[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) Le point E appartient au

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NOMBRES COMPLEXES - Chapitre 2/4

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/ABo2m52oEYw Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct Partie 1 : Représentation dans le plan complexe

1) Définitions

Définitions : í µ et í µ sont deux nombres réels.

- À tout nombre complexe í µ=í µ+í µí µ, on associe son image, le point í µ de coordonnées í±€

3 et tout vecteur í µí±¢í±¢âƒ— de coordonnées í±€ 3. - À tout point 𝑀

3 et à tout vecteurí µí±¢í±¢âƒ—í±€

3, on associe le nombre complexe

í µ=í µ+í µí µ appelé affixe du point í µ et affixe du vecteur í µí±¢í±¢âƒ—.

On note í µ(í µ) et í µí±¢í±¢âƒ—(í µ).

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/D_yFqcCy3iE

Le point 𝑀

3 2

3 a pour affixe le nombre complexe í µ=3+2í µ.

De même, le vecteur í µí±¢í±¢âƒ— a pour affixe í µ=3+2í µ.

2) Propriétés

Propriétés : í µ

et í µ sont deux points du plan. et í µâƒ— sont deux vecteurs du plan. a) Le vecteur í µí µ a pour affixe í µ b) Le vecteur 𝑢⃗+í µâƒ— a pour affixe í µ+í µâ€². c) Le vecteur í µí µí±¢âƒ—, í µ réel, a pour affixe í µí µ. d) Le milieu í µ du segment [í µí µ] a pour affixe í µ 2

Démonstrations :

a) On pose : 𝑀

3 et 𝑀

3.

Le vecteur í µí µ

a pour coordonnées í±€

3 donc son affixe est égal à :

b) c) et d) : Démonstrations analogues en passant par les coordonnées des vecteurs.

Autres exemples :

Méthode : Utiliser l'affixe d'un point en géométrie

Vidéo https://youtu.be/m9yM6kw1ZzU

On considère les points í µ(-2+3í µ), í µ(2+4í µ), í µ(5+3í µ), í µ(1+2í µ) et í µ(-7).

a) Démontrer que le quadrilatère í µí µí µí µ est un parallélogramme. Calculer l'affixe de son

centre. b) Les points í µ, í µ et í µ sont-ils alignés ?

Correction

a) - On va démontrer que les vecteurs í µí µ et í µí µ sont égaux.

Affixe de í µí µ

=2+4í µ- -2+3í µ =4+í µ

Affixe de í µí µ

=5+3í µ-

1+2í µ

=4+í µ

Donc í µí µ

et donc í µí µí µí µ est un parallélogramme. - Le centre du parallélogramme est le milieu í µ du segment [í µí µ]. Son affixe est : 2 -2+3í µ+5+3í µ 2

3+6í µ

2 3 2 +3í µ 3 b) On va démontrer que les vecteurs í µí µ et í µí µ sont colinéaires.

Affixe de í µí µ

=4+í µ

Affixe de í µí µ

=-7-

1+2í µ

=-8-2í µ.

Donc : í µ

=-2í µ et donc í µí µ =-2í µí µ

Les vecteurs í µí µ

et í µí µ sont colinéaires et donc les points í µ, í µ et í µ sont alignés.

3) Image d'un conjugué

Remarque :

Les images í µ et í µ' de í µ et í µÌ… sont symétriques par rapport à l'axe des réels. Partie 2 : Module et argument d'un nombre complexe

1) Module

Définition : Soit un nombre complexe í µ=í µ+í µí µ. On appelle module de í µ, le nombre réel positif, noté , égal à í µ est un point d'affixe í µ.

Alors le module de í µ est égal à la

distance í µí µ. Propriétés : Soit í µ un nombre complexe. a) =í µí µÌ… b) c)

Démonstrations (dont a) au programme) :

a) í µí µÌ…= b) P c) P 4

Démonstrations au programme :

- Module d'un produit : RRRR S S Comme et sont positifs, on a : - Module d'une puissance :

On procède par récurrence.

• Initialisation pour í µ=2 : , d'après la propriété du produit. • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier í µ>1 tel que la propriété soit vraie : - Démontrons que : La propriété est vraie au rang í µ+1 : , d'après la propriété du produit. , par hypothèse de récurrence. • Conclusion :

La propriété est vraie pour í µ=2 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de

récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel í µ, soit : 0 0 Méthode : Calculer le module d'un nombre complexe

Vidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4

Vidéo https://youtu.be/i85d2fKv34w

Calculer : a)

3-2í µ

b) -3í µ RRRRR

Correction

a)

3-2í µ

P 3 -2

13 b)

-3í µ RRRRR -3í µ -3 =3×1=3 X 2 +1 3 d) 3 2 = 1 Propriétés : Soit í µ et í µâ€² deux nombres complexes non nuls et í µ entier naturel non nul.

Produit

Puissance

0 0

Inverse

Y 1 Y= 1

Quotient

Z Z= 5

2) Argument

Définition : Soit un point í µ d'affixe í µ non nulle.

