les matrices sur Exo7 PDF Pour prouver qu'elle convient

Matrices inversibles

Ce qui prouve que P et Q sont inversibles et qu'elles sont inverses l'une de Méthode 1 : Montrer qu'une matrice est inversible et calculer son inverse.

Matrices inversibles

de calculer l'inverse de la matrice le calcul du rang est une perte de temps ! Q 3. Peut-on démontrer qu'une matrice est inversible en calcu- lant son inverse

les matrices sur Exo7

Pour prouver qu'elle convient il faut aussi montrer l'égalité BA = I

Considérons les matrices `a coefficients réels : A = - ( 2 1

Si elles ont un sens calculer les matrices AB

Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices

Exercice 9 – (extrait partiel novembre 2011). 1) En utilisant l'algorithme du cours montrer que la matrice suivante est inversible et préciser son inverse

ALGEBRE 1 PC/SF-Physique Fiche 5 : Calculs matriciels A) Les

On a vu qu'on peut aussi le caractériser comme le nombre maximum de lignes A est inversible et calculer son inverse sous la forme d'une matrice ...

Annexe 3 : Inversion de matrices par la méthode du pivot de Gauss

Discuter l'inversibilité de Ax en fonction de la valeur de x. Exercice 3 issu d'EMLyon 2013. Montrer que la matrice suivante est inversible et calculer son

Calcul matriciel

8 nov. 2011 inversible et que son inverse est B. Théorème 1. Soit A une matrice de Mn. Supposons qu'il existe une matrice B telle.

Matrice dune application linéaire

Montrer qu'il existe un unique P ? Rn[X] tel que : f(P) = Q et On vérifie que P est inversible (on va même calculer son inverse) donc S est bien une ...

Mathématiques D08S

14 déc. 2013 b) Soit A une matrice nilpotente. Montrer que e(A) est inversible et calculer son inverse. On remarque que si A est nilpotente ?A aussi.

Matrices

ramène à des manipulations sur les matrices. Ceci est vrai en particulier pour la résolution des systèmes linéaires.

Dans ce chapitre,Kdésigne un corps. On peut penser àQ,RouC.

1. Définition

1.1. DéfinitionDéfinition 1.

UnematriceAest un tableau rectangulaire d"éléments deK. Elle est dite detaillenpsi le tableau possèdenlignes etpcolonnes. Les nombres du tableau sont appelés lescoefficientsdeA.

Le coefficient situé à lai-ème ligne et à laj-ème colonne est notéai,j.Un tel tableau est représenté de la manière suivante :

A=0 B

BBBBB@a

1,1a1,2...a1,j...a1,p

2,1a2,2...a2,j...a2,p

a i,1ai,2...ai,j...ai,p a n,1an,2...an,j...an,p1 C

CCCCCAouA=ai,j

16i6n

16j6pouai,j.

Exemple 1.

A=12 5

0 3 7 est une matrice 23 avec, par exemple,a1,1=1 eta2,3=7.

Encore quelques définitions :Définition 2.

Deux matrices sontégaleslorsqu"elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux.

L"ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients dansKest notéMn,p(K). Les éléments deMn,p(R)

MATRICES1. DÉFINITION2sont appelésmatrices réelles.1.2. Matrices particulières Voici quelques types de matrices intéressantes :

•Sin=p(même nombre de lignes que de colonnes), la matrice est ditematrice carrée. On noteMn(K)au lieu de

Mn,n(K).

0 B BB@a

1,1a1,2...a1,n

2,1a2,2...a2,n............

a n,1an,2...an,n1 C CCA Les élémentsa1,1,a2,2,...,an,nforment ladiagonale principalede la matrice. Une matrice qui n"a qu"une seule ligne (n=1) est appeléematrice ligneouvecteur ligne. On la note

A=a1,1a1,2...a1,p.

De même, une matrice qui n"a qu"une seule colonne (p=1) est appeléematrice colonneouvecteur colonne. On

la note A=0 B BB@a 1,1 a

2,1...

a n,11 C CCA.

La matrice (de taillenp) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée lamatrice nulleet est notée0n,p

ou plus simplement 0. Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels.

1.3. Addition de matricesDéfinition 3(Somme de deux matrices).

SoientAetBdeux matrices ayant la même taillenp. LeursommeC=A+Best la matrice de taillenpdéfinie

par c ij=aij+bij.

En d"autres termes, on somme coefficients par coefficients. Remarque : on note indifféremmentaijoùai,jpour les

coefficients de la matriceA.

Exemple 2.

SiA=32

1 7 etB=0 5 21
alorsA+B=3 3 3 6

Par contre siB0=2

8 alorsA+B0n"est pas définie.Définition 4(Produit d"une matrice par un scalaire). Le produit d"une matriceA=aijdeMn,p(K)par un scalaire2Kest la matriceaijformée en multipliant chaque coefficient deApar. Elle est notéeA(ou simplementA).Exemple 3.

SiA=1 2 3

0 1 0 et=2 alorsA=2 4 6 0 2 0 La matrice(1)Aest l"opposéedeAet est notéeA. LadifférenceABest définie parA+(B).

MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES3

Exemple 4.

SiA=21 0

45 2
etB=1 4 2 75 3
alorsAB=352 3 01 L"addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises :Proposition 1. Soient A, B et C trois matrices appartenant à M n,p(K). Soient2Ket2Kdeux scalaires. 1.

A +B=B+A : la somme est commutative,

A +(B+C) = (A+B)+C : la somme est associative,

3. A +0=A : la matrice nulle est l"élément neutre de l"addition,

4.(+)A=A+A,

5.(A+B) =A+B.Démonstration.Prouvons par exemple le quatrième point. Le terme général de(+)Aest égal à(+)aij. D"après

les règles de calcul dansK,(+)aijest égal àaij+aijqui est le terme général de la matriceA+A.Mini-exercices.

SoientA=

7 20114

,B=

1 2 32 3 13 2 1

,C=

2160 33 12

,D=12

1 0 10 1 01 1 1,E=

1 23 08 6

. Calculer toutes les sommes possibles de deux de ces matrices. Calculer 3A+2Cet 5B4D. Trouvertel queACsoit la matrice nulle. 2.

Montrer que si A+B=A, alorsBest la matrice nulle.

3. Que vaut0A? et1A? Justifier l"affirmation :(A) = ()A. Idem avecnA=A+A++A(noccurrences deA).2. Multiplication de matrices

2.1. Définition du produit

Le produitABde deux matricesAetBest défini si et seulement si le nombre de colonnes deAest égal au nombre de

lignes deB.Définition 5(Produit de deux matrices). SoientA= (aij)une matricenpetB= (bij)une matricepq. Alors le produitC=ABest une matricenq dont les coefficientscijsont définis par :c ij=p X k=1a ikbkjOn peut écrire le coefficient de façon plus développée, à savoir : c ij=ai1b1j+ai2b2j++aikbkj++aipbpj. Il est commode de disposer les calculs de la façon suivante. 0 B B@ 1 C CA B A!0 B

B@ 1

C CA0 B B@j j cij1 C CA AB

MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES4Avec cette disposition, on considère d"abord la ligne de la matriceAsituée à gauche du coefficient que l"on veut

calculer (ligne représentée par desdansA) et aussi la colonne de la matriceBsituée au-dessus du coefficient que

l"on veut calculer (colonne représentée par desdansB). On calcule le produit du premier coefficient de la ligne par

le premier coefficient de la colonne (ai1b1j), que l"on ajoute au produit du deuxième coefficient de la ligne par le

deuxième coefficient de la colonne (ai2b2j), que l"on ajoute au produit du troisième...

2.2. Exemples

Exemple 5.

A=1 2 3

2 3 4 B=0 @1 2 1 1 1 11 A

On dispose d"abord le produit correctement (à gauche) : la matrice obtenue est de taille22. Puis on calcule chacun

des coefficients, en commençant par le premier coefficientc11=11+2(1) +31=2(au milieu), puis les autres (à droite). 0 @1 2 1 1 1 11 A 1 2 3

2 3 4

c11c12 c

21c220

@12 11 1 1 1 A 1 2 3

2 3 4

2c12 c

21c220

@1 2 1 1 1 11 A 1 2 3

2 3 4

2 7 3 11 Un exemple intéressant est le produit d"un vecteur ligne par un vecteur colonne : u=a1a2anv=0 B BB@b 1 b 2... b n1 C CCA

Alorsuvest une matrice de taille11dont l"unique coefficient esta1b1+a2b2++anbn. Ce nombre s"appelle le

produit scalairedes vecteursuetv.

Calculer le coefficientcijdans le produitABrevient donc à calculer le produit scalaire des vecteurs formés par la

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Matrices

1. Définition

1.1. DéfinitionDéfinition 1.

BBBBB@a

1,1a1,2...a1,j...a1,p

2,1a2,2...a2,j...a2,p

CCCCCAouA=ai,j

16j6pouai,j.

Exemple 1.

A=12 5

Encore quelques définitions :Définition 2.

Mn,n(K).

1,1a1,2...a1,n

2,1a2,2...a2,n............

A=a1,1a1,2...a1,p.

2,1...

1.3. Addition de matricesDéfinition 3(Somme de deux matrices).

Exemple 2.

SiA=32

Par contre siB0=2

SiA=1 2 3

MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES3

Exemple 4.

SiA=21 0

A +B=B+A : la somme est commutative,

A +(B+C) = (A+B)+C : la somme est associative,

4.(+)A=A+A,

5.(A+B) =A+B.Démonstration.Prouvons par exemple le quatrième point. Le terme général de(+)Aest égal à(+)aij. D"après

SoientA=

7 20114

1 2 32 3 13 2 1

2160 33 12

1 0 10 1 01 1 1,E=

1 23 08 6

Montrer que si A+B=A, alorsBest la matrice nulle.

2.1. Définition du produit

B@ 1

2.2. Exemples

Exemple 5.

A=1 2 3

2 3 4

21c220

2 3 4

21c220

2 3 4

7 20114

1 2 32 3 13 2 1

2160 33 12

1 0 10 1 01 1 1,E=

1 23 08 6