[PDF] Matrices inversibles de calculer l'inverse de

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BijectionsQuelles m

´ethodes employer pour d´emontrer qu"une appli- cation est une bijection? Certaines sont-elles plus efficaces que d"autres? Dans quel contexte : num

´erique? abstrait?

Matrices inversibles

Commenc¸ons par rappeler que toute matrice inversible est une matrice carr

´ee.

Q 1.Quelle est, en g´en´eral, la m´ethode la plus efficace pour montrer qu"une matrice est inversible?

R 1.La matriceM2Mn(?)est inversible si, et seule-

ment si, son rang est

´egal`anet le rang d"une matrice de

M n(?)peutˆetre facilement calcul´e par des op´erations de pivot sur les lignes et les colonnes.

Avec un peu d"habitude, ce calcul peut m

ˆeme devenir tr`es

rapide (deux op

´erations de pivot suffisent pour une matrice

deM3(?)). Q 2.Y a-t-il un inconv´enient `a justifier l"inversibilit´e deMen calculant son rang? R 2.Le calcul du rang ne donne que le rang... Si on a be- soin de calculer l"inverse de la matrice, le calcul du rang est une perte de temps! Q 3.Peut-on d´emontrer qu"une matrice est inversible en calcu- lant son inverse? R 3.Oui, il suffit d"appliquer (une des innombrables va- riantes de) l"algorithme du pivot : la matrice est inversible si, et seulement si, l"algorithme parvient `a son terme nor- mal.

On peut aussi exploiter un polyn

ˆome annulateur.

Q 4.Est-il efficace d"appliquer l"algorithme du pivot? R 4.Si on cherche effectivement l"expression de la ma- trice inverseM-1, l"algorithme du pivot est une bonne m´e- thode.

Si on cherche seulement

`a v´erifier l"inversibilit´e, c"est du temps perdu et de la fatigue inutile : le calcul du rang est bien plus simple! Q 5.Est-il int´eressant de poser un syst`eme de la forme MX=B?

R 5.Pour rassurer les d´ebutants, oui.

Pour ceux qui ont assimil

´e le calcul matriciel, c"est une lour-

deur inutile, il vaut mieux appliquer l"algorithme du pivot (sur les lignes ou sur les colonnes de la matrice, selon les occasions) que de poser un syst `eme et le r´esoudre en s"obli- geant `a´ecrire toutes les inconnues un grand nombre de fois. Q 6.Peut-ond´emontrerqu"unematriceestinversiblesanscal- cul? R 6.Oui!Unematricetriangulaireestinversiblesi,etseu- lement si, chaque coefficient diagonal est diff

´erent de0.

(Inutile d"invoquer les valeurs propres ou le d

´eterminant en

pareil cas, ce serait une faute de go

ˆut.)

VARIANTE.- SilamatricePestlamatricedepassaged"une

baseB`a une baseC, alors cette matrice est inversible.´Evidemment,ilaurabienfallufairequelquescalculsaupr´e-

alable! D ´emontrer que la familleCest une famille libre (resp. g

´en´eratrice) de mˆeme cardinal queB.

Constr uireCen r´eunissant des bases des diff´erents sous- espaces propres d"une matriceA2Mn(?)et en v´erifiant que le cardinal deCest´egal`an. Q 7.Le calcul de l"inverse d"une matrice de passage est-il fa- cile? R 7.En g´en´eral, non, mais on peut avoir de bonnes sur- prises.

Cela dit, dans le cadre de la r

´eduction des endomorphismes

(diagonalisation/trigonalisation), le calcul deP-1est rare- ment n

´ecessaire.

Q 8.Peut-on lire sur les colonnes (resp. les lignes) de la matrice

Mqu"elle est inversible?

R 8.Bien sˆur! Une matriceM2Mn(?)est inversible si, et seulement si, la famille de ses colonnes (resp. de ses lignes) est une famille libre et plus la matrice est proche d"une matrice triangulaire, plus cette propri

´et´e est facile`a

voir.

