapplicationsdeDdansR:f i :x→ f i (x).Ondiraquefadmetunelimi teenasicha queapplicatio nf i admetunelimi teena.Sionnote l i =lim x→a f i (x)alorsl=(l 1 ,...,l n )estpa rd´efinition lalimitedefenaeton notel=lim x→a f(x).

Onad on c

lim x→a f(x)=l??i?1,...n,lim x→a f i (x)=l i .(6.1) Remarque6.1Onpeut d´efinirla limitedefenunp oi ntasanspasserpa rlescomposant es.Ond´efinira dansle chapitre 7lanotiondenormesurR n .Alorsfadmetlcommelimitee nasipo urtoutε>0,il existeδ>0t.q.: o`u?f(x)-l?d´esigneunenormeduvec teur(f(x)-l).

Exemple6.1

f:x?R→f(x)=(x 2 ,cosx)(6. 2) lim x→0 f(x)=(0,1).

Ond´efi nitdemani`ere´evident elesli mites`adroiteet`agauche etleslimitesauxbornes(´event uellemen t

infinies)deD(enseramen antauxc omposantesdef). D´efinition6.2Sia?D,ondit quefestco ntinueenasifadmetunelimi teena´ega le `af(a). Demani` ere´equivalente,festcontinu eenasichacu nedesapplicationsf i estcontin ueena. 112

6.1.2D´eriv´ee etformuledeTaylor-Young

Delamˆ ememan i`ereond´efinitla d´eriv´eedefpar

1.festd´ erivableenasicha cunedesfonctionsc omposantes f

i estd´ erivableena.Lad´eriv´eedefen a,not´eef (a),estd´ efinieparf a)=(f 1 (a),...,f n (a)).Ona lim h→0 f(a+h)-f(a) h =f (a).(6.3)

2.Sitoute slesfonctions composantesson td´erivablese ntoutpointdeD,alorsfestd´ erivablesurD

eton peutd´ efinirlafonctio nvectoriellef :x?D→f (x)=(f 1 (x),...,f n (x)).

3.Ond´ efinitdemˆemepourk?N,f

(k) =(f (k) 1 ,..,f (k) n 4.f?C k (D;R n )sif i ?C k Exemple6.2Dansl'exemple6.1 ,festind ´efinimentd´erivablesurReton a f (x)=(2x,-sinx),(6.4) f (x)=(2,-cosx),(6.5) etpo urk>2 f (k) (x)=(0,cos(x+k 2 )).(6.6) n .Onsuppose fdecl asseC p f(x)= p k=0 (x-a) k k! f (k) (a)+(x-a) p

ε(x),aveclim

x→a

ε(x)=0.(6.7)

Ondit que(x-a)

ε(x)estun" petito"de(x-a)

p dansR n lorsquextendver saeton note(x-a) p

ε(x)=

o(x-a) p

6.2Courbes param´etr´eesplanes

Unecourb eparam´etr´eedansunplanPmunid'unrep `ereorthonorm´e (O, i, j)d´ecritl'ensembledes pointsM(x,y)du planPtelsque( x,y)d´ ependentd'unparam`etrer´eel(qu' onal'habituded enotert):

OM(t)=x(t)

i+y(t) j(6.8) D´efinition6.4Onap pellecourbeparam´ etr´eedansleplanune applicationd'unepartieDdeRdansle planPqui`a toutr´ eelt?DassocieunpointM(t)dupla nPdeco ordonn´ees(x(t),y(t)).S={M(t);t?

D}estle supportg ´eom´etriquedelac ourbeparam´etr´ee.SiD=[a,b]ondit quelac ourbeparam ´etr´ee est

unar cd'extr´emit´esA(x(a),y(a))etB(x(b),y(b)).Lesyst`emeFqui`a t?Dassocie F(t)= x=x(t) y=y(t) (6.9) estap pel´erepr´esentationparam ´etriquedelacourbeS. 113
Exemple6.31.Unse gmentdedroite:[AB].O npe utchoi sir

F:t?[0,1]→

x=x a +t(x b -x a y=y a +t(y b -y a (6.10) Ona

F(0)=(x

a ,y a )(6. 11)

F(1)=(x

b ,y b ),(6.12)

M(x,y)?[AB]??t?[0,1]t. q(x,y)=F(t).(6.13)

2.Legrap hed'unefonct iond'unevariabler´ eelleestunecourbep aram´etr´ee:

Soitfunefonction continuesur[a,b]etC

f songraphe .

