Matrices inversibles
Ce qui prouve que P et Q sont inversibles et qu'elles sont inverses l'une de Méthode 1 : Montrer qu'une matrice est inversible et calculer son inverse.
Matrices inversibles
de calculer l'inverse de la matrice le calcul du rang est une perte de temps ! Q 3. Peut-on démontrer qu'une matrice est inversible en calcu- lant son inverse
les matrices sur Exo7
Pour prouver qu'elle convient il faut aussi montrer l'égalité BA = I
Considérons les matrices `a coefficients réels : A = - ( 2 1
Si elles ont un sens calculer les matrices AB
Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices
Exercice 9 – (extrait partiel novembre 2011). 1) En utilisant l'algorithme du cours montrer que la matrice suivante est inversible et préciser son inverse
ALGEBRE 1 PC/SF-Physique Fiche 5 : Calculs matriciels A) Les
On a vu qu'on peut aussi le caractériser comme le nombre maximum de lignes A est inversible et calculer son inverse sous la forme d'une matrice ...
Annexe 3 : Inversion de matrices par la méthode du pivot de Gauss
Discuter l'inversibilité de Ax en fonction de la valeur de x. Exercice 3 issu d'EMLyon 2013. Montrer que la matrice suivante est inversible et calculer son
Calcul matriciel
8 nov. 2011 inversible et que son inverse est B. Théorème 1. Soit A une matrice de Mn. Supposons qu'il existe une matrice B telle.
Matrice dune application linéaire
Montrer qu'il existe un unique P ? Rn[X] tel que : f(P) = Q et On vérifie que P est inversible (on va même calculer son inverse) donc S est bien une ...
Mathématiques D08S
14 déc. 2013 b) Soit A une matrice nilpotente. Montrer que e(A) est inversible et calculer son inverse. On remarque que si A est nilpotente ?A aussi.
Matrice d"une application linéaire
Corrections d"Arnaud Bodin.
Exercice 1SoitR2muni de la base canoniqueB= (~i;~j). Soitf:R2!R2la projection sur l"axe des abscissesR~i
parallèlement àR(~i+~j). Déterminer MatB;B(f), la matrice defdans la base(~i;~j).Même question avec Mat
B0;B(f)oùB0est la base(~i~j;2~i+3~j)deR2. Même question avec MatB0;B0(f).Soient trois vecteurse1;e2;e3formant une base deR3. On notefl"application linéaire définie parf(e1) =e3,
f(e2) =e1+e2+e3etf(e3) =e3. 1. Écrire la matrice Adefdans la base(e1;e2;e3). Déterminer le noyau de cette application. 2. On pose f1=e1e3,f2=e1e2,f3=e1+e2+e3. Calculere1;e2;e3en fonction def1;f2;f3. Les vecteursf1;f2;f3forment-ils une base deR3? 3. Calculer f(f1);f(f2);f(f3)en fonction def1;f2;f3. Écrire la matriceBdefdans la base(f1;f2;f3)et trouver la nature de l"applicationf. 4.On pose P=0
@1 11 01 11 0 11
A . Vérifier quePest inversible et calculerP1. Quelle relation lieA,B,P etP1? Soitfl"endomorphisme deR3dont la matrice par rapport à la base canonique(e1;e2;e3)est A=0 @1511 52015 8
87 61A
Montrer que les vecteurs
e forment une base deR3et calculer la matrice defpar rapport à cette base.SoitA=0
BBBBBB@0:::0 1
... 1 0 0 11 0:::01
C CCCCCA. En utilisant l"application linéaire associée deL(Rn;Rn), calculerAppour p2Z. 1SoientA;Bdeux matrices semblables (i.e. il existePinversible telle queB=P1AP). Montrer que si l"une est
inversible, l"autre aussi; que si l"une est idempotente, l"autre aussi; que si l"une est nilpotente, l"autre aussi;
que siA=lI, alorsA=B.Soitfl"endomorphisme deR2de matriceA=223
5223
dans la base canonique. Soiente1=2 3 et e 2=2 5 1. Montrer que B0= (e1;e2)est une base deR2et déterminer MatB0(f). 2.
Calculer Anpourn2N.
