Suites et raisonnements avec des ϵ - Correction des exercices
est alors un majorant de {
1 Suites convergentes
Proposition. Toute suite stationnaire est convergente. Preuve. `A faire en exercice. Page 2. 1.3
Suites 1 Convergence
un = (−1)n +. 1 n n'est pas convergente. Exercice 4 Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire `a partir d'un certain rang. Exercice
Chapitre 4 – Suites numériques – Exercices dentraˆınement
) 1. Page 2. Exercice 7. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire Toute sous-suite d'une suite convergente est convergente et admet la ...
Fiche de cours Suites
11 juil. 2021 montrer que u est convergente (toute suite convergente étant bornée) ... Montrer qu'une suite est (ou n'est pas) stationnaire. Pour montrer qu ...
II Suites dans un espace vectoriel normé
– Toute suite stationnaire est convergente vers la valeur o`u elle stationne. – Si la suite u est convergente ses suites extraites sont convergentes
Suites et raisonnements avec des ϵ
Montrer qu'une suite ne converge pas vers l. • Exercice 2 : Montrer qu'une suite de nombres entiers relatifs convergente est stationnaire. 0.3 Pour tout ϵ.
1 Propriétés - Suites monotones
Exercice 2 ♧. Écrire avec les quantificateurs la définition d'une suite divergente. Exercice 3. Montrer qu'une suite d'entiers convergente est stationnaire à
AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES Session 2012
suite (un)n∈N est discrète si son ensemble image est une partie discrète de E. 6. Démontrer qu'une suite discrète convergente est stationnaire. 7. Démontrer ...
Suites et raisonnements avec des ? - Correction des exercices
Exercice 2 : Montrer qu'une suite de nombres entiers relatifs convergente est stationnaire. Correction : Soit (un) une telle suite et l sa limite.
1 Suites convergentes
1.2 Suites stationnaires. Définition. Soit (un)n une suite de nombres réels. On dit que (un)n est stationnaire si et seulement si.
Suites 1 Convergence
n'est pas convergente. Exercice 4 Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire `a partir d'un certain rang. Exercice 5 Soit Hn =1+.
Suites 1 Convergence
Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge
Chapitre 4 – Suites numériques – Exercices dentraˆ?nement
Si (u2n)n?N et (u2n+1)n?N sont convergentes il en est de même de (un)n?N. Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire `a partir ...
Corrigés des exercices Suites et limites
Multiplier les suites précédentes par ?1 et montrer qu'une suite u est croissante on a bien montré que la limite d'une suite convergente est unique.
Suites et raisonnements avec des ?
Montrer qu'une suite ne converge pas vers l. • Exercice 2 : Montrer qu'une suite de nombres entiers relatifs convergente est stationnaire. 0.3 Pour tout ?.
Analyse 1
Montrer qu'une suite d'entiers convergente est stationnaire `a partir d'un certain rang. Exercice 4. ? Montrer que toute suite convergente est bornée.
Deuxième partie Suites numériques
On rappelle qu'une suite d'éléments de K est une application définie sur N (ou une partie Théorème 3.2 Une suite convergente est bornée. Démonstration.
CHAÎNES DE MARKOV
la suite (Xn)n?0 est une loi sur EN muni de la tribu engendrée par les Supposons qu'il existe une loi de probabilité stationnaire ? ; pour tout n ? 0 ...
Suites
1 Convergence
Exercice 1Montrer que toute suite convergente est bornée. Montrer qu"une suite d"entiers qui converge est constante à partir d"un certain rang.Montrer que la suite(un)n2Ndéfinie par
u n= (1)n+1n n"est pas convergente. Soit(un)n2Nune suite deR. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si(un)nconverge vers un réel`alors(u2n)net(u2n+1)nconvergent vers`. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, il en est de même de(un)n. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, de même limite`, il en est de même de(un)n. Soitqun entier au moins égal à 2. Pour toutn2N, on poseun=cos2npq 1.Montrer que un+q=unpour toutn2N.
2. Calculer unqetunq+1. En déduire que la suite(un)n"a pas de limite.SoitHn=1+12
++1n 1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n>0 :1n+16ln(n+1)ln(n)61n 2.En déduire que ln (n+1)6Hn6ln(n)+1.
