[PDF] ELEMENTS DE COURS 6 Si un point appartient à

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ELEMENTS DE COURS

La première colonne indique les propriétés les plus importantes La deuxième colonne indique que la propriété doit être sue à la fin de ce niveau

MILIEU

* 6 nt à ce segment et est

équidistant des extrémités du segment

* 6 Si un point appartient au support d' un segment et est équidistant des extrémités du segment alors ce point est

le milieu du segment * Si I est le milieu de [AB] alors

1AI=IB= AB2

CERCLE

* 6 cercle alors ce point appartient au cercle.

* 6 Si un point appartient à un cercle alors la distance de ce point au centre du cercle est égale au rayon du cercle.

6 Si un segment est un diamètre d'un cercle alors le centre du cercle est le milieu du segment et la longueur du

segment est le double du rayon du cercle.

6 Si une dro

cercle alors cette droite est la tangente au cercle en ce point 6

Si une droite est la tangente à un cercle en un point du cercle alors cette droite est la perpendiculaire en ce

point à la droite qui passe par le centre du cercle et ce point

Ou : étant donnés un cercle

C de centre O, A un point et (d) une droite.

Si (d) est la tangente en à

C en A alors

A appartient à

C

A appartient à (d)

(d) est perpendiculaire à (OA) méthode * 6 A étant un point du cercle C et de la droite (d) pour démontrer que (d) est la tangente en A au cercle C de centre O il suffit de démontrer que (d) est perpendiculaire à (OA)

PERPENDICULAIRES ET PARALLELES

6 Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.

* 6 Si deux droites sont parallèles et s

* 6 Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles.

Si deux droites parallèles ont au moins un point commun alors elles sont confondues

TRIANGLE ISOCELE

Propriétés

* 6 Si un triangle est isocèle alors il a deux côtés de même longueur. * 6 Si un triangle est isocèle alors ses deux angles à la base sont égaux * 6 Si un triangle a deux angles égaux alors il est isocèle. * 6 Si un triangle a deux côtés de même longueur alors il est isocèle.

6 Si un triangle a un axe de symétrie alors il est isocèle

Méthodes

** 6 ** 6 * 6 e symétrie

TRIANGLE EQUILATERAL

Propriétés

* 6 Si un triangle est équilatéral alors ses trois côtés ont la même longueur. * 5 Si un triangle est équilatéral alors ses trois angles sont égaux à 60°. * 6 Si un triangle a ses trois côtés de même longueur alors il est équilatéral. * 6 Si un triangle a ses trois angles égaux alors il est équilatéral * 5 Si un triangle a deux angles de 60° alors il est équilatéral

6 Si un triangle a trois axes de symétrie alors il est équilatéral

méthodes ** 6 ** 6 les égaux ** 5 * 6

TRIANGLE RECTANGLE

propriétés * 6 Si un triangle ABC est rectangle alors il a deux côtés perpendiculaires * 4 Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour centre le milieu de l'hypoténuse

5 Si un triangle est rectangle alors ses deux angles aigus sont complémentaires.

* 4 Théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de Si ABC est rectangle en A alors

2 2 2AB AC BC

* 4 Si dans le triangle ABC

2 2 2AB AC BC

en A

4 Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est

égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse * 4 Si un triangle est rectangle alors le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à l'angle par la longueur de l'hypoténuse * 3 Si un triangle est rectangle alors le sinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à l'angle par la longueur de l'hypoténuse

3 si un triangle est rectangle alors la tangente d'un angle aigu est égal au quotient de la

longueur du côté opposé à l'angle par la longueur du côté adjacent à l'angle * 6 Si un triangle a deux côtés perpendiculaires alors il est rectangle.

5 Si dans un triangle deux angles aigus sont complémentaires alors ce triangle est rectangle.

* 4 Si un triangle est inscrit dans le demi-cercle de diamètre un de ses côtés alors le triangle

est rectangle et ce côté est son hypoténuse

4 Si dans un triangle la médiane relative à un côté a pour longueur la moitié de celle de ce

côté alors le triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse * 4

Si dans un triangle le carré de la longueur d'un côté est égale à la somme des carrés des

longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle

Si dans un triangle

ABC on a

2 2 2AB AC BC

alors le triangle est rectangle en A

Méthodes

* 6 perpendiculaires

5 a deux angles

complémentaires * 4 le demi-cercle de diamètre un de ses côtés

4 médiane

relative à un côté a pour longueur la moitié de celle de ce côté ** 4 le carré de la

longueur d'un côté est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés

TRIANGLE: PARALLELES ET MILIEUX

4 deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu

4 Si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au

support du troisième côté de ce triangle 4 est égale à la moitié de la longueur du troisième côté du triangle 4

Si dans un triangle ABC on a M

[AB) N [AC) (MN) // (BC) alors

AM AN MN

AB AC BC

* 3

Théorème de Tha

B et M sont deux points de (d) distincts de A

(BC) et (MN) sont parallèles alors

AM AN MN

AB AC BC

* 3

B et M sont deux points de (d) distincts de A

AM AN AB AC alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles 4

Si dans un triangle ABC on a M

[AB) N [AC) AM AN AB AC alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles

MEDIATRICE

propriétés * 6 segment en son milieu. * 6 extrémités de ce segment. * 6 médiatrice de ce segment.

5 Si un p

point est le centre du cercle circonscrit au triangle.

