[PDF] Analyse 1 Montrer qu'une suite d'

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Aix-Marseille Universite Licences de Mathematiques et d'Informatique

Semestre 22013-2014

Analyse 1

Planche 1 : Suites reelles1 Suites numeriques - Proprietes - Suites monotones

Exercice 1.Soient les suites denies parun=1n

etvn=1n 2.

1.Verier qu'elles sont bornees.

2.Montrer que leur quotient n'est pas borne.

Exercice 2.|Ecrire avec les quanticateurs la denition d'une suite divergente. Exercice 3.Montrer qu'une suite d'entiers convergente est stationnaire a partir d'un certain rang. Exercice 4.|Montrer que toute suite convergente est bornee. Exercice 5.|Montrer que si (un) est une suite arithmetique de premier termeaet de raisonr, alorsun=a+nr;8n2N. Exercice 6.|Montrer que si (un) est une suite geometrique de premier termeaet de raisonr, alorsun=arn;8n2N. Exercice 7.Soit (un) une suite geometrique de premier termeaet de raisonr6= 1. On suppose queaetrsont strictement positifs.

1.Montrer queun>0;8n2N.

2.Montrer que la suiteln(un)est une suite arithmetique de premier terme ln(un) et de raison

ln(a). Exercice 8.|Montrer que la suite (un)n2Ndenie parun= (1)n+1n n'est pas convergente.

Exercice 9.

1.Ecrire avec les quanticateurs que la suite (un) verie limun= +1.

2.En deduire que si (un) est une suite reelle qui tend vers +1et (vn) est une suite bornee, alors

leur somme est une suite qui tend vers +1. Exercice 10.Montrer que si une suite (un) est convergente alors la suite (junj) est convergente.

La reciproque est-elle vraie?

Exercice 11.Montrer que la somme d'une suite convergente et d'une suite divergente est diver- gente.

Exercice 12.|Montrer que limn!1n!n

n= 0 en appliquant la denition de la convergence et en precisantN"qui intervient dans cette denition. Exercice 13.Les suites suivantes, sont-elles monotones? bornees? convergentes? (i)an=n(1)n;(ii)bn= cosn2 ;(iii)cn= sinn2 ;(iv)dn= cosn

1 SUITES NUM

ERIQUES - PROPRIETES - SUITES MONOTONES PLANCHE 1 { 2(v)en=n2+ 2n+ 1n

23;(vi)fn=n2

n;(vii)gn=2nn!;(viii)hn=n!n n: Exercice 14.|A partir de la denition de la limite d'une suite, demontrer les egalites suivantes : (i) limn!1(1)nn = 0;(ii) limn!12n+ 1n+ 1= 2;(iii) limn!1ln(lnn) = +1: Exercice 15.Les suites suivantes sont-elles convergentes? (i)an= (1)nn;(ii)bn= 1 +nn+ 1sinn2 ;(iii)cn= 1 +1n (1)n

Exercice 16.

1.Montrer que si la suite (an) est bornee et si la suite (bn) verie limn!1bn= 0, alors limn!1anbn= 0.

2.Calculer les limites suivantes :

(i) limn!1nn

2+ 1sin(3n+1);(ii) limn!11 + 2 +:::+nn

3+ 1cos(n!);(iii) limn!1(sinpn+ 1sinpn):

Exercice 17.

1.Montrer que si limn!1an=l, alors limn!1janj=jlj.

2.Montrer que sian6= 0 et limn!1janj= +1, alors limn!11a

n= 0.

Exercice 18.|

1.Soit (an) une suite a termes non nuls et telle que limn!1jan+1a

nj=q. Montrer que siq <1, alors limn!1an= 0.

2.Calculer les limites des suites suivantes :

(i)an=2nn!;(ii)bn=2nn!n n;(iii)cn=(n!)2(2n)!:

Exercice 19.Pour toutn2Non pose

u n=nn

2+ 1+nn

2+ 2+nn

2+ 3+:::nn

2+n

Demontrer que pour toutn2Non an2n

2+n6un6n2n

2+1. En deduire la convergence de la suite

(un).

Exercice 20.Pour toutn2Non pose

u n=sin(1)n

2+sin(2)n

2+sin(3)n

2+:::sin(n)n

2: En encadrantun, demontrer que la suite (un) converge.

Exercice 21.[La constante d'Apery]

Soit pour toutn2N

u n=11 3+12 3++1n 3:

2 CALCULS DE LIMITES PLANCHE 1 { 3

1. Determiner la monotonie de la suite (un)

2. Montrer que pour toutn2Non aun621n

3. Justier que la suite (un) converge. Que peut-on dire de sa limite?

Exercice 22.|Soient (un) et (vn) les suites denies toutn2Nparun= 1 +12! +13! ++1n!etvn=un+1n!.

1. Demontrer que (un) et (vn) sont adjacentes.

2. En deduire que (un) et (vn) convergent vers une m^eme limite.

3. En calculantu10etv10donner un encadrement de la limite commune de ces deux suites.

2 Calculs de limites

Exercice 23.|Posonsu2= 112

2et pour tout entiern>3,

u n= 112
2 113
2 11n 2

Calculerun. En deduire que l'on a limun=12

Exercice 24.|Determiner les limites lorsquentend vers l'inni des suites ci-dessous; pour chacune, essayer de preciser en quelques mots la methode employee.

1. 1 ;12

;13 ;:::;(1)n1n

2. 2=1; 4=3; 6=5;:::; 2n=(2n1);:::

3. 0;23 ; 0;233 ;:::; 0;2333 ;:::

4. 1n 2+2n

2++n1n

2 5. (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)n 3

6.1 + 3 + 5 ++ (2n1)n+ 12n+ 12

7. n+ (1)nn(1)n 8.

2n+1+ 3n+12

n+ 3n 9.

1=2 + 1=4 + 1=8 ++ 1=2npuisp2 ;

q2 p2 ; r2 q2 p2 ;::: 10. 113
+19 127
++(1)n3 n 11. pn+ 1pn 12. nsin(n!)n 2+ 1

13. Demontrer la formule 1+2

2+32++n2=16

n(n+1)(2n+1); en deduire limn!11 + 2

2+ 32++n2n

3.

3 SUITES EXTRAITES. VALEURS D'ADH

ERENCE. LIMITE SUP, LIMITE INF. PLANCHE 1 { 4Exercice 25.Calculer les limites suivantes : (i) limn!1(n+ 1)22n2;(ii) limn!1(n+ 1)2(n1)2(n+ 1)2+ (n1)2;(iii) limn!1pn

2+ 1n+ 1;(iv) limn!1n+ cosn3n+ sinn;

(v) limn!143n+1+ 24n52n+ 4n+2;(vi) limn!11 + 2 +:::+nn+ 2n2 ;(vii) limn!11 + 4 + 7 +:::+ (3n2)n 2; (viii) limn!112 + 34 +:::2npn

2+ 1;(ix) limn!11 +

12 +14 +:::+12 n1 + 13 +19 +:::+13 n: Exercice 26.Calculer les limites des suites suivantes : (i)an=npn

2+ 5n;(ii)bn=pn

2+npn

2n;(iii)cn=pn

4+n2pn

4n2; (iv)dn=pn

2+ 5npn

2+ 2n;(v)en=pn

2+pn+ 1pn

2pn1pn+ 1pn

;(vi)fn=3pn(n+ 1)23pn(n1)2; (vii)gn=n3 p8n3nn;(viii)hn=n(3pn

3+nn):

Exercice 27.Calculer les limites des suites suivantes en appliquant le theoreme des gendarmes : (i)an=np23n+ 47n;(ii)bn=np3n+ sinn;(iii)cn=nr2n+(1)nn ;(iv)dn=nr3 n+ 2n5 n+ 4n; (v)en=np2n33n2+ 15;(vi)fn=nr1 + 12 +:::+1n ;(vii)gn=np1 k+ 2k+:::+nk:

3 Suites extraites. Valeurs d'adherence. Limite sup, limite inf.

Exercice 28.|Soit (un)n2Nune suite deR. Que pensez-vous des propositions suivantes :

1. Si (un)nconverge vers un reellalors (u2n)net (u2n+1)nconvergent versl.

2. Si (u2n)net (u2n+1)nsont convergentes, il en est de m^eme de (un)n.

3. Si (u2n)net (u2n+1)nsont convergentes, de m^eme limitel, il en est de m^eme de (un)n.

Exercice 29.Soitqun entier au moins egal a 2. Pour toutn2N, on poseun= cos2nq

1.Montrer que8n2N; un+q=un.

2.Calculerunqetunq+1. En deduire que la suiteunn'a pas de limite.

Exercice 30.|[Calcul des valeurs d'adherence d'une suite]

1. Calculer les valeurs d'adherence, la limite inf et la limite sup de la suite (un) denie par

(a)un= 5 +pnsin(n)2n2+ (1)n2+1. (b)un= (1)n(1 +1n (c)un= cos(n3 ). Comparer l'ensemble des termes (valeurs) de cette suite avec l'ensemble de ses valeurs d'adherence. (d)un=7n11

E(7n11

). Comparer l'ensemble des termes (valeurs) de cette suite avec l'ensemble de ses valeurs d'adherence.

3 SUITES EXTRAITES. VALEURS D'ADH

ERENCE. LIMITE SUP, LIMITE INF. PLANCHE 1 { 52. Introduire la notion de valeur d'adherence pour une suite dansC. Determiner les valeurs

d'adherence de la suite complexe (zn) denie par (a)zn=in+1+i2 n+1+ip2 3n+1 (b)zn= (1+ip3 2 )n+n(1 +in) +1n 2. Exercice 31.Soit (un) est une suite reelle croissante qui admet une suite extraite majoree. Montrer que (un) est majoree (donc convergente). Exercice 32.|En utilisant des suites extraites, etablir la divergence des suites suivantes : u n=n1+(1)n,vn= cos(pn),wn=pnE(pn) Exercice 33.|Montrer qu'une suite de nombres reels (un) est non majoree si et seulement si (un) admet une suite extraite qui diverge vers +1. Exercice 34.Soit (un) une suite de nombres reels telle que les suites extraites (u2n), (u2n+1) et (u3n) convergent. Montrer que la suite (un) converge. Exercice 35.Soient (un) et (vn) les suites denies parun=n+1n cos(n2 ) etvn=n1n sin(n2 Calculer les limites superieures et inferieures des suites (un), (vn) et (un+vn). Exercice 36.Determiner les limites superieures et inferieures des suites (un) et (vn) denies par u n= (1)n+1n+1et v n=(

1 +1+(1)pp

psin= 2p (1 + 1p )psin= 2p+ 1: Exercice 37.Montrer que pour toutes suites reelles bornees (un) et (vn) on a limsup n!1(un+vn)6limsup n!1(un) + limsup n!1(vn): Est-ce que cette inegalite reste vraie pour les suites non-bornees? Attention au cas limsup n!1(un) =1, limsup n!1(vn) =1.

Exercice 38.

1. Soit (un) une suite convergente deRet soitlsa limite.

(a) Montrer que sifn2Njun< lgest inni, alors (un) admet une suite extraite strictement croissante. (b) Montrer que sifn2Njun> lgest inni, alors (un) admet une suite extraite strictement decroissante. (c) Que peut-on dire de la suite (un) si les deux ensemblesfn2Njun< lgetfn2Njun> lg sont nis?

2. Montrer que toute suite dansRadmet une suite extraite monotone.

3. Soit (un) une suite dansR. Montrer que toute valeur d'adherence de (un) est la limite d'une

suite extraite monotone.

4 SUITES R

ECURRENTES PLANCHE 1 { 6Exercice 39.Determiner les limites inferieures et superieures de la suite (un) denie pour tout

n2Nparu1= 0,u2n=u2n12 etu2n+1=12 +u2n. Exercice 40.[L'ensemble des valeurs d'adherence d'une suite bornee] Soit (un) une suite bornee et (vn) une suite convergente dont tous les termes sont des valeurs d'adherence de (un). Montrer que limn!1vnest aussi une valeur d'adherence de (un). Exercice 41.Soient (un), (vn) deux suites dansK(ouKdesigne l'un des corpsRouC). Notons parA(respectivementB) l'ensemble des valeurs d'adherence de (un), respectivement (vn). En

utilisant les suites (un), (vn) construire une suite (wn) dont l'ensemble des valeurs d'adherence soit

A[B. Exercice 42.[Suites bornees denses dans un intervalle] Soita2]0;1[. Pourx2Rposons'a(x) := minfxkajk2Z; ka6xg 2[0;a[.

1. Remarquer que pour'1(x) =xE(x), puis'a(x) =a(xa

E(xa

2. Supposons quea2Q.

(a) Montrer que l'ensembleVdes valeurs de l'applicationN![0;a[ denie parn7!'a(n) est ni. Preciser le cardinal de cet ensemble. (b) Montrer que l'ensemble des valeurs d'adherence de la suite ('a(n)) est l'ensemble niV. (c) Donner un exemple de suite bornee dansRqui a exactement 2014 valeurs d'adherence.

3. Supposons quea2RnQ.

(a) Montrer que l'applicationN![0;a[ denie parn7!'a(n) est injective. (b) Montrer que la suite ('a(n)) admet une suite extraite convergente dans [0;a]. (c) Montrer que pour tout" >0 il existem,n2Ntels que 04. Preciser l'ensemble des valeurs d'adherence de la suite (un) denie parun= sin(n).

5. Preciser l'ensemble des valeurs d'adherence de la suite (vn) denie parvn= tan(n).

Exercice 43.[Suite bornee telle que limn!1(un+1un) = 0]

1. Soit (un) une suite bornee deRtelle que limn!1(un+1un) = 0. Montrer que l'ensemble

des valeurs d'adherence de (un) concide avec l'intervalle liminf n!1un;limsup n!1un

2. Donner un exemple d'une suite suite borneeet divergente(un) deRtelle que limn!1(un+1un) = 0.

4 Suites recurrentes

Exercice 44.|Soit la suite (un) denie par recurrence par :u0>2,un+1=u2n2.

1. Montrer queun>2 pour toutn2N.

2. On suppose que la suite (un) converge. Quelle est sa limitel?

3. Montrer que la suite (un) est croissante.

4. En deduire la nature de la suite (un) (convergente ou pas).

Exercice 45.Soitf:R!Rl'application denie parf(x) = arctanx.

1. Montrer quefa un seul point xex0et preciser ce point.

4 SUITES R

ECURRENTES PLANCHE 1 { 72. Est-ce quefest une contraction?

3. Montrer que pour toutx2Rla suite recurrente (un) dansRdenie paru0=x,un+1=f(un)

converge versx0. Exercice 46.Soienta,b2Raveca < betf: [a;b]![a;b] continue et croissante.

1. Montrer que la suite recurrente denie paru0=betun+1=f(un), est decroissante.

2. En deduire que la suite (un) est convergente.

Exercice 47.[Methode de Heron]

Soita >0. On denit la suite (un)n>0paru0un reel veriantu0>0 et par la relation u n+1=12 u n+au n

On se propose de montrer que (un) tend verspa.

1.Montrer que

u n+12a=(un2a)24un2:

2.Montrer que sin>1 alorsun>papuis que la suite (un)n>1est decroissante.

3.En deduire que la suite (un) converge verspa.

4.En utilisant la relationun+12a= (un+1pa)(un+1+pa) donner une majoration deun+1pa

en fonction deunpa.

5.Siu1pa6ket pourn>1 montrer que

u npa62pa k2 pa 2n1

6.Application : Calculerp10 avec une precision de 8 chires apres la virgule, en prenantu0= 3.

Exercice 48.Soitf:R!Rdenie parf(x) =x+ sin(x).

1. Faites le graphe def,

2. Montrer quef([0;]) = [0;].

3. Preciser l'ensemble des points xes def.

4. Soitk2Z. Montrer que pour toutx2[2k;(2k+ 1)] on ax6f(x)2[2k;(2k+ 1)] et

pour toutx2[(2k+ 1);(2k+ 2)] on ax>f(x)2[(2k+ 1);(2k+ 2)].

5. Montrer que pour toutx2Rla suite recurrente (un(x)) associee afde terme initialu0(x) =x

est convergente. 6.

Etudier l'applicationF:R!Rdonnee par

F(x) := limn!1un(x):

Exercice 49.Soitaetbdeux nombres reels strictement positifs. On denit les suites (un) et (vn) paru0=a,v0=b, et pour tout entiern>0 les relationsun+1=12 (un+vn),vn+1=12 (un+1+vn).

1. Montrer que pour toutn2N, les nombresunetvnsont positifs et inferieurs au max(a;b).

4 SUITES R

ECURRENTES PLANCHE 1 { 82.

Etablir une relation simple entreun+1vn+1etunvn, et en deduire l'expression deunvn en fonction den.

3. Montrer que les suites (un) et (vn) ont une limite communel.

4. Etudier la suite (un+ 2vn) et en deduire la valeur del.

Exercice 50.Soienta,b2Rtels que 0< a < b. Posonsa0=a,b0=bet pourn>0 a n+1=2anbna n+bn; bn+1=12 (an+bn):

1. Montrer que les suites (an) et (bn) convergent et ont la m^eme limitelque l'on calculera en

fonction deaet deb.

2. Montrer que pour toutn2Non a

b n+1an+1=(bnan)22(an+bn): En deduire que pour toutn>0 on a 06(bn+1an+1)6(bnan)24aet (bnan)64aba4a 2n.

