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Chapitre 1

Les mouvements d"un robot

Christiane Rousseau

1.1 Introduction

Commenc¸ons par observer le robot tri-dimensionnel de la Figure 1.1 : de combien de nombres avons-nous besoin pour d

´ecrire sa position? Pour un tra-

vailleur qui veut utiliser le robot pour saisir un objet ce qui est important pour lui est :P 1 243
5

6FIG. 1.1 - Exemple d"un robot 3-dimensionnel avec 6 degr´es de libert´e

- la position deP: elle est d´efinie par les 3 coordonn´ees(x,y,z)dePdans l"espace. - la direction de l"axe de la pince : on peut se donner une direction en se donnant un vecteur : a priori on semble avoir besoin de 3 nombres. Ce- pendant il existe une infinit ´e de vecteurs qui sp´ecifient une mˆeme direc- tion, `a savoir tous les multiples d"un mˆeme vecteur. Une mani`ere plus economique de se donner une direction est d"imaginer une sph`ere de rayon 1 centr ´ee`a l"origine et de se donner un pointQde la sph`ere : la direction est alors donn ´ee par le vecteur joignant l"origine`aQ: on re- marque qu"on a une bijection entre les points de la sph `ere et les direc- 1

2CHAPITRE 1. LES MOUVEMENTS D"UN ROBOT

tions. Pour se donner une direction il suffit donc de pr

´eciser un point de

lasph sph ´eriques : les points de la sph`ere de rayon 1 sont les points : (x,y,z) = (cosθcosφ,sinθcosφ,sinφ), avecθ?[0,2π)etφ?[-π2 ,π2 ]. Donc les deux nombresθetφsuffisent pour d

´ecrire la position de l"axe de la pince.

- La pince peut pivoter autour de son axe par un mