Suites et raisonnements avec des ϵ - Correction des exercices
est alors un majorant de {
Suites 1 Convergence
un = (−1)n +. 1 n n'est pas convergente. Exercice 4 Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire `a partir d'un certain rang. Exercice
Suites 1 Convergence
Suites. 1 Convergence. Exercice 1. Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ▽. Correction ▽. Vidéo □. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une
Chapitre 4 – Suites numériques – Exercices dentraˆınement
) 1. Page 2. Exercice 7. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire Toute sous-suite d'une suite convergente est convergente et admet la ...
Fiche de cours Suites
11 juil. 2021 montrer que u est convergente (toute suite convergente étant bornée) ... Montrer qu'une suite est (ou n'est pas) stationnaire. Pour montrer qu ...
II Suites dans un espace vectoriel normé
– Toute suite stationnaire est convergente vers la valeur o`u elle stationne. – Si la suite u est convergente ses suites extraites sont convergentes
Suites et raisonnements avec des ϵ
Montrer qu'une suite ne converge pas vers l. • Exercice 2 : Montrer qu'une suite de nombres entiers relatifs convergente est stationnaire. 0.3 Pour tout ϵ.
1 Propriétés - Suites monotones
Exercice 2 ♧. Écrire avec les quantificateurs la définition d'une suite divergente. Exercice 3. Montrer qu'une suite d'entiers convergente est stationnaire à
AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES Session 2012
suite (un)n∈N est discrète si son ensemble image est une partie discrète de E. 6. Démontrer qu'une suite discrète convergente est stationnaire. 7. Démontrer ...
Suites et raisonnements avec des ? - Correction des exercices
Exercice 2 : Montrer qu'une suite de nombres entiers relatifs convergente est stationnaire. Correction : Soit (un) une telle suite et l sa limite.
1 Suites convergentes
1.2 Suites stationnaires. Définition. Soit (un)n une suite de nombres réels. On dit que (un)n est stationnaire si et seulement si.
Suites 1 Convergence
n'est pas convergente. Exercice 4 Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire `a partir d'un certain rang. Exercice 5 Soit Hn =1+.
Suites 1 Convergence
Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge
Chapitre 4 – Suites numériques – Exercices dentraˆ?nement
Si (u2n)n?N et (u2n+1)n?N sont convergentes il en est de même de (un)n?N. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire `a partir ...
Corrigés des exercices Suites et limites
Multiplier les suites précédentes par ?1 et montrer qu'une suite u est croissante on a bien montré que la limite d'une suite convergente est unique.
Suites et raisonnements avec des ?
Montrer qu'une suite ne converge pas vers l. • Exercice 2 : Montrer qu'une suite de nombres entiers relatifs convergente est stationnaire. 0.3 Pour tout ?.
Analyse 1
Montrer qu'une suite d'entiers convergente est stationnaire `a partir d'un certain rang. Exercice 4. ? Montrer que toute suite convergente est bornée.
Deuxième partie Suites numériques
On rappelle qu'une suite d'éléments de K est une application définie sur N (ou une partie Théorème 3.2 Une suite convergente est bornée. Démonstration.
CHAÎNES DE MARKOV
la suite (Xn)n?0 est une loi sur EN muni de la tribu engendrée par les Supposons qu'il existe une loi de probabilité stationnaire ? ; pour tout n ? 0 ...
Universite de Provence2001{2012
Mathematiques Generales 1 - Parcours PEI
Suites.1 Suites convergentes
1.1 Denition.Denition.Soit (un)nune suite de nombres reels et`2R. On dit quela suite(un)nconverge vers`et on
note lim n!+1un=`ou encoreun!n!+1`si et seulement si8" >0;9N2N;8nN;jun`j ":Proposition.La suite(un)nde nombres reels converge vers`2Rsi et seulement si
8" >0;fn2N;jun`j> "gest ni.
