TS. Évaluation 7 - Correction EX 1 : ( 5 points ) Le plan complexe est PDF

= = = = = ?3

(?2) ? 4 × 1 × 5 = ?16 < 0 ; deux solutions complexes conjuguées Démontrer que les points A B

COMMENT DEMONTRER……………………

Propriété :Si un point appartient à un segment et est équidistant des Propriété : Si un quadrilatère a ses 4 côtés de la même longueur alors.

TS. Évaluation 7 - Correction EX 1 : ( 5 points ) Le plan complexe est

D = h(B) donc d = 3(?4+2i+10?10i = ?2?4i. 2. Démontrer que les points A B

ELEMENTS DE COURS

6 Si un point appartient à un cercle alors la distance de ce point au centre du cercle est égale au 6 4°) Pour démontrer qu'un triangle est équilatéral ...

TS Exercices sur les nombres complexes (2) Corrigés

2 4 z = +. ; 3 z = –6i. 2 Calculer le module des nombres complexes 1°) Démontrer que les points M1 M2 et M3 sont sur un même cercle de centre O.

Exercices : révisions complexes E 1

(c) Montrer que les points A B et C sont sur un même cercle de centre O dont 4. Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe z vérifie.

NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)

Le point E appartient au cercle de rayon 3 car.

Annales 2011-2016 : complexes E 1

Démontrer que les points A B

LEÇON 08 : NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE DU PLAN 1

c) Démontre que les points P Q

Cours Géométrie Pierre Dehornoy Table des matières

30 juil. 2003 tel que les points A1A2

TS. Évaluation 7 -Correction|

EX1 :( 5 points )Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé direct³

O,¡!u,¡!v´

(unité :1cm).

On considère les points A, B, S etd"affixes respectives aAE¡2Å4i,bAE¡4Å2i,sAE¡5Å5iet!AE¡2Å2i.

Soit h l"homothétie de centre S et de rapport3. On appelleC l"image du point A par h et D l"image du point B par h. 1. a .Déterminer l"écriture complexe de h.

Pour un pointMd"affixezet son imageM0parhd"affixez0, la traduction complexe de l"égalité¡¡¡!SM0AE3¡¡!SM

est :z0¡(¡5Å5i)AE3[z¡(¡5Å5i)]()z0AE¡5Å5iÅ3zÅ15¡15i()z0AE3zÅ10¡10ib.Démontrer que le pointC a pour affixe cAE4Å2iet que le point D a pour affixe dAE¡2¡4i.

CAEh(A), donccAE3(¡2Å4i)Å10¡10iAE4Å2iDAEh(B) doncdAE3(¡4Å2iÅ10¡10iAE¡ 2¡4i2.Démontrer que les points A, B,C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

On a :jaj2AE4Å16AE20,jbj2AE16Å4AE20,jcj2AE16Å4AE20 etjdj2AE4Å16AE20, Les pointsA,B,CetDappartiennent au cercle de centre O et de rayon 2p5.

3.Démontrer que la droite(S)est la médiatrice du segment[AB].

2Å(¡1)2AEp10

2Å(¡3)2AEp10SAAESBdoncSappartient à la médiatrice de[AB];

BAEjb¡!jAEj¡4Å2iÅ2¡2ijAEj¡2jAE2AAEBdoncappartient à la médiatrice de[AB].

Conclusion :

( S) est la médiatrice de[AB].

4.Soit P le milieu du segment[AC].

a.Déterminer l"affixe p du point P.p AEzAÅzC2

AE(¡2Å4iÅ4Å2i)2

AE1Å3ib.Démontrer que!¡pd¡bAE¡12

i. En déduire une mesure de l"angle³¡¡!BD;¡¡!P´ AE

¡ 12

iarg

¡12

AEarg³!¡pd¡b´

AE³¡¡!BD,¡¡!P´

AE¡¼2

[2¼]La droite (P) est perpendiculaire à la droite (BD).

5.SoitQ le milieu du segment[BD]. Que représente le pointpour le triangle PQS ?

Par l"homothétiehl"image

(CD) de la droite (AB) est parallèle à cette dernière : le quadrilatèreABDCest un trapèze; dans ce trapèze la droite des " milieux » (PQ) est parallèle à (AB) et à (CD).

Or on a vu que (AB) et (S)

sont perpendiculaires. Donc (S) est aussi perpendiculaire

à (PQ).

AinsidansletrianglePQS,(S)

et (P) sont deux hauteurs : le pointest l"orthocentre du trianglePQS.¡! v¡! uOS A P C B Q D

TS. Évaluation 7 -Correction|

EX2 :( 5 points )Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal³

O,¡!u,¡!v´

(unité :4cm). On considère la transformation f du plan qui, à tout point M d"affixe z, associe le point M

0d"affixe z0telle que z0AEp2

2 (¡1Åi)z.

1.Montrer que la transformation f est une rotation dont on déterminera le centre et l"angle.p2

2 (¡1Åi)AE¡p2 2

Åip2

AEcos3¼4

Åisin3¼4

AEei3¼4

La transformationfa donc pour écriture complexez0AEei3¼4 zcelle dela r otationd ec entreO et d "angle

3¼4

2.On définit la suite de points(Mn)de la façon suivante : M0est le point d"affixe z0AE1et, pour tout nombre entier

naturel n,MnÅ1AEf(Mn). On note znl"affixe du point Mn. a.Justifier que, pour tout nombre entier naturel n,znAEei¡3n¼4

Par récurrence :

²Initialisation :z

0AE1AEei¡3£0¼4

: la formule est vraie au rang 0. ²Hérédité :Supposons qu"il existe un naturelntel queznAEei¡3n¼4

AlorsznÅ1AEei3¼4

£ei¡3n¼4

AEei¡3(nÅ1)¼4

: la formule est vraie au rangnÅ1. ²Conclusion :la proposition est vraie pournAE0, elle est héréditaire donc par récurrence que quel que soitn2?,znAEei¡3n¼4 ¢b.Construire les points M0,M1,M2,M3et M4.¡! v¡! uOM 4M 0M 2M 3M 1H1 p2 2 c.Montrer que pour tout nombre entier naturel n, les points Mnet MnÅ8sont confondus. M na pour affixezndont un argument est3n¼4 ;MnÅ8a pour affixeznÅ8dont un argument est3(nÅ8)¼4 Or

3(nÅ8)¼4

AE(3nÅ24)¼4

AE3n¼4

Å24¼4

AE3n¼4

Å6¼. On a donc arg(zn)AEarg(znÅ8)[2¼]

CommeznetznÅ8ont le même module et un même argument,l esp ointsMnetMnÅ8sont confondus.

3.Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d"initiative même non fructueuse, sera prise en

compte dans l"évaluation.

Prouver que les triangles M

0M1M2et M7M0M1ont la même aire. Préciser la valeur exacte de cette aire.

Par la rotationf, le triangleM7M0M1a pour image le triangleM8M1M2, soit d"après la question précédente

(puisqueM8AEM0) le triangleM0M1M2. Comme la rotation est une isométrie, elle conserve les longueurs, donc

les aires : les trianglesM0M1M2etM7M0M1ont la même aire. Le pointM1a pour affixe¡p2 2

Åip2

2 On a doncM0M2AEp2 et la hauteur du triangleM0M1M2issue deM0a pour longueur 1Åp2 2

L"aire de ce triangle est donc égale à :

p2£Ã

1Åp2

2AE1Åp2

2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] TS. Évaluation 7 - Correction EX 1 : ( 5 points ) Le plan complexe est

TS. Évaluation 7 -Correction|

O,¡!u,¡!v´

3.Démontrer que la droite(S)est la médiatrice du segment[AB].

2Å(¡1)2AEp10

2Å(¡3)2AEp10SAAESBdoncSappartient à la médiatrice de[AB];

Conclusion :

4.Soit P le milieu du segment[AC].

AE(¡2Å4iÅ4Å2i)2

AE1Å3ib.Démontrer que!¡pd¡bAE¡12

¡ 12

¡12

AEarg³!¡pd¡b´

AE³¡¡!BD,¡¡!P´

AE¡¼2

5.SoitQ le milieu du segment[BD]. Que représente le pointpour le triangle PQS ?

Par l"homothétiehl"image

Or on a vu que (AB) et (S)

à (PQ).

AinsidansletrianglePQS,(S)

TS. Évaluation 7 -Correction|

O,¡!u,¡!v´

0d"affixe z0telle que z0AEp2

1.Montrer que la transformation f est une rotation dont on déterminera le centre et l"angle.p2

Åip2

AEcos3¼4

Åisin3¼4

AEei3¼4

3¼4

2.On définit la suite de points(Mn)de la façon suivante : M0est le point d"affixe z0AE1et, pour tout nombre entier

Par récurrence :

²Initialisation :z

0AE1AEei¡3£0¼4

AlorsznÅ1AEei3¼4

£ei¡3n¼4

AEei¡3(nÅ1)¼4

3(nÅ8)¼4

AE(3nÅ24)¼4

AE3n¼4

Å24¼4

AE3n¼4

Å6¼. On a donc arg(zn)AEarg(znÅ8)[2¼]

3.Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d"initiative même non fructueuse, sera prise en

Prouver que les triangles M

0M1M2et M7M0M1ont la même aire. Préciser la valeur exacte de cette aire.

Åip2

L"aire de ce triangle est donc égale à :

1Åp2

2AE1Åp2