[PDF] Corrigés des exercices Suites et limites

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Mathématiques pour littéraires Vadim Lebovici

Corrigés des exercices

Suites et limites

N"hésitez pas à m"envoyer un mail si vous avez des questions. 1

1 Suites

Exercice 1. Calculs de termes (?)

Calculer les quatre premiers termes des suites suivantes. u:N!R n7!3v:N!R n7!3n+ 1 w:N!R n7!(1)nz:N!R n7!(1)nn

Solution de l"exercice 1.

u

0= 3; v0= 30 + 1 = 1; w0= (1)0= 1; z0= (1)00 = 0;

u

1= 3; v1= 31 + 1 = 4; w1= (1)1=1; z1= (1)11 =1;

u

2= 3; v2= 32 + 1 = 7; w2= (1)2= (1)(1) = 1; z2= (1)22 = 2;

u

3= 3; v3= 33 + 1 = 10; w3= (1)3= (1)2(1) =1; z3= (1)33 =3:

Exercice 2. Des propriétés classiques (?)

Soitu:N!Rune suite réelle. On dit que :

-uest croissantesi pour tous entiersnm, on aunum, -uest décroissantesi pour tous entiersnm, on aunum, -uest minorées"il existem2Rtel que pour toutn2N, on aunm. -uest majorées"il existeM2Rtel que pour toutn2N, on aunM. -un"est pas minoréesi pour toutm2R, il existen2Ntel queun< m. -un"est pas majoréesi pour toutM2R, il existen2Ntel queun> M.

1. Donner un exemple de suite croissante.

2. Donner un exemple de suite majorée et un de suite non majorée.

3. Donner un exemple de suite non majorée et non croissante.

4. Mêmes questions en remplaçant croissante par décroissante et majorée par minorée.

5. Donner un exemple de suite qui n"est ni croissante, ni décroissante.1. vadim.lebovici@ens.fr

1

6. Dire si les suites suivantes sont croissantes/décroissantes, majorées ou non, minorées

ou non : u:N!R n7!(1)nv:N!R n7!(1)nn

Solution de l"exercice 2.

1.La suite identité

u:N!R n7!n est croissante. Montrons-le. Soitn2Netm2Ntels quenm. Alorsun=nm=um.

Donc,uest croissante.

2.La suite constante égale à1, que l"on notera iciv, est majorée. On peut prendreM= 1

dans la définition et vérifier que pour toutn2N,vn= 11 =M. La suite identité n"est pas majorée. Notez que siuétait majorée par unM02Rqui soit négatif (i.e.M00), alors1majorerait aussiu. Ainsi, siuest majorée par un nombre négatif, elle l"est aussi par un nombre strictement positif. C"est pourquoi, pour montrer que

un"est pas majorée, il suffit de montrer qu"elle n"est pas majorée par des réels strictement

positifsM >0. Soit donc un réelM >0. CommeRest archimédien (voir le théorème du cours) et queM >0et1>0, il existen2Ntel queM < n1 =n=un. On a donc bien montré queun"est pas majoré.

3.La suitexdéfinie par :

x:N!R n7!( nsi n est impair;

0si n est pair;

(Tracer le graphe de cette suite pour comprendre son fonctionnement) n"est ni majorée, ni croissante. Elle n"est pas croissante, i.e il existenmtels queun> um. Par exemple, u

1= 1>0 =u2alors que12. Elle n"est pas majorée, comme le montre la preuve

suivante. SoitM >0(regarder la discussion de la question 2). CommeRest archimédien, il existen02Ntel queM < n0. Sin0est impair, alors on a bienM < n0=x0net on peut posern=n0. Sin0est pair, alorsn0+ 1est impair etM < n0< n0+ 1 =vn0+1et on peut posern=n0+ 1. On a bien montré quexn"était pas majorée.

4.Multiplier les suites précédentes par1et montrer qu"une suiteuest croissante (resp.

majorée) si, et seulement si,

2uest décroissante (resp. minorée).

5.Vérifier que la suitexn"est ni croissante (déjà montré à la question 3), ni décroissante

(s"inspirer de la question 3).2. Cette formule signifie que qu"il y a équivalence entre les assertions qui l"encadrent.

