[PDF] Mathématiques D08S 14 déc. 2013 b)

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*??? ???? ? ??????? ????R[X]? *????(P;Q)2R[X]2;(;)2R2; (P+Q) = (P+Q)(X+ 1)(P+Q)(X) =P(X+ 1) +Q(X+ 1)P(X)Q(X) =(P(X+ 1)P(X)) +(Q(X+ 1)Q(X)) =(P) +(Q) ?*????k2N? (Xk) =8 :0??k= 0 (X+ 1)kXk=k1X i=0 k i X i??k>1 ??? ??????? ??? ??P2Ker?????? ???? ???? ??????n2N?P(n) =P(0)? ????P2Ker()? ?? ????? ????n2N;Hn:?P(n) =P(0)? *H0??? ?????? ??????Hn+1??? ?????? ???? ??????R= 0??P=P(0)? ????P2R0[X]? *?? ????? ?? ???????KerR0[X] ????P2Ker()?

Ker() =R0[X]?

????P2R[X]??? ???p= deg(P)>1?P??????? ?P(X) =pX k=0a kXk????ap6= 0? (P) = (pX k=0a kXk) pX k=0a pX k=1a k(Xk)???(1) = 0 ??? ????16k6p;(Xk) =k1X i=0 k i X i????deg((Xk)) =k16p1? ??????deg((P))6p1? p1=pap6= 0? ????P2Rn[X]? ?????(Rn[X])Rn1[X]?

P7!(P):

*Ker(n) = Ker()\Rn[X] =R0[X]? *?? ? ?? ?(Rn[X])Rn1[X]????Im(n)Rn1[X]? dimIm( n) = dim(Rn[X])dimKer(n) =n+ 11 =n = dimRn1[X] Im( n)Rn1[X] dimIm( n) = dimRn1[X]? ?? ?? ?????? ??? ?Im(n) =Rn1[X]? ????P2R[X]? ??P??? ????(1) =P ?????? ?? ????p= deg(P)? ?????P2Rp[X] = Im(p+1)? ?????9Q2Rp+1[X];P= p+1(Q) = (Q)?

F6=????02F?

????(P;Q)2F2;(;)2R2? (P+Q)(0) =P(0) +Q(0) = 0???(P;Q)2F2 ?????P+Q2F?

â????P2R[X]?

P2F\Ker()()P2F\R0[X]

P=??2R

P(0) = 0

()P= 0 ?????F\Ker() =f0g?

â????P2R[X]?

P=PP(0)|{z}

Q+P(0)

P(0)2R0[X] = Ker()??Q(0) =P(0)P(0) = 0????Q2F?

?????R[X] =F+????? ?? ?????? ??? ?R[X] =F???? (P1) =Q(P2) =Q P

1(0) = 0P2(0) = 0

?? ????R=P1P2? ??????R(0) =P1(0)P2(0) = 0? (R) = (P1P2) = 0 ????P1=P2?

Q= (P1)

= (P+) = (P)???2Ker() ?? ? ???? ??????P2R[X]??? ???P(0) = 0??(P) =Q?

8Q2R[X];9!P2R[X];(

(P) =Q

P(0) = 0?

?? ?????deg(P) = deg(Q) + 1??Q6= 0? ??Q= 0?????P= 0? ?? ????? ????n2N;Hn:9!(P1;:::;Pn)2R[X]n;8i2[1;n];Pi(0) = 0??Pi1= (Pi)? *????n= 1? ?? ???????P12R[X]??? ??? ?( P

1(0) = 0

1 = (P1)?

P *?? ???????Hn????? ???? ?? ????n??? ????N? P n+1(0) = 0 P n= (Pn+1)? Q?? P 1=X? P

2?????? ?(

P

2(0) = 0

(P2) =X? deg(P2) = 2????P2???????P2=aX2+bX+c??a;b;c???? ??? ????? ??a6= 0? P

2(0) = 0????c= 0?

(P2) =X()a((X+ 1)2X2) +b(X+ 1X) =X ()a(2X+ 1) +b=X ()2Xa+a+b=X ()2a= 1;a+b= 0 ()a=12 ;b=12 ??????P2=12 (X2X) =X(X1)2? ??????? ? ?Rn(0) = 0? (Rn) =(X+ 1)X(Xn+ 2)n!X(X1)(Xn+ 1)n!

X(X1)(Xn+ 2)n!(X+ 1(Xn+ 1))

X(X1)(Xn+ 2)(n1)!

