[PDF] Suites et raisonnements avec des ? - Correction des exercices

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Suites et raisonnements avec des?- Correction

des exercices

Tatiana Labopin-Richard

Exercice 1 :Montrer que toute suite convergente est bornée. Correction :Soit(un)une suite qui converge versl. Cela signifie que Pour?= 1(c"est une valeur arbitraire!), il existe doncNtel que pourn≥N, L"ensemble{|un|,n? {0,N}}étant fini, il est majoré par unM0. Le réel

M= max(1 +l,M0)

est alors un majorant de{|un|,n?N}et donc la suite est bornée. Exercice 2 :Montrer qu"une suite de nombres entiers relatifs convergente est stationnaire. Correction :Soit(un)une telle suite etlsa limite. On applique l"assertion de la convergence enlavec?=13 . Il existe alors un rang à partir duquel

Pournetmau-delà de ce rang, nous avons donc

+13 =23 <1. Commeunetumsont des entiers,un=umet la suite est stationnaire. Remarque :La contrainte que nous avions sur?était ici2? <1. Exercices 3 :Soit(un)une suite convergente, de limitel. Montrer que la suite de terme généralvn= sup({uk,k≥n})converge aussi versl. 1 Correction :Observons d"abord que(vn)est bien définie.(un)est bornée donc la borne supérieure existe. de ce rangN,

Donc la suite(vn)converge versl.

Exercice 4 :Soient(un)et(vn)deux suites réelles convergeant versletl?avec l < l ?. Montrer qu"à partir d"un certain rang,un< vn.

Correction :Posonsm=l+l?2

. On aun→l < m. Pour?=m-l >0, il existe un rangn0tel que sin≥n0,|un-l|< ?et doncun< m. De manière symétrique, il existe un rangn1au delà duquelvn> m. Et donc, pourn≥max(n0,n1), u n< m < vn. Exercice 5 :Soit(un)une suite de réels non nuls vérifiant u n+1u n→0.

Déterminer la limite de(un).

Correction :Comme???un+1u

n? ??→0<12 , il existe un rang à partir duquel???un+1u n? 12 , c"est à dire |un| et donc par récurrence, n-N|uN|. et par comparaison,(un)tend vers 0. Exercice 6 :SoitKun réel strictement supérieur à 1 et(?n)une suite de réels positifs convergeant vers 0. Soit(un)une suite de réels de[0,1]vérifiant 2

La suite(un)converge-t-elle vers 0?

Correction :Soit? >0. Comme(?n)converge vers 0, il existeNtel que . On en déduit : 2+?K 2+?K et par récurrence, p+p? i=1?K i. La suite(un)est majorée par 1 et on peut écrire : p+?K p+?K-1.

Pourpassez grand,1K

ce qui permet de conclure. 3quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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