On appelle argument de í µ, noté í µí µí µ(í µ) une mesure, en radians, de l'angle í±”í µí±¢âƒ—;í µí µ

Remarques :

- Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments de la forme í µí µí µ +2í µí µ,

On notera í µí µí µ

modulo 2í µ ou í µí µí µ

2í µ

- 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle í±”í µí±¢âƒ—;í µí µ ^ n'est pas défini.

Exemple :

Soit í µ=3+3í µ.

Alors

3+3í µ

3 +3 18=3 2 4

2í µ

Propriétés : Soit í µ un nombre complexe non nul. a) í µ est un nombre réel âŸºí µí µí µ =0 b) í µ est un imaginaire pur âŸºí µí µí µ c) í µí µí µ d)í µí µí µ

Démonstrations :

a) Le point M d'affixe í µ appartient à l'axe des réels. b) Le point M d'affixe í µ appartient à l'axe des imaginaires. c) d) Ses résultats se déduisent par symétrie. 6 Méthode : Déterminer géométriquement un argument

Vidéo https://youtu.be/NX3pzPL2gwc

a) Déterminer un argument de chaque affixe des points A, B et C. b) Placer les points D et E d'affixes respectives í µ et í µ telles que : =2 et arg 3

2í µ

=3 et arg

3í µ

4

2í µ

Correction

a) arg 4

2í µ

arg 3

2í µ

arg

2í µ

b) Le point D appartient au cercle de rayon 2 car =2.

Le point E appartient au cercle de rayon 3 car

=3. Propriétés : Soit í µ et í µâ€² deux nombres complexes non nuls et í µ entier naturel non nul.

Produit

Puissance

0

Inverse

í µí µí µg 1 h=-í µí µí µ(í µ)

Quotient í µí µí µí±€

4 7 Partie 3 : Forme trigonométrique d'un nombre complexe

1) Définition

Propriété : Soit í µ=í µ+í µí µ un nombre complexe non nul. On pose : í µ=í µí µí µ(í µ)

On a alors : í µ=

cosí µ et í µ= siní µ. En effet, en considérant le triangle rectangle, on a : cosí µ= siní µ=

Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe í µ non nul l'écriture

cosí µ+í µsiní µ avec í µ=í µí µí µ(í µ). Méthode : Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique et réciproquement

Vidéo https://youtu.be/kmb3-hNiBq8

Vidéo https://youtu.be/zIbpXlgISc4

Vidéo https://youtu.be/RqRQ2m-9Uhw

1) Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique :

=3

3í±€í µí µí µí±€-

6

3+í µí µí µí µí±€-

6 33

2) Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique :

2 =-5í µí µ)í µ 3

3+í µ

Correction

1)í µ)í µ

=3 =3 -1+í µÃ—0 =-3.

3í±€cosí±€-

6

3+í µsiní±€-

6 33=

3í± 

3 2 +í µÃ—g- 1 2 hs= 3 2 3 2

2)í µ)

2 -5í µ =5 Géométriquement (cercle trigo), on peut affirmer que : arg 2 4

2í µ

Donc : í µ

2 =5í±€cosí±€- 4

3+í µsiní±€-

4 33.
í µ) - On commence par calculer le module de í µ 3 8 3 X 3 +1 3+1=2 - En calculant , on peut identifier plus facilement la partie réelle de í µ 3 et sa partie imaginaire : 3 3 3 2 1 2

On cherche donc un argument í µ de í µ

3 tel que : cosí µ= 3 2 í µí µsiní µ= 1 2 6 convient, en effet : cos 6 3 2 etsin 6 1 2

On a ainsi :

3 3 =cos 6 +í µsin 6

Et donc :

3 3 í±€cos 6 +í µsin 6

3=2í±€cos

6 +í µsin 6 3. Partie 4 : Ensemble í µ des nombres complexes de module 1

1) Cercle trigonométrique

L'ensemble des points du plan complexe

dont l'affixe appartient au cercle de centre O et de rayon 1 est noté í µ. Ce cercle s'appelle le cercle trigonométrique. Propriété : Soit í µ=í µ+í µí µ un nombre complexe appartenant à í µ.

On a alors í µ

=1.

2) Stabilité de í µ

Méthode : Prouver que í µ est stable par produit et passage à l'inverse

Vidéo https://youtu.be/XTNKoNfFopw

Soit í µ et í µ' deux nombres complexes appartenant à í µ.

Démontrer que í µí µ' et

2 appartiennent à í µ.

Correction

=1×1 car í µ et í µ' appartiennent à í µ. =1 Donc le produit í µí µ' a pour module 1 et appartient donc à í µ. 9

On dit que í µ est stable par produit.

2 2 2 2 car í µ appartient à í µ. =1

Donc l'inverse

2 a pour module 1 et appartient donc à í µ. On dit que í µ est stable par passage à l'inverse.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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