=Rn1 ??? ??? ??????? ?? ?? ?????(Pn)? ?? ?? ?????? ??? ?Pn=X(X1)(Xn+ 1)n!? ?????(P0;:::;Pn)??? ??? ???? ??Rn[X]? *P0= 1; P1=X; P2=X2X2 ?? ?? ?????? ?X2= 2P2+P1? *P0= 1;P1=X;P2=X2X2 ;P3=X(X1)(X2)6 =X33X2+ 2X6 X

3= 6P3+ 3X22X

= 6P3+ 3(2P2+P1)2P1 = 6P3+ 6P2+P1? S n;p= 1n+ 2n++pn

9!An2R[X];(

(An) =Xn A n(0) = 0 ?? ?????deg(An) = deg(Xn) + 1 =n+ 1? ?? ? ?An(X+ 1)An(X) =Xn? ?????8k2[0;p];An(k+ 1)An(k) =kn? ?? ????? ??k= 0?k=p? pX k=0A n(k+ 1)An(k) =pX k=0k n A n(p+ 1)An(0) =pX k=0k n A k=0 k=0 kPk+1? k=0 kPk? ?? ???? ?Bn=nX k=0 kPk+1? ?? ? ???? ?Bn(0) =nX k=0 kPk+1(0) = 0? ?? ????? (Bn) =nX k=0 k(Pk+1) nX k=0 kPk =Xn k=0 kPk+1? ?? ? ?? ?X2= 2P2+P1? ?????A2= 2P3+P2? ?? ? ?? ?X3= 6P3+ 6P2+ 6P1? ?????A3= 6P4+ 6P3+P2?

S2;p=A2(p+ 1)

= 2(p+ 1)p(p1)6 +p(p+ 1)2 p(p+ 1)6 (2(p1) + 3) (p+ 1)p(2p+ 1)6

S3;p=A3(p+ 1)

6(p+ 1)p(p1)(p2)24

+6(p+ 1)p(p1)6 +p(p+ 1)2 p(p+ 1)4 ((p1)(p2) + 4(p1) + 2) p(p+ 1)4 (p23p+ 2 + 4p4 + 2) p(p+ 1)p(p2+p)4 p2(p+ 1)24??? 1 1 ??B=0 1 0 0 1 1 :1 1 1 1

â?? ????B2=0 1

0 0 :0 1 0 0

â?? ?A+B=1 2

1 1 1 1 0 1 0 0 =01 01 ????(AB)2=01 01 01 01 =0 1 0 1

0 (1)k

B (A+B)p+q=p+qX k=0 p+q k A kBp+qk p1X k=0 p+q k A kBp+qk|{z} =0???p+qk>q+p+qX k=p p+q k A k|{z} =0???k>pB p+qk = 0 ?????Mp16= 0? ????? ?? ??????X2Mn;1(R);Mp1X6= 0? ????(0;1;:::p1)2Rp????? ???p1X k=0 kMkX= 0?

0Mp1X= 0????0= 0???????Mp1X6= 0?

p1X k=1 ?????n>p??Mp= 0? ?? ?Mn= 0?? ????? ?????? ??In+M? k=0(1)kMk?? e(M) =In+M+12!

M2+13!

M3++1(n1)!Mn1

?? ?? ??????e(A+B) =n1X i=01i!(A+B)i=p+qX p+qX k=01k!(A+B)k=p+qX k=01k!(A+B)k p+qX k=01k!k X i=0 k i A p+qX k=01k!k X i=0k!i!(ki)!AiBki p+qX i=01i!Ai p+qX k=i1(ki)!Bki! p1X i=01i!Ai p+qiX j=01j!Bj! ???Ai= 0????i>p p1X i=01i!Ai q1X j=01j!Bj! ???Bj= 0????j>q n1X i=01i!Ai! n1X j=01j!Bj! ???p6n;q6n =e(A)e(B) ?? ?????e(A)e(A) =e(0) =In? ??????A=6 9 46
46
6 9 46
45
?? ?(e(A))1=e(A) =I2A=59 4 7 ??????A=0 @1 1 0 1 1 1121
A A 2=0 @1 1 0 1 1 1121
A0 @1 1 0 1 1 1121
A 0 @121 1 01

1 0 31

A3=0 @1 1 0 1 1 1121
A0 @121 1 01

1 0 31

A 0 @0 222 0 0 2

22 361

A ????= 2? ?? ? ?A=0 @1 1 2 0 1 1 1121
A ??A2=0 @1 01 1 01

1 0 11

A ??A3= 0? ?? ???????e(A) =I3+A+12 A2=0 @32 132
12 212
12 112
1 A ?? ? ?(e(A))1=e(A) =I3A+12 A2=0 @12 152
12 032
32
172
1 A ????P2Rn[X]? ?????deg(D(P)) =deg(P)1sideg(P)>1

1sinon?

deg(Dk)(P)) =deg(P)k sideg(P)>k

1sinon?

?? ???? ? ????(0;1;:::;n)2Rn+1????? ???nX k=0 iPi= 0? ?? ?? ?????? ?nPn=n1X k=0 iPi? ?? ?? ?????? ?deg(n1X k=0 iPi)6n1? ??n6= 0? ????? ??????? ???deg(Pn) = 0? ????n= 0??n1X k=0 iPi= 0? ?? ? ????i2J1;nK?D(Pi) =Pi1??D(P0) = 0?quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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