3. Déterminer l"ensemble des suites réelles qui vérifient 8n2N8 :x n+1=2xn+23 yn y n+1=52 xn23 yn.Soitaetbdeux réels etAla matrice
A=0 @a21b3 0 14
5 41 21
A Montrer que rg(A)>2. Pour quelles valeurs deaetba-t-on rg(A) =2 ?SoientA=0
BB@1 2 1
3 4 1 5 6 17 8 11
CCA;B=0
BB@2 21 7
4 31 11
01 243 32 111
C CA. Calculer rg(A)et rg(B). Déterminer une base du noyau et une base de l"image pour chacune des applications linéaires associéesfAetfB. SoitEun espace vectoriel etfune application linéaire deEdans lui-même telle quef2=f. 1.Montrer que E=KerfImf.
2. Supposons que Esoit de dimension finien. Posonsr=dimImf. Montrer qu"il existe une baseB= (e1;:::;en)deEtelle que :f(ei) =eisii6retf(ei) =0 sii>r. Déterminer la matrice defdans cette baseB. Trouver toutes les matrices deM3(R)qui vérifient 21.M2=0 ;
2.M2=M;
3.M2=I.
Soitfl"application deRn[X]dansR[X]définie en posant pour toutP(X)2Rn[X]:f(P(X)) =P(X+1)+P(X1)2P(X):
1. Montrer que fest linéaire et que son image est incluse dansRn[X]. 2. Dans le cas où n=3, donner la matrice defdans la base 1;X;X2;X3. Déterminer ensuite, pour une valeur denquelconque, la matrice defdans la base 1;X;:::;Xn. 3. Déterminer le no yauet l"image de f. Calculer leur dimension respective. 4. Soit Qun élément de l"image def. Montrer qu"il existe un uniqueP2Rn[X]tel que :f(P) =QetP(0) =P0(0) =0.
Pour toute matrice carréeAde dimensionn, on appelle trace deA, et l"on note trA, la somme des éléments
diagonaux deA: trA=nå i=1a i;i 1. Montrer que si A;Bsont deux matrices carrées d"ordren, alors tr(AB) =tr(BA). 2. Montrer que si fest un endomorphisme d"un espace vectorielEde dimensionn,Msa matrice par rapportà une basee,M0sa matrice par rapport à une basee0, alors trM=trM0. On note trfla valeur commune
de ces quantités. 3. Montrer que si gest un autre endomorphisme deE, tr(fggf) =0. Indication pourl"exer cice1 Nfest l"application qui àx y associexy 0 .Indication pourl"exer cice5 NAestidempotentes"il existe unntel queAn=I(la matrice identité).Aestnilpotentes"il existe unntel queAn= (0)(la matrice nulle).Indication pourl"exer cice10 NIl faut trouver les propriétés de l"application linéairefassociée à chacune de ces matrices. Les résultats
s"expriment en explicitant une (ou plusieurs) matriceM0qui est la matrice defdans une base bien choisie
et ensuite en montrant que toutes les autres matrices sont de la formeM=P1M0P.Plus en détails pour chacun des cas :
1. Im fKerfet discuter suivant la dimension du noyau. 2.Utiliser l"e xercice
9 : K erfImfet il existe une base telle quef(ei) =0 ouf(ei) =ei. 3.Poser N=I+M2
(et doncM=) chercher à quelle conditionM2=I.4Correction del"exer cice1 NL"expression defdans la baseBest la suivantef(x;y)=(xy;0). Autrement dit à un vecteurx
y on associe le vecteur xy 0 . On note quefest bien une application linéaire. Cette expression nous permet de calculer les matrices demandées.Remarque : commeBest la base canonique on notex
y pourx y B qui est le vecteurx~i+y~j. 1. Calcul de Mat (f;B;B). CommeB= (~i;~j), la matrice s"obtient en calculantf(~i)etf(~j): f(~i) =f1 0 =1 0 ~i f(~j) =f0 1 =1 0 =~i doncMat(f;B;B) =11
0 0 2.On g ardela même application linéaire mais la base de départ change (la base d"arri véereste B). Si on
note~u=~i~jet~v=2~i+3~j, on aB0= (~i~j;2~i+3~j) = (~u;~v). On exprimef(~u)etf(~v)dans la base d"arrivéeB. f(~u) =f(~i~j) =f1 1 =2 0 f(~v) =f(2~i+3~j) =f2 3 =5 0 doncMat(f;B0;B) =25