2

6.La suiteun"est ni croissante, ni décroissante, mais elle est majorée (par 1) et minorée

(par -1). La suitevn"est ni croissante, ni décroissante, ni majorée, ni minorée. S"inspirer des questions précédentes pour le montrer, les preuves sont similaires.

2 Limites

Exercice 3. Quelques exemples (?)

1. Montrer que la suite suivante converge et donner sa limite.

u:N!R n7!3

2. Montrer que la suite suivante converge et donner sa limite.

3 v:N!R n7!1n+1

3. Montrer que la suite suivante diverge.

w:N!R n7!3n

Solution de l"exercice 3.

1.Adapter la preuve du cours (voir polycopié) pour la suite constante égale à1, en rem-

plaçant1par3. Ne regardez la preuve du cours que si c"est vraiment nécessaire.

2.Montrons quevn!

n!+10. Soit" >0. CommeRest archimédien," >0et1>0, il existe un entierN1tel que1< N". SoitnN. On a alors(n+ 1)"=n"+"et de plus : n"+"N"+"N" >1; carnNet" >0. Ainsi, pour toutnN, on a(n+1)" >1, i.e" >1=(n+1). De plus, on a1=(n+ 1)>0>". Conclusion :pour tout" >0, il existeN2Ntel que pour toutnN, on a" < vn< ", i.evconverge vers0.

3.Idem, adapter la preuve du cours (voir polycopié) pour la suite identité, en remplaçantn

par3n. Ne regardez la preuve du cours que si c"est vraiment nécessaire.

Exercice 4. Unicité de la limite (?)

Soitu:N!R. On souhaite montrer que siuconverge, sa limite est unique4, i.e :3. Notez que ce cas est légèrement plus simple que la preuve faite en cours.

4. C"est d"ailleurs ce qui nous autorise à parler delalimite d"une suiteulorsqu"elle existe.

3 pour tout`2Ret`02R, siun! n!+1`etun! n!+1`0, alors`=`0.

Soient`2Ret`02Rdeux réels tels queun!

n!+1`etun! n!+1`0. Supposons par l"absurde que`6=`0.

1. Supposons dans un premier temps que` < `0.

(a) Montrer qu"il existeN02Ntel que pour toutnN0, on aun>(`+`0)=2(un indice 5). (b) Montrer qu"il existeN002Ntel que pour toutnN00, on aun<(`+`0)=2. (c) Conclure à une absurdité dans le cas où` < `0.

2. Conclure à une absurdité dans le cas où` > `0.

3. Conclure.

Solution de l"exercice 4.

1.(a)On pose"= (`0`)=2. Comme`0> `, on a que(`0`)>0donc aussi"=

(`0`)=2>0. Ainsi, on peut appliquer la définition de la convergence deuvers`0pour obtenir qu"il existeN02Ntel que pour toutnN0,`0" < un. On peut alors calculer :

0"=`0`0`2

2`02 `0`2

2`0(`0`)2

2`0`0+`2

`0+`2 Ainsi, on a bien qu"il existeN02Ntel que pour toutnN0,un>(`+`0)=2.

1.(b)On pose"= (`0`)=2. A nouveau, on a bien"= (`0`)=2>0car` < `0. Ainsi, on

peut appliquer la définition de la convergence deuvers`pour obtenir qu"il existeN002N tel que pour toutnN00,un< `+". On peut alors calculer : `+"=`+`0`2 2`2 +`0`2

2`+`0`2

`0+`2 :5. Poser"= (`0`)=2et appliquer la définition de la convergence vers`0. 4 Ainsi, on a bien qu"il existeN002Ntel que pour toutnN00,un<(`+`0)=2.

1.(c)Dans le cas où` < `0on a montré aux questions précédentes qu"il existeN02N

tel que pour toutnN0, on aun>(`+`0)=2et qu"il existeN002Ntel que pour tout nN00, on aun<(`+`0)=2. Ainsi, en posantn= max(N0;N00), on a que : 0+`2 < un<`0+`2 carnN0etnN00, ce qui est absurde.

2.Le cas`0< `est symétrique du précédent cas, on a donc bien une absurdité dans ce cas

également.