F:t?[a,b]→

x=t y=f(t) (6.14) estbienun erepr´esentat ionparam´et riquedelacourbeC f

3.Unarc decer cle.

SoitAetBdeuxpointsd' uncercleCdece ntreωetdera yonR.Soit(α,β)le scoordonn´ eesde

ωdansunrep `ereort honorm´e(O,

i, j)du plano`u estsitu´ eC.Soi tθ a ?[0,2π[,l'angl eorient´e 0x,

A)etθ

b l'angle( Ox, B).L'arcABpeutˆetred´ ecritparleparam´et ragesuivant

F:t?[θ

a b x=α+Rcost y=β+Rsint .(6.15)

4.Uneelli pse

F:t?[0,2π[→

x=α+acost y=β+bsint .(6.16)

Remarque6.2Iln'ya pasunicit ´ed elarep r´esentationparam´etriqued' unecour be.Au nmˆemesupport

Sestassoci ´euneinfinit´ederepr´e sentations param´etriques.Parexemple

1.t?[0,2π],

F 1 (t)=(α+Rcost,β+Rsint)(6. 17)

2.t?[0,2π],

F 2 (t)=(α+Rcost,β-Rsint)(6. 18) Lesu pportdeces2courbesp aram´etr ´eesestle cer cledecentreωetdera yonR.Dan slecasdeF 1 ,le cercleestparcourudans lesensdi rect,etdanslesensin versedans l'autre cas. SiFestunerep r´esentat ionparam´etriqued'unecourbeSetφuneapplicat ionsurjectivedeD dansD, alorsF◦φestuneaut rerepr´es entationparam´et riquedelamˆemecourbeS. 114

6.3Etudedecour besplanes

Soitunecour beparam´et r´eeSd´efinieparunerepr´ese ntationp aram´etriq ue(I,F),o` uIestunint ervalle

deRetFunefoncti onvectorielledeIdansR 2 .On notera (x(t),y(t))lesc omposantesd eF.L'ob jetde ceparagrap heestl'´etudejusq u'autrac´ed eS.

6.3.1Domained'´e tude

Onvacom mence rparessayerder´eduireled omained' ´etudedeF.

P´eriodicit´e

Silesf onctionsx,ysontp´erio diques,oncherchelepluspetitT>0telque ?t?I,x (t+T)=x(t)ety(t+T)=y(t).(6.19) Lafon ctionFseraTp´eriodique.Tpeuts'obteni rencherchantlep.p.c.mdesp ´erio desdexety.Siun telTexiste,lacourbeSseraenti`er ementd´ecritelorsquetparcourtI∩[a,a+T]o`ua?R.

Exemple6.4

I=R,etF(t)=(cos

3 t,sin2t)(6. 20)

xest2πp´eriodique,yestπp´eriodique,doncFest2πp´eriodique.Onpeutr´eduireledoma ined'´ etude`a

toutinterv alledelongueur2π.

Sym´etries

SupposonsqueIsoitunint ervalle centr´e`al'origine.

Sipourt outt?I

1. x(-t)=x(t),ety(-t)=-y(t)(6. 21) alorsOxestaxedesy m´etr ie. 2. x(-t)=-x(t),ety(-t)=y(t)(6. 22) alorsOyestaxedes ym´etr ie. 3. x(-t)=-x(t),ety(-t)=-y(t)(6. 23) alorsOestcentr edesym´etrie.

6.3.2Tangenteen unpoint`aunecourbepararam´e tr´ee

D´efinition6.5SoitM

0 (x(t 0 ),y(t 0 ))?SetM=F(t 0 +h)(pourhtelquet 0 +h?I).On ditqueS admetunedemi- tangenteen M 0 si M 0 M M 0 M admetunelim itequandh→0 .Demˆ emesih→0 .On ditqueSadmetunetangent eenM 0 sielle admetdesd emi-tangentescolin´ eaires (ellesseront´egalesou oppos´ees,etnonnulles).Ces demi-tange ntes d´efinissentalorsuneuniquedr oitepassantparM 0 ,appel´ee lata ngente`aSenM 0 115

Demani` ereplusintuitive,lat angente`aSenM

0 estla"lim ite"de ladroiteMM 0 lorsqueMtendvers M 0 enrest antsurS(ilrester ait`apr´eciserlesensdela limit ed'unedroite).