3. Application : trouver une valeur approchee dep2 a 10

4pres.

4. Poura0= 3,b0= 5 calculer les valeurs exactes dea2etb2et en deduire un encadrement dep15 par deux rationnels.

Exercice 51.On considere la suite (un) denie paru0= 0;5 et pour toutn2Nun+1=1n+2eun. Montrer par recurrence que pour toutn2Non a 0< un61. En deduire que pour toutn2Non aun+161(n+2), puis la convergence de (un). Exercice 52.On considere la suite (un) denie paru0= 5 et pour toutn2Nun+1= 2eun. Demontrer par recurrence que (un) est positive et decroissante. Conclure...

Exercice 53.|[Recurrences d'ordre 2]

Soienta2R,b2Rnf0get (un) une suite dansRsatisfaisant la relation de recurrenceun+2=aun+1+bun. L'equation caracteristiqueassociee a cette relation de recurrence estr2arb= 0.

1. Montrer que :

(a) La suite (un) est determinee par les deux premiers termesu0,u1. (b) Si l'equation caracteristique a deux racines reelles distinctesr1,r2, alors le terme general de la suite (un) est donne parun=rn1+rn2, ou,sont des constantes reelles. (c) Sir0est une racine double de l'equation caracteristique, alors le terme general de la suite (un) est donne parun= (+n)rn0, ou,sont des constantes reelles. (d) Si l'equation caracteristique a deux racines complexesr1=ei,r1=eialors le terme general de la suite (un) est donne parun=n(cos(n)+sin(n)), ou,sont des constantes reelles.

2. Dans chaque cas determiner les constantes,en fonction deu0,u1.Indication : Si l'equation

caracteristique a deux racines complexes et= 1, utiliser l'exercice 3.

3. Dans chaque cas etudier la convergence de la suite (un).

4. Application : Soit (un) une suite de Fibonacci, donc une suite qui satisfait la relation recurrence

u n+2=un+1+un. Donner la formule du terme general en fonction des termes initiauxu0, u

1. Pour quelles paires (u0;u1)2R2la suite de Fibonacci associee est convergente?

5 SUITES DE CAUCHY PLANCHE 1 { 9

Exercice 54.On considere la suite recurrente denie parun+1=f(un) ouf(x) =x2+316 et u 0>0.

1. Etudierfet le signe def(x)x. Quelles sont les limites possibles de (un)?

2. On suppose de plus queu060;25. Montrer queun2[0;0;25] pour toutn2N, puis que (un)

est croissante. Conclure.

3. On suppose cette fois queu02[0;25;0;75]. Montrer que (un) est decroissante et minoree.

Conclure.

4. On suppose cette fois queu0>0;75. Montrer que (un) est croissante. Conclure.

Exercice 55.Soitf:R+!R+denie parf(x) = 1+2x

. On considere la suite recurrente denie parun+1=f(un) etu0= 1.

1. Montrer que l'intervalle [1;3] est stable parf. Que peut-on en deduire pour la suite (un)?

Quel est le sens de variation defsur l'intervalle [1;3]?

2. Montrer que la suite (u2n) est croissante et que la suite (u2n+1) est decroissante.

3. En deduire que (u2n) et (u2n+1) sont convergentes et determiner leur limite respective.

4. Quelle est la nature de la suite (un)?

Exercice 56.|[suite arithmetico-geometrique]

Soit la suite (un) denie parun+1=aun+boua2Rn f0;1getb2R.

1. Quelle est la seule limite possiblelde la suite (un)?

2. Soit (vn) la suite denie parvn=unl. Demontrer que (vn) est geometrique. En deduire la

convergence de la suite (un). Exercice 57.Soientaetbdeux reels,a < b. On considere la fonctionf: [a;b]![a;b], supposee continue et monotone, et une suite recurrente (un)ndenie par : u

02[a;b] et8n2N; un+1=f(un):

1.On suppose quefest croissante. Montrer que (un)nest monotone et en deduire sa convergence

vers une solution de l'equationf(x) =x.

2.Application :

u

0= 4 et8n2N; un+1=4un+ 5u

n+ 3:

3.On suppose quefest decroissante. Montrer que les suites (u2n)net (u2n+1)nsont monotones et

convergentes.

4.Application :u0=12

et8n2N; un+1= (1un)2. Calculer les limites des suites (u2n)net (u2n+1)n.

5 Suites de Cauchy

Exercice 58.Soit (un) une suite dansRtelle que la suite (vn) de terme generalvn=n1Xquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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