[PDF] Chapitre 4 – Suites numériques – Exercices dentraˆ?nement

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Chapitre 4 { Suites numeriques { Exercices

d'entra^nement

I. Ciril

Exercice 1

Soit (un)n2Nune suite deR. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si (un)n2Nconverge vers un reellalors (u2n)n2Net (u2n+1)n2Nconvergent versl. Si (u2n)n2Net (u2n+1)n2Nsont convergentes, il en est de m^eme de (un)n2N. Si (u2n)n2Net (u2n+1)n2Nsont convergentes, de m^eme limitel, il en est de m^eme de (un)n2N.

Exercice 2

Montrer que la suite (un)n2Ndenie par

u n= (1)n+1n n'est pas convergente.

Exercice 3

Soitqun entier au moins egal a 2. Pour toutn2N, on poseun= cos2nq

1. montrer queun+q=un;8n2N.

2. Calculerunqetunq+1. En deduire que la suiteunn'a pas de limite.

Exercice 4

Posonsu2= 112

2et pour tout entiern3,

u n= (112

2)(113

2)(11n

2):

Calculerun. En deduire que l'on a limun=12

Exercice 5

SoitHn= 1 +12

+:::+1n

1. En utilisant une integrale, montrer que8n >01n+1ln(n+ 1)ln(n)1n

2. En deduire que ln(n+ 1)Hnln(n) + 1.

3. Determiner la limite deHn.

4. Montrer queun=Hnln(n) est decroissante et positive.

5. Conclusion?

Exercice 6Etudier la convergence des suites :

pn

2+n+ 1pn

nsin(n)n 2+11n + (1)nn2n+1P k=11n 2+k1n n1P k=0cos(1pn+k) 1

Exercice 7

Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire a partir d'un certain rang.

Corrections des exercices

Exercice 1

1. Vraie. Toute sous-suite d'une suite convergente est convergente et admet la m^eme

limite.

2. Faux. Un contre-exemple est la suite (un)ndenie parun= (1)n. Alors (u2n)nest

la suite constante (donc convergente) de valeur 1, et (u2n+1)nest constante de valeur

1. Cependant la suite (un)nn'est pas convergente.

3. Vraie. La convergence de la suite (un)nvers`, que nous souhaitons demontrer, s'ecrit :

8 >09N2Ntel que

nN) jun`j< Fixons >0. Comme, par hypothese, la suite (u2p)pconverge vers`alors il existeN1 tel

2pN1) ju2p`j< :

Et de m^eme, pour la suite (u2p+1)pil existeN2tel que

2p+ 1N1) ju2p+1`j< :

SoitN= max(N1;N2), alors

nN) jun`j< :

Ce qui prouve la convergence de (un)nvers`.

Exercice 2

Beaucoup d'entre vous ont compris queunn'avait pas de limite, mais il faut arriver a en donner une demonstration formelle. En eet, des lors qu'on ne sait pas qu'une suite (un)n2N converge, on ne peut pas ecrire limun, c'est un nombre qui n'est pas deni. Par exemple l'egalite limn!1(1)n+ 1=n= limn!1(1)n n'a pas de sens. Par contre voila ce qu'on peut dire :Comme la suite1=ntend vers 0 quand n! 1, la suite(un)n2Nest convergente si et seulement si la suite(1)nl'est. De plus, dans le cas ou elles sont toutes les deux convergentes, elles ont m^eme limite.Cette armation provient tout simplement du theoreme suivant : Theoreme 0.1Soientunetvndeux suites convergeant vers deux limitesletl0. Alors la suitewn=un+vnest convergente (on peut donc parler de sa limite) etlimwn=l+l0. De plus, il n'est pas vrai que toute suite convergente doit forcement ^etre croissante et majoree ou decroissante et minoree. Par exemple, (1)n=nest une suite qui converge vers 0 mais qui n'est ni croissante, ni decroissante. A ce propos d'ailleurs, on ne dit pas d'une suite qu'elle estcroissante pournpair et decroissante pournimpairm^eme si je comprends ce que cela signie. On dit qu'une telle suite n'est ni croissante ni decroissante (et c'est tout). 2 Voici maintenant un exemple de redaction de l'exercice. On veut montrer que la suite (un)n2Nn'est pas convergente. Supposons donc par l'absurde qu'elle soit convergente et notonsl= limn!1un. (Cette expression a un sens puisqu'on suppose que (un)n2Nconverge). Rappel 1.Unesous-suitede (un)n2N(on dit aussisuite extraitede (un)n2N) est une suite (vn)n2Nde la formevn=u(n)ouest une application strictement croissante deN dansN. Cette fonctioncorrespond "au choix des indices qu'on veut garder" dans notre sous-suite. Par exemple, si on ne veut garder dans la suite (un)n2Nque les termes pour lesquelsnest un multiple de trois, on pourra poser(n) = 3n, c'est a direvn=u3n. Considerons maintenant les sous-suitesvn=u2netwn=u2n+1de (un)n2N. On a que v n= 1 + 1=2n!1 et quewn=1 + 1=(2n+ 1)! 1. Or on a le theoreme suivant sur les sous-suites d'une suite convergente : Theoreme 0.2Soitunune suite convergeant vers la limitel(le theoreme est encore vrai sil= +1oul=1). Alors, toute sous suitevndeuna pour limitel. Par consequent, ici, on a que limvn=let limwn=ldoncl= 1 etl=1 ce qui est une contradiction. L'hypothese disant que (un)n2Netait convergente est donc fausse. Donc (un)n2Nne converge pas.