5 Si un point est le centre du cercle circonscrit à un triangle alors ce point est le

riangle * 5 qui est le centre du cercle circonscrit au triangle. * 6 Si un droite est perpendiculaire à un segment en son milieu alors cette droite est la médiatrice de ce segment

5 Si dans un triangle une droite passe par un sommet et par le centre du cercle

circonscrit au triangle alors cette droite est une médiatrice du triangle

Méthodes

** 6 par le milieu du segment ** 6 démontrer qu'elle passe par deux points distincts équidistants des extrémités du segment

HAUTEUR

Propriétés

* 6 Si une droite passant par alors elle est perpendiculaire au support du côté opposé à ce sommet * 6 * 4 opposé à ce som 4 triangle alors cette droite est une hauteur du triangle

MEDIANE

propriétés * 5 Si une droite passant par un elle coupe le côté opposé à ce sommet en son milieu. * 4 * 5 Si un triangle est isocèle alors la hauteur et la médiane passant par le sommet princ confondues. * 5 est une médiane du triangle 4 de deux médianes du triangle alors cette droite est une médiane du triangle 5 Si dans un triangle deux des droites suivantes, la hauteur et la médiane passant par à ce sommet, sont confondues alors le triangle est isocèle de sommet principal ce sommet.

BISSECTRICE

* 6 Si une droite partage un an * 6

4 sont concourantes en un point qui est le centre du

cercle inscrit dans le triangle 4 S bissectrices alors cette droite est une bissectrice du triangle

4 Si un po

* 4 Si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors il est équidistant des côtés de

l'angle

DISTANCE

5

La longueur d

autres côtés ( Si A,B ,C sont trois points du plan la distance AB est inférieure à la somme des distances

AC et CB :

AB AC + CB

Si C est un point du segment AB alors AB = AC+CB

ABalors AB < AC+ CB )

* Si un point B vérifie AB + BC = AC alors le point B appartient au segment [AC] * Si B [AC] alors

AB BC AC

4 Soient une droite (d) et A un point. Si la perpendiculaire à (d) passant par A coupe (d) en

H alors la distance du point A à la droite (d) est la longueur AH

SYMETRIE AXIALE

* 6 Si deux points distincts sont symétriques par rapport à une droite alors cette droite est la

* 6 symétriques par rapport à cette droite.

6 si un point appartient à une droite alors son symétrique par rapport à cette droite est lui-

même * 6 Si deux segments sont symétriques par rapport à une droite alors leurs longueurs sont

égales

Ou la symétrie axiale conserve les longueurs

6 Si deux segments sont symétriques par rapport à une droite alors leurs milieux sont symétriques par rapport à cette droite

Ou la symétrie axiale conserve les milieux

* 6 Si deux angles sont symétriques par rapport à une droite alors leurs mesures sont égales

6 Si trois points sont alignés alors leurs symétriques par rapport à une droite sont alignés

Ou la symétrie axiale conserve l'alignement

6 Si D est parallèle à () est

parallèle à (D).

6 Si deux droites sont parallèles alors leurs symétriques par rapport à une droite sont

parallèles.

6 Si deux droites sont perpendiculaires alors leurs symétriques par rapport à une droite

sont perpendiculaires

SYMETRIE CENTRALE

* 5 Si deux points distincts sont symétriques par rapport à un point alors ce point est le * 5 symétriques par rapport à ce point. * 5 Si deux segments sont symétriques par rapport à un point alors leurs longueurs sont

égales

La symétrie centrale conserve les longueurs

Si SA A' et SB B'

5 Si trois points sont alignés alors leurs symétriques par rapport à un point sont alignés

La symétrie centrale conserve l'alignement

5 Si deux segments sont symétriques par rapport à un point alors leurs milieux sont symétriques par rapport à ce point

La symétrie centrale conserve les milieux

* 5 Si deux angles sont symétriques par rapport à un point alors leurs mesures sont égales

5 Si deux figures sont symétriques par rapport à un point alors leurs aires sont égales

5 si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles

5 Si deux droites sont parallèles alors leurs symétriques par rapport à un point sont

parallèles.

5 Si deux droites sont perpendiculaires alors leurs symétriques par rapport à un point sont

perpendiculaires.

ANGLES

* 5 Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils sont égaux.

* 5 Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors elles déterminent des angles

alternes-internes, des angles alternes-externes et des angles correspondants égaux.

* 5 Si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles alternes-internes égaux

alors elles sont parallèles.

* 5 Si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles alternes-externes égaux

alors elles sont parallèles. * 5 Si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles correspondants égaux alors elles sont parallèles. * 5 3 Si dans un cercle un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc de cercle inscrit

3 Si deux angles inscrits dans un même cercle interceptent le même arc alors leurs

mesures sont égales

PARALLELOGRAMME

propriétés

* 5 Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles

* 5 Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur

* 5 Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. * 5 est centre de symétrie. * 5 Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés sont égaux

5 Si un quadrilatère est un parallélogramme alors deux angles consécutifs sont

supplémentaires. * 5 * 5 Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le

5 Si un quadrilatère non croisé a

parallélogramme

5 Si un quadrilatère non croisé a une paire de côtés opposés de même longueur et parallèles

gramme

Méthodes

** 5 ses côtés opposés sont parallèles ** 5 ses diagonales ont le même milieu * 5 démontrer que ses côtés opposés ont la même longueur

RECTANGLE

propriétés

* 6 Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires

5 Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés sont opposés sont parallèles

* 6 Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés ont la même la même

longueur * 6 Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales se coupent en leur milieu. * 6 Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont la même longueur. 5 centre de symétrie

6 Si un quadrilatère est un rectangle alors les médiatrices de ses côtés sont axes de

symétrie * 5 * 5 Si un quadrilatère est un parallélogramme et a ses diagonales de même longueur alors * 5 * 6

Méthodes

** 6 angles droits ** 5 parallélogramme qui a un angle droit ** 5 parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur

LOSANGE

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