Exemple6.5Si

F(t)= (e -1/t ,0)sit≥0, (0,e -1/t )sit<0, (6.24) alorslacourb eSposs`ededeuxdemi-tang entesnoncol in´eaires(etFestpo urtantC D´efinition6.6SupposonsqueFsoitd´er ivableent 0 ?I.SiF (t 0 )?=0,M 0 estap pel´eunpointr´egulier deSetsino n,ilestappel´epo intst atio nnaire. Proposition6.1(Tangenteenunpoints tationnair e)Soitt 0 ?I.SiFestd´ erivableent 0 etsi F (t 0 )?=0,alorsSadmetunetange nteenM 0 etund es esvecteursdir ecteursest v=x (t 0 i+y (t 0 j.

SoitM=F(t

Δt)?S.Lad roit e(M

M)ap ourv ecteurdi recteur

F(t 0

Δt)-F(t

0 Δt (6.25)

Lorsque

Δttendsvers 0,

lim

Δt→0

F(t 0

Δt)-F(t

0 Δt =F (t 0 ).(6.26)

Ainsidanslerep `ereorthonor m´e(O,

i, j),unve cteur directeurdelatangente`a lacourbeenM 0 est x (t 0 i+y (t 0 j.(6.27) Latan genteadmetlarepr´es entationparam´et riques uivante x(θ)=x(t 0 )+x (t 0 y(θ)=y(t 0 )+y (t 0 (θ?R),(6.28) etl'´e quationcart´esienne y (t 0 )(x-x(t 0 ))-x (t 0 )(y-y(t 0 ))= 0.(6.29) Proposition6.2(Tangenteenunpoints tationnaire )S'ilexistek?N telque Fsoitd´eri vable jusqu'`al'ordr ekent 0 ettel queF (k) (t 0 )?=0,alorsSadmetunetangen teenM 0 .Elleapourvecteur directeurlapremi`ered´er iv´eeF (p) (t 0 )nonnul le. Latan genteadmetlarepr´es entationparam´et rique suivante x(θ)=x(t 0 )+x (p) (t 0 y(θ)=y(t 0 )+y (p) (tquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Chapitre6

Courbesplanes

6.1Fonctions d'unevariabler´eelle` avaleur vectorielle

6.1.1Limiteset continuit´e

Onad on c

Exemple6.1

6.1.2D´eriv´ee etformuledeTaylor-Young

1.festd´ erivableenasicha cunedesfonctionsc omposantes f

2.Sitoute slesfonctions composantesson td´erivablese ntoutpointdeD,alorsfestd´ erivablesurD

3.Ond´ efinitdemˆemepourk?N,f

ε(x),aveclim

ε(x)=0.(6.7)

Ondit que(x-a)

ε(x)estun" petito"de(x-a)

ε(x)=

6.2Courbes param´etr´eesplanes

OM(t)=x(t)

F:t?[0,1]→

F(0)=(x

F(1)=(x

M(x,y)?[AB]??t?[0,1]t. q(x,y)=F(t).(6.13)

2.Legrap hed'unefonct iond'unevariabler´ eelleestunecourbep aram´etr´ee:

Soitfunefonction continuesur[a,b]etC

F:t?[a,b]→

3.Unarc decer cle.

ωdansunrep `ereort honorm´e(O,

A)etθ

F:t?[θ

4.Uneelli pse

F:t?[0,2π[→

1.t?[0,2π],

2.t?[0,2π],

6.3Etudedecour besplanes

6.3.1Domained'´e tude

P´eriodicit´e

Exemple6.4

I=R,etF(t)=(cos

Sym´etries

Sipourt outt?I

6.3.2Tangenteen unpoint`aunecourbepararam´e tr´ee

D´efinition6.5SoitM

Demani` ereplusintuitive,lat angente`aSenM

Exemple6.5Si

SoitM=F(t

Δt)?S.Lad roit e(M

M)ap ourv ecteurdi recteur

Δt)-F(t

Lorsque

Δttendsvers 0,

Δt→0

Δt)-F(t

Ainsidanslerep `ereorthonor m´e(O,