Preuve.En eet, si" >0 et si l'ensemblefn2N;jun`j> "gest ni, il existe unN2Ntel que fn2N;jun`j> "g f0;1;:::;Ng. En particulier, pour toutnN+ 1, on ajun`j ". On a donc bien prouve que :8" >0,9N2N,8nN+ 1,jun`j ", et donc que (un)nconverge vers`.Reciproquement, si la suite (un) converge vers`2R, alors pour tout" >0, il existeN2Ntel que, pour tout
nN, on aitjun`j ". Ceci prouve quefn2N;jun`j> "gest inclus dansf0;1;:::;N1g, et donc quel'ensemblefn2N;jun`j> "gest ni.Proposition.La suite(un)nde nombres reels converge vers`2Rsi et seulement si la suite(jun`j)n
converge vers 0.Preuve.En eet, si (vn)n= (jun`j)n, on a
(8" >0;9N2N;8nN;jun`j ")()(8" >0;9N2N;8nN;0vn"):1.2 Suites stationnaires. Denition.Soit (un)nune suite de nombres reels. On dit que (un)nest stationnairesi et seulement si9N2N;8nN; un=uN:
Autrement dit, (un)nest constante a partir d'un certain rang. Proposition.Toute suite stationnaire est convergente.Preuve.
A faire en exercice.
1.3 Caractere borne et divergence vers1.Denition.Soit (un)nune suite de nombres reels. On dit que :
{ (un) estmajoreesi et seulement si9M2R;8n2N; unM:
{ (un) estminoreesi et seulement si9m2R;8n2N; unm:
{ (un)nestborneesi et seulement si (un) est majoree et minoree. { (un) diverge vers +1et on note limn!+1un= +1ou encoreun!n!+1+1si et seulement si8A2R;9N2N;8nN; unA:
{ (un) diverge vers1et on note limn!+1un=1ou encoreun!n!+11si et seulement si8A2R;9N2N;8nN; unA:Proposition.Une suite qui converge vers+1n'est pas bornee.
Preuve.En eet, si la suite (un) est bornee, il existeM2Ntel que, pour toutnM, on aitunM. Or, comme (un)ntend vers +1, il existeN2Ntel que, pour toutnN, on aitunM+ 1. On a alors :8nN,M+ 1unM, ce qui est absurde.Remarque.Par contre il existe des suites non bornees qui ne tendent pas vers +1. La suite ((1)nn)npar
exemple, ou alors la suite qui vautnsinest pair et 0 sinest impair.1.4 Unicite de la limite.Theoreme.Soit(un)nune suite de nombres reels. Si(un)nconverge, sa limite est unique.Preuve.En eet, supposons que la suite (un)nait deux limites`et`0avec`6=`0. Soit"un reel strictement
positif tel que" <12 j``0j.Les intervalles ]`";`+"[ et ]`0";`0+"[ de centres`et`0et de m^eme longueur 2"sont disjoints. En eet, si ce
n'est pas le cas et sizest dans ces deux intervalles, on a alorsjz`j "etjz`0j ". L'inegalite triangulaire
nous donne alorsj``0j=j(`z) + (z`0)j j`zj+jz`0j "+"= 2"Denition.Soit (un) une suite de nombres reels. On dit que (un) est bornee si et seulement si elle est minoree
et majoree ou encore si et seulement si9M2R;8n2N;junj M:Theoreme.Soit(un)nune suite de nombres reels. Si(un)nconverge, alors elle est bornee.Preuve.En eet, si`est la limite de la suite (un)n, prenons"= 1>0, il existeN12Ntel que, pour tout
nN1, on aitjun`j 1. On a alors, gr^ace a la seconde inegalite triangulaire :8nN;junj j`j jjunj j`jj jun`j 1;
donc :8nN,junj j`j+ 1.En particulier, siM= max(ju0j;ju1j;:::;juN1j;j`j+1), alors :8n2N,junj M, et donc (un)nest bornee.Remarque.la reciproque est fausse : par exemple, la suite ((1)n)nqui vaut alternativement 1 et1 est bornee
mais ne converge pas.2 Operations sur les suites.Theoreme.Soient(un)net(vn)ndeux suites reelles qui convergent vers`et`0et soit2R. Alors la suite de
terme general(un+vn)nconverge vers`+`0.Preuve. En eet, si"0>0, il existe un rangN1tel que, pour toutnN1,jun`j "0. Il existe un rangN2tel que, pour toutnN2,jvn`0j "0.En particulier, pour toutnmax(N1;N2), on a
j(un+vn)(`+`0)j=j(un`) +(vn`0)j jun`j+jjjvn`0j "0+jj"0= (1 +jj)"0:On a bien prouve que,
8" >0;9N2N;8nN;j(un+vn)(`+`0)j ":