0 0 3.T oujoursa vecle même fon prendB0comme base de départ et d"arrivée, il s"agit donc d"exprimerf(~u)
etf(~v)dans la baseB0= (~u;~v). Nous venons de calculer que f(~u) =f(~i~j) =f1 1 =2 0 =2~i f(~v) =f(2~i+3~j) =f2 3 =5 0 =5~i Mais il nous faut obtenir une expression en fonction de la baseB0. Remarquons que ~u=~i~j ~v=2~i+3~j=)~i=3~u+~v ~j=2~u+~v Donc f(~u) =f(~i~j) =2~i=6~u+2~v=6 2 B0f(~v) =f(2~i+3~j) =5~i=15~u5~v=15
5 B 0 DoncMat(f;B0;B0) =615
25Remarque :
x y B0désigne le vecteurx~u+y~v.Correction del"exer cice2 N5
1.On note la base B=(e1;e2;e3)etX=0
@x y z1 AB=xe1+ye2+ze3. La matriceA=MatB(f)est composée
des vecteurs colonnesf(ei), on sait f(e1) =e3=0 @0 0 11 ABf(e2) =e1+e2+e3=0
@1 1 11 ABf(e3) =e3=0
@0 0 11 A B doncA=0 @01 0 0 1 01 1 11
ALe noyau def(ou celui deA) est l"ensemble deX=0
@x y z1 A tel queAX=0.AX=0()0
@01 0 0 1 01 1 11
A 0 @x y z1 A =0 @0 0 01 A ()8 :y=0 y=0 x+y+z=0DoncKerf=0
@x 0 x1 AB2R3jx2R=Vect0
@1 0 11 AB=Vect(e1e3). Lenoyauestdoncdedimension
1. 2. On applique le pi votde Gauss comme si c"était un système linéaire : 8< :e1e3=f1L1e
1e2=f2L2e1+e2+e3=f3L3()8
:e1e3=f1
e2+e3=f2f1L2L1e2=f3+f1L3+L1
On en déduit
8< :e1=f1+f2+f3
e2=f1+f3
e3=f2+f3
Donc tous les vecteurs de la baseB= (e1;e2;e3)s"expriment en fonction de(f1;f2;f3), ainsi la famille(f1;f2;f3)est génératrice. Comme elle a exactement 3 éléments dans l"espace vectorielR3de dimension
3 alorsB0= (f1;f2;f3)est une base.
3. f(f1) =f(e1e3) =f(e1)f(e3) =e3e3=0 f(f2) =f(e1e2) =f(e1)f(e2) =e3(e1+e2+e3) =e1e2=f2 f(f3) =f(e1+e2+e3) =f(e1)+f(e2)+f(e3) =e1+e2+e3=f3Donc, dans la baseB0= (f1;f2;f3), nous avons
f(f1) =0=0 @0 0 01 A B0f(f2) =f2=0
@0 1 01 A B0f(f3) =f3=0
@0 0 11 A B 0 6Donc la matrice defdans la baseB0est
B=0 @0 0 0 0 1 00 0 11
Afest la projection sur Vect(f2;f3)parallèlement à Vect(f1)(autrement dit c"est la projection sur le plan
d"équation(x0=0), parallèlement à l"axe desx0, ceci dans la baseB0).4.Pest la matrice de passage deBversB0. En effet la matrice de passage contient -en colonnes- les
coordonnées des vecteurs de la nouvelle baseB0exprimés dans l"ancienne baseB. Si un vecteur a pour coordonnéesXdans la baseBetX0dans la baseB0alorsPX0=X(attention à l"ordre). Et siAest la matrice defdans la baseBetBest la matrice defdans la baseB0alorsB=P1AP
(Une matrice de passage entre deux bases est inversible.)Ici on calcule l"inverse deP:
P 1=0 @1 1 0 1 0 11 1 11
A doncB=P1AP=0 @0 0 0 0 1 00 0 11
AOn retrouve donc bien les mêmes résultats que précédemment.Correction del"exer cice3 NNotons l"ancienne baseB= (e1;e2;e3)et ce qui sera la nouvelle baseB0= (e01;e02;e03). SoitPla matrice
de passage qui contient -en colonnes- les coordonnées des vecteurs de la nouvelle baseB0exprimés dans
l"ancienne baseB P=0 @2 3 1 3 4 21 1 21
AOn vérifie quePest inversible (on va même calculer son inverse) doncB0est bien une base. De plus
P 1=0 @6 52 43 111 11 A et on calculeB=P1AP=0 @1 0 0 0 2 0
0 0 31
ABest la matrice defdans la baseB0.Correction del"exer cice4 NNous associons à la matriceAson application linéaire naturellef. SiB= (e1;e2;:::;en)est la base canonique
deRnalorsf(e1)est donné par le premier vecteur colonne,f(e2)par le deuxième, etc. Donc ici f(e1) =0 BBBBB@0
0 0 11quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer qu'une relation d'ordre est totale
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