Montrons queunest bornee. On a que

1(1)n1

01=n1 donc 1un2 doncunest bornee. Rappel 2.Le theoreme de Bolzano-Weerstrass dit ceci : Soit (un) une suite de reels bornee. Alors, il existe une sous-suite de (un) qui est convergente. (C'est un theoreme tres puissant). Ici, on nous demande d'exhiber une sous-suite deunqui soit convergente. Mais on a deja vu quevn=u2n!1.vn=u2nest donc une suite extraite convergente. Remarque 0.3Il y a d'autres sous-suites convergentes :(u4n) (u2n),(un!)et(u3n)sont des sous-suites convergentes deun.

Exercice 3

1.un+q= cos2(n+q)q

= cos2(n)q + 2= cos2(n+q)q =un.

2.unq= cos2(nq)q

= cos2n= 1 =u0etunq+1= cos2(nq+1)q = cos2q =u1. Suppo- sons, par l'absurde que (un) converge vers`. Alors la sous-suite (unq)nconverge vers `commeunq=u0= 1 pout toutnalors`= 1. D'autre part la sous-suite (unq+1)n converge aussi vers`, maisunq+1=u1= cos2q , donc`= cos2q . Nous obtenons une contradiction car pourq2, nous avons cos2q

6= 1. Donc la suite (un) ne converge

pas.

Exercice 4

Remarquons d'abord que 11k

2=1k2k

2=(k1)(k+1)k:k

. En ecrivant les fractions deunsous la cette forme, l'ecriture va se simplier radicalement : u n=(21)(2 + 1)2:2(31)(3 + 1)3:3(k1)(k+ 1)k:k (k)(k+ 2)(k+ 1):(k+ 1)(n1)(n+ 1)n:n 3 Tous les termes des numerateurs se retrouvent au denominateur (et vice-versa), sauf aux extremites. D'ou : u n=12 n+ 1n

Donc (un) tends vers12

lorsquentend vers +1.

Exercice 5

1. La fonctiont7!1t

est decroissante sur [n;n+ 1] donc

1n+ 1Z

n+1 ndtt 1n (C'est un encadrement de l'aire de l'ensemble des points (x;y) du plan tels quex2 [n;n+ 1] et 0y1=xpar l'aire de deux rectangles.) Nous obtenons l'inegalite :

1n+ 1ln(n+ 1)ln(n)1n

2.Hn=1n

+1n1++12 +1, nous majorons chaque terme de cette somme en utilisant l'inegalite 1k ln(k)ln(k1) obtenue prcdemment : nous obtenonsHnln(n) ln(n1) + ln(n1)ln(n2) ++ ln2ln1 + 1. Cette somme est telescopique (la plupart des termes s'eliminent et en plus ln1 = 0) et donneHnlnn+ 1. L'autre inegalite s'obtient de la facon similaire en utilisant l'inegalite ln(k+1)ln(k) 1k

3. CommeHnln(n+ 1) et que ln(n+ 1)!+1quandn!+1alorsHn!+1

quandn!+1.

4.un+1un=Hn+1Hnln(n+ 1) + ln(n) =1n+1(lnn+ 1lnn)0 d'apres la

premiere question. Doncun+1un=f(1n+1)0. Doncun+1unet la suite (un) est decroissante.

Enn commeHnln(n+ 1) alorsHnlnnet doncun0.

5. La suite (un) est decroissante et minoree (par 0) donc elle converge vers un reel

. Ce reel est la constante d'Euler (Leonhard Euler, 1707-1783, mathematicien d'origine suisse). Cette constante vaut environ 0;5772156649:::mais on ne sait pas si est rationnel ou irrationnel.

Exercice 6

1. Suite non convergente car non bornee.

2. Suite convergente vers 0.

3. Suite non convergente car la sous-suiteu2p= 1 +12pest toujours plus grande que 1.

Alors que la sous-suiteu2p+1=1 +12p+1est toujours plus petite que 0.

Exercice 7

Soit (un)nune suite d'entiers qui converge vers`2R.

Dans l'intervalleI=]`12

;`+12 [ de longueur 1, il existe au plus un element deN. Donc

I\Nest soit vide soit un singletonfag.

La convergence de (un)ns'ecrit :

8 >09N2Ntel que (nN) jun`j< ):

4

Fixons=12

, nous obtenons leNcorrespondant. Et pournN,un2I. Mais de plusun est un entier, donc nN)un2I\N: En consequent,I\Nn'est pas vide (par exempleuNen est un element) doncI\N=fag.

L'implication precedente s'ecrit maintenant :

nN)un=a: Donc la suite (un)nest stationnaire (au moins) a partir deN. En prime, elle est bien evidemment convergente vers`=a2N. 5quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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