En eet, il sut, pour" >0 donne, de prendre"0tel que (1 +jj)"0"pour avoir la conclusion desiree.Theoreme.Soient(un)net(vn)ndeux suites de reels qui convergent vers`et`0. Alors la suite de terme general
(unvn)nconverge vers``0.Preuve.On va prouver le lemme suivant :Lemme.Soient(un)net(vn)ndeux suites de complexes telles que(un)soit bornee et(vn)ntende vers 0. Alors
(unvn)ntend vers 0. 3 Preuve du lemme.Comme (vn)nest bornee, il existe un reelMtel que8n2N;jvnj M. Soit" >0. La question est : existe-t-il un rang a partir duqueljunvnj "? En utilisant la majoration precedente, on ajunvnj Mjunj, et on a junj "M )Mjunj ") junvnj " Mais comme la suite (un)nconverge vers zero, il existe un rangNa partir duqueljunj "M (e=Mest un reel stricement positif, donc on peut lui appliquer le critere de convergence). Et on a donc nN) junj "M ) junvnj " Pour tout" >0, on peut donc trouver un rangNa partir duqueljunvnj ". Ce qui veut dire que (unvn)n converge vers zero. Revenons a la preuve du theoreme. On ecrit que, pour toutn2N, u nvn``0=un(vn`0) +un`0``0=un(vn`0) + (un`)`0: La suite (un) converge, donc elle est bornee. D'apres le lemme, la suite (un(vn`0))nconverge vers 0. Enn, d'apres le theoreme precedent, la suite ((un`)`0)nconverge vers 0`0= 0.On en deduit que la suite (unvn``0)nconverge vers 0, ce qui prouve le theoreme.Theoreme.Soit(un)nune suite reelles qui converge vers`6= 0. Alors
{ Il existeN2Ntel que, pour toutnN, on ait :junj j`j2 >0. { La suite 1u n nNconverge vers1` .Preuve.En eet, si"=j`j2 >0, il existeN2Ntel que, pour toutnN, on ait :jun`j ".En particulier, pour toutnN, on a
j`j junj jj`j junjj j`unj "=j`j2 doncjunj j`j j`j2 =j`j2 . Le premier point est prouve. En ce qui concerne le second point, on ecrit que, pournN, on aun6= 0. Donc, pournN, on a 1u n1` =`un`u n:La suite (`un) tend vers 0 et la suite (1`u
n)nNest bornee. On en deduit que la suite (1u n1` )nNconvergevers 0.Proposition.Soit(un)nune suite de nombres reels non nuls telle que(junj)nconverge vers+1. Alors
1u n n converge vers 0. Preuve.Soit" >0. Il existe un rangNtel que, pour toutnN, on aitjunj 1" . On a alors :8nN;1u
n ":43 Passage a la limite et suites monotones.
Theoreme de passage a la limite.Soit(un)nune suite reelle qui converge vers`telle que, pour toutn0, on aitun0. Alors`0.Preuve.Supposons que l'on ait` <0. Posons"=`2 . Il existe un rangNtel que, pour toutnN, on ait `"un`+"=`2<0. Ceci contredit le fait que, pour toutn2N, on aitun0.Theoreme de convergence des suites croissantes majorees.Soit(un)une suite de reels, croissante et
majoree. Alors la suite(un)converge.Preuve.PosontA=fun; n2Ng.Aest non vide, et comme (un)nest majoree, l'ensembleAest majore.A
possede donc une borne superieures.Montrons que (un)nconverge verss.
Tout d'abord,sest majorant deA, donc :8n2N,uns.
Si maintenant" >0,s"n'est plus majorant deA, donc il existeN2Ntel queuN> s". La suite (un) etant croissante, pour toutnN, on aunuN> s".On a bien prouve que :
8" >0;9N2N;8nN; s" < uns:
Ceci prouve bien que (un)nconverge versset acheve la preuve du theoreme.Theoreme des suites adjacentes.Soient(un)et(vn)deux suites de reels. On suppose que :
{8n2N,unvn {(un)nest croissante et(vn)nest decroissante {limn!+1(vnun) = 0.Alors(un)net(vn)convergent et ont m^eme limite.Preuve.En eet, pour toutn2N,unvnv0. La suite (un)nest donc croissante majoree donc convergente
vers`2R. De m^eme, pour toutn2N,u0unvn. La suite (vn)nest donc decroissante minoree donc convergente vers 02R. La suite (vnun) converge vers 0 donc``0= 0, ce qui entra^ne que`=`0.5quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer qu'une suite est arithmétique méthode
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