3.Dans tous les cas possibles, l"hypothèse`6=`0mène à une absurdité, donc`=`0. Ainsi,

on a bien montré que la limite d"une suite convergente est unique.

Exercice 5. Inégalité sur les limites (??)

Soientu:N!Retv:N!Rdeux suites réelles convergeant respectivement vers des limites`2Ret`02R. Supposons que pour toutn2N, on aunvn. Montrer que``0.

Solution de l"exercice 5.

Supposons par l"absurde que` > `0. On peut alors poser"= (``0)=2>0. Puisqueu converge vers`, il existeN2Ntel que pour toutnN, on a`" < un, i.e.(`+`0)=2< un. Comme de plusvconverge, il existeN02Ntel que pour toutnN0, on avn< `0+"= (`+`0)=2. Ainsi en posantn= max(N;N0), on a : v n<(`+`0)=2< un; carnNetnN0. Or par hypothèse,unvn, une contradiction. Ainsi, on a bien``0. Exercice 6. Toute suite convergente est bornée. (??) Soitu:N!Rune suite convergente vers un réel`2R.

1. Montrer queuest majorée, i.e qu"il existeM2Rtel que pour toutn2N, on a

u nM. Voici un indice6pour vous aider.

2. En déduire

7queuest minorée, i.e qu"il existem2Rtel que pour toutn2N, on a

u nm.

3. Donner un exemple de suite bornée (i.e. majorée et minorée) qui ne converge pas.6. Le maximum d"un ensemble fini non-vide de nombres réels est bien défini. Ainsi, pour un certain

N2N, vous pouvez par exemple considérer le nombremaxfu0;:::;uNg. C"est le plus petit nombre réel qui

est plus grand que tous ceux de l"ensemblefu0;:::;uNg.

7. Noter que siuconverge, alorsuaussi et appliquer la question 1. Ne pas oublier quexyest

équivalent ày x.

5

Solution de l"exercice 6.

1.Commeuconverge8, il existeN2Ntel que pour toutnN,`1< un< `+ 1. On

pose alorsM= max(maxfu0;:::;uNg;`+ 1). Soitn2N. SinN, alors : u nmaxfu0;:::;uNg M; par définition du maximum, et sinN, alors u n< `+ 1M; par définition du maximum. Ainsi, dans tous les casunM.

2.Commeun!

n!+1`, on applique la propriété du cours sur la multiplication d"une suite convergente par un nombre2Ravec=1pour obtenir queun! n!+1`. Commeu converge, elle est majorée par la question 1, i.e. il existeM2Rtel que pour toutn2N, on aunM, i.eun M. On pose alorsm=Met on a que pour toutn2N,unm. On a donc bien montré qu"il existem2Rtel que pour toutn2N,unm, i.e.uest minorée.

3.La suitewde l"exercice 1 est bornée (majorée par1et minorée par1) mais ne converge

pas. Vous pouvez l"admettre ici, mais pour le montrer, il y a plusieurs solutions :

1. on peut le montrer à la main "avec des"" en utilisant la définition de la convergence :

d"abord utiliser le théorème d"encadrement des limites et la convergence de la suite constante égale à1et de celle constante égale à1pour montrer que1`1 puis utiliser la définition de la convergence avec"= 1=3mène à une absurdité,unne peut rester dans`" < un< `+".

2. on peut le montrer en utilisant l"exercice 7 : la suitewest à valeurs entières9et n"est

pas stationnaire, elle ne converge donc pas.

Exercice 7. Suites convergentes d"entiers (???)

Soitu:N!Rune suite telle que pour toutn2N, on aun2N. Montrer que : uconverge si, et seulement si10,uest stationnaire. On dit qu"une suite eststationnairesi elle est constante à partir d"un certain rang, i.e s"il existeN2Ntel que pour toutnN, on aun=uN. Voici un indice11pour vous aider.

Solution de l"exercice 7.

Tout d"abord, le cas facile : supposons queuest stationnaire et montrons queuconverge.

Commeuest stationnaire, il existeN2Ntel que pour toutnN, on aunuN.8. On applique la définition avec"= 1ici.

9. i.e. pour toutn2N,wn2N.

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