3.Déterminer la limite de Hn.
4. Montrer que un=Hnln(n)est décroissante et positive. 15.Conclusion ?
On considère la fonctionf:R!Rdéfinie par
f(x) =x39 +2x3 +19 et on définit la suite(xn)n>0en posantx0=0 etxn+1=f(xn)pourn2N: 1. Montrer que l"équation x33x+1=0 possède une solution uniquea2]0;1=2[: 2.Montrer que l"équation f(x) =xest équivalente à l"équationx33x+1=0 et en déduire queaest
l"unique solution de l"équationf(x) =xdans l"intervalle[0;1=2]: 3. Montrer que la fonction fest croissante surR+et quef(R+)R+. En déduire que la suite(xn)est croissante. 4. Montrer que f(1=2)<1=2 et en déduire que 06xn<1=2 pour toutn>0: 5.Montrer que la suite (xn)n>0converge versa:
Exercice 8Posonsu2=112
2et pour tout entiern>3,
u n= 1122 113
2 11n 2
Calculerun. En déduire que l"on a limun=12
Déterminer les limites lorsquentend vers l"infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser en
quelques mots la méthode employée. 1.1 ; 12
;13 ;:::;(1)n1n 2.2 =1 ; 4=3 ; 6=5 ;:::; 2n=(2n1);:::
3.0 ;23 ; 0;233 ;:::; 0;2333 ;:::
4. 1n 2+2n2++n1n
2 5. (n+1)(n+2)(n+3)n 3 6.1+3+5++(2n1)n+12n+12
7. n+(1)nn(1)n 2 8.2n+1+3n+12
n+3n 9.1=2+1=4+1=8++1=2npuisp2 ;
q2 p2 ; r2 q2 p2 ;::: 10. 113+19 127
++(1)n3 n 11. pn+1pn 12. nsin(n!)n 2+1 13.
Démontrer la formule 1 +22+32++n2=16
n(n+1)(2n+1); en déduire limn!¥1+22+32++n2n 3.On considère les deux suites :
u n=1+12! +13! ++1n!;n2N; v n=un+1n!;n2N:Montrer que(un)net(vn)nconvergent vers une même limite. Et montrer que cette limite est un élément de
RnQ. Soita>0. On définit la suite(un)n>0paru0un réel vérifiantu0>0 et par la relation u n+1=12 u n+au nOn se propose de montrer que(un)tend verspa.
1.Montrer que
u n+12a=(un2a)24un2: 2. Montrer que si n>1 alorsun>papuis que la suite(un)n>1est décroissante. 3.En déduire que la suite (un)converge verspa.
4. En utilisant la relation un+12a= (un+1pa)(un+1+pa)donner une majoration deun+1paen fonction deunpa. 5.Si u1pa6ket pourn>1 montrer que
u npa62pa k2 pa 2n1 6.Application : Calculer
p10 avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenantu0=3.Soientaetbdeux réels,a Soient u0etv0des réels strictement positifs avecu0 Indication pourl"exer cice1 NÉcrire la définition de la convergence d"une suite(un)avec les "e". Comme on a une proposition qui est vraie pour toute>0, c"est en particulier vrai poure=1. Cela nous donne un "N". Ensuite séparez la suite en deux : regardez lesn constante.Indication pourl"exer cice3 NOn prendra garde à ne pas parler de limite d"une suite sans savoir au préalable qu"elle converge ! Vous pouvez utiliser le résultat du cours suivant : Soit(un)une suite convergeant vers la limite`alors toute sous-suite(vn)de(un)a pour limite`.Indication pourl"exer cice4 NDans l"ordre c"est vrai, faux et vrai. Lorsque c"est faux chercher un contre-exemple, lorsque c"est vrai il faut le prouver.Indication pourl"exer cice5 NPour la deuxième question, raisonner par l"absurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes. Pour chacune des majorations, il s"agit de f airela somme de l"inég alitéprécédente et de s"aperce voirque Que f aitune suite décroissante et minorée ? Indication pourl"exer cice7 NPour la première question : attention on ne demande pas de calculera! L"existence vient du théorème des Pour la dernière question : il faut d"une part montrer que(xn)converge et on note`sa limite et d"autre part il