C"est d"ailleurs cette caract

´erisation qui permet de conclure

rapidement quand on calcule le rang d"une matrice par l"al- gorithme du pivot : toutes les matrices calcul

´ees ont mˆeme

rang que la matrice initiale et plus vite on sait reconna

ˆıtre

une famille libre de colonnes (ou de lignes), plus vite on peut conclure. Q 9.Peut-on d´emontrerfacilementqu"une matrice est inver- sibleetcalculer son inversefacilement? R 9.Oui! Il est facile de v´erifier si une matrice

M2Mn(?)

est orthogonale : tMM?=In et si c"est bien le cas, la matriceMest inversible et M -1=tM: Q 10.La connaissance d"un polynˆome annulateur deMpeut- elle ˆetre utile pour ´etudier l"inversibilit´e deM? R 10.La connaissance d"un polynˆome annulateur estTOU-

JOURSutile.

La matriceMest inversible si, et seulement si, le coefficient constant de son polyn

ˆome minimal (resp. caract´eristique)

n"est pas nul.

Plus simple : s"il existe un polyn

ˆome annulateur deMdont

le coefficient constant n"est pas nul :

P=a0|{z}

6=0+a1X++adXd

alorsMest inversible et de plus M -1=d-1X k=0-aka 0Mk:

Plus le degr

´edest bas, plus le calcul deM-1est facile (cas optimal =Pest le polynˆome minimal deM). Q 11.Est-il int´eressant de calculer le d´eterminant pour prouver l"inversibilit´e d"une matrice? R 11.Le d´eterminant apporte deux informations int´eres- santes en elles-m

ˆeme : son signe (qui donne l"orientation de

la matrice) et sa valeur absolue (qui indique l"action de la matrice sur les volumes). Ces informations sont superflues s"il s"agit de reconna

ˆıtre

une matrice inversible, puisque la question pos

´ee est seule-

ment detM?=0:

Le calcul pratique d"un d

´eterminant (pivot sur les lignes

et colonnes, puis d

´eveloppement par une ligne ou une co-

lonne et ainsi de suite) est une op

´eration fastidieuse, pr´eci-

s ´ement parce que le r´esultat est riche en informations : si on n"a pas besoin de ces informations, autant se passer du d

´eterminant.

ver que detM6=0sans calculer r´eellement le d´eterminant, par exemple en faisant usage de la relation det(AB) =detAdetB: Q 12.Les valeurs propres de la matrice peuvent-elles nous ren- seigner? R 12.Oui : la matriceMest inversible si, et seulement si,0 n"est pas valeur propre. Mais, de ce point de vue, la connaissance des autres valeurs propres est sans aucun int

´erˆet!

On ne pensera donc aux valeurs propres deMpour´etudier son inversibilit ´e que si on connaˆıtd´ej`ale spectre deM. Q 13.Est-il utile de s"int´eresser au noyau de la matrice pour d´emontrer son inversibilit´e? R 13.En th´eorie, oui : une matrice carr´ee est inversible si, et seulement si, son noyau est r

´eduit`a la colonne nulle.

Exemple classique : les matrices

`a diagonale fortement do- minante.

En pratique, non : les op

´erations de pivot qui permettent

de caract ´eriser le noyau d"une matrice sont celles qui per- mettent de calculer son rang, mais comme il faut les appli- quer `a une matrice deM2n;n(?), on arrive moins vite au r

´esultat.

Q 14. `A quoi servent les formules de Cramer et la comatrice? R 14.Pratiquement,`a rien. Au-del`a de la dimension3, ces formules sont trop complexes pour

ˆetre utiles.

Enrevanche,d"unpointdevueth

´eorique,cesformulessont

pr ´ecieuses, puisqu"elles donnent la forme de l"inverse au moyen d"une formule mal commode maisexplicite.