avec des entiers.Indication pourl"exer cice11 N1.C"est un calcul de réduction au même dénominateur . suffit pour la précision demandée.Indication pourl"exer cice12 NPourlapremièrequestionetlamonotonieilfautraisonnerparrécurrence. Pourlatroisièmequestion, remarquer que sifest décroissante alorsffest croissante et appliquer la première question.Indication pourl"exer cice13 N1.Re garderce que donne l"inég alitéen éle vantau carré de chaque coté. Une suite croissante et majorée con verge; une suite décroissante et minorée aussi. Indication pourl"exer cice14 NOn noterafn:[0;1]!Rla fonction définie parfn(x) =ånk=1xk1: On sait que fn(an) =0. Montrer par un calcul quefn(an1)>0, en déduire la décroissance de(an). En02[a;b]et pour toutn2N;un+1=f(un):
3 1.On suppose ici que fest croissante. Montrer que(un)nest monotone et en déduire sa convergence vers
une solution de l"équationf(x) =x. 2.Application.Calculer la limite de la suite définie par :
u 0=4 et pour toutn2N;un+1=4un+5u
n+3: 3. On suppose maintenant que fest décroissante. Montrer que les suites(u2n)net(u2n+1)nsont monotones et convergentes. 4.Application.Soit
u 0=12 et pour toutn2N;un+1= (1un)2: Calculer les limites des suites(u2n)net(u2n+1)n.
1. Soient a;b>0. Montrer quepab6a+b2
2. Montrer les inég alitéssui vantes( b>a>0) :
a6a+b2 6beta6pab6b:
3. Montrer que un6vnquel que soitn2N.
(b) Montrer que (vn)est une suite décroissante.
(c) Montrer que (un)est croissante En déduire que les suites(un)et(vn)sont convergentes et quelles ont même limite. Soitn>1.
1. Montrer que l"équation
nå k=1xk=1 admet une unique solution, notéean, dans[0;1]. 2. Montrer que (an)n2Nest décroissante minorée par12 3. Montrer que (an)converge vers12
Indication pour
l"exer cice 6 N1.En se rappelant que l"intégrale calcule une aire montrer :
1n+16Z
n+1 ndtt 61n
2. La limite est +¥.
4. Calculer un+1un.
5. 2=(k1)(k+1)k:k. Puis simplifier l"écriture deun.Indication pourl"exer cice10 N1.Montrer que (un)est croissante et(vn)décroissante.
5 2.Montrer que (un)est majorée et(vn)minorée. Montrer que ces suites ont la même limite.
3. Raisonner par l"absurde : si la limite `=pq
alors multiplier l"inégalitéuq6pq 6vqparq! et raisonner
Pour montrer la décroisance, montrer
un+1u n61. 3. Montrer d"abord que la suite con verge,montrer ensuite que la limite est pa. 4. Penser à écrire u2n+1a= (un+1pa)(un+1+pa).
5. Raisonner par récurrence.
6. Pour u0=3 on au1=3;166:::, donc 36p106u1et on peut prendrek=0:17 par exemple etn=4 Petites manipulations des inég alités.
3. (a) Utiliser 1.
(b) Utiliser 2.
(c) C"est une étude de la fonction fn.
2. 6`
Conclure.6
quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
[PDF] montrer qu'une suite est arithmétique méthode
[PDF] montrer qu'une suite est croissante exemple
[PDF] montrer qu'une suite est de cauchy exercice corrigé
[PDF] montrer qu'une suite est géométrique de raison
[PDF] montrer qu'une suite est géométrique exemple
[PDF] montrer qu'une suite est geometrique ts
[PDF] montrer qu'une suite n'est pas géométrique
[PDF] Montrer que
[PDF] montrer que 2 vecteurs sont orthogonaux
[PDF] montrer que 3 points sont alignés complexe
[PDF] montrer que 3 points sont alignés géométrie dans l'espace
[PDF] montrer que 3 points sont alignés vecteurs
[PDF] montrer que 4 point sont cocycliques
[PDF] montrer que 4 points appartiennent ? un même cercle complexe