Applications lin´eaires bijectives

On consid

`ere ici une application lin´eaire f2L(E;F): Q 15.Y a-t-il une m´ethode g´en´erale pour d´emontrer quefest bijective? R 15.Oui. On revient`a la d´efinition :fest bijective si, et seulement si, elle est surjective et injective; et on prend en compte la lin ´earit´e def: elle est injective si, et seulement si, son noyau est r

´eduit au vecteur nul.

f(x) =0F x2E()x=0E: Q 16.La m´ethode g´en´erale est-elle efficace? R 16.R´eponse habituelle : une m´ethode g´en´erale est effi- cace en g

´en´eral - comme un couteau suisse.

Si on cherche vraiment l"efficacit

´e, il faut trouver une m´e-

thode adapt ´ee aux circonstances, c"est-`a-dire qu"il faut´etu- dier ici le contexte dans lequel se trouve l"applicationf. Q 17.Quelle est la premi`ere propri´et´e `a ´etudier pour ˆetre effi- cace?

R 17.La dimension des espacesEetF!

Si dimE6=dimF, l"applicationfne peut pasˆetre bijective. Q 18.Commenttirerpartidelapropri´et´edimEestfiniepour d´emontrer quefest bijective? R 18.Si on connaˆıt une baseBdeEet une baseCdeF (ou si on peut d

´eterminer facilement ces bases), l"applica-

tionfest bijective si, et seulement si, sa matriceMatB;C(f) est inversible. Si dimE=dimF, il suffit de v´erifier que Kerf=f0Egou que fest surjective (Th´eor`eme du rang). Q 19.En dimension finie, l"application lin´eairefest bijective si, et seulement si, son noyau est r´eduit `af0Eg. Vrai ou faux?

R 19.Faux!

Le Th ´eor`eme du rang exige que dimE=dimFettravailler en dimension finiene signifie pas que tous les espaces vecto- riels ont m

ˆeme dimension...

Bien s

ˆur, l"´egalit´e des dimensions est automatique dans le caso rendre paresseux... ou na

¨ıf.

Q 20.Y a-t-il une m´ethode qui s"applique aussi bien en dimen- sion finie qu"en dimension infinie? R 20.Oui! Certaines applications lin´eaires ont un polynˆo- me minimal m

ˆeme en dimension infinie (les projecteurs et

les sym

´etries entre autres).

fest inversible si, et seulement si, le terme constant(0)est non nul. Q 21.Quelle diff´erence entreapplication bijectiveetapplica- tion inversible? R 21.C"est assez subtil et c"est pour cela qu"on confond ces deux notions.

La bijectivit

´e est une propri´et´e defonctions: pour chaque el´ement de l"ensemble d"arriv´eeF, il existe un, et un seul, ant ´ec´edent parfdans l"ensemble de d´epartE.

L"inversibilit

´e est une propri´et´e d"un´el´ement d"une structure alg´ebrique: dans un gr oupe,to usles

´el´ements sont inversibles;

dans uncorps,tousles

´el´ementsnonnulssontinversibles;

dans un anneau, seuls certains

´el´ements sont inversibles

et ce sont parfois les

´el´ements les plus utiles (c"est le cas

deMn(?)ou de L(E)), parfois les´el´ements les moins int

´eressants qui soient (cas de?et de?[X]).

Voil `a pourquoi il est l´egitime de parler dematrice inversible ou d"endomorphisme inversible, mais pas d"application lin´eaire inversible(siE6=F, l"ensemble L(E;F)n"est pas muni d"une structure d"anneau, ce n"est qu"un espace vectoriel).

Applications non lin´eaires

On consid

`ere maintenant une applicationnonlin´eaire f: !F o `u E. Q 22.Pourquoi est-il absurde de direfest bijective? R 22.Labijectivit´esignifie:pourchaque´el´ementydel"en- semble d"arriv ´ee, il existe exactement un´el´ementxdans l"ensemble de d

´epart tel quey=f(x).

Par cons

´equent, parlerde bijectivit´e sanspr´eciser quelssont aujustelesensemblesded

´epartetd"arriv´een"apasdesens.

Ondoitdoncprendresoindedireque

festbijectivede¡tel ensemble¿ sur ¡tel autre ensemble¿ ou quef: !Fest bijective (le diagramme sagittal pr´ecisant les ensembles de d

´epart et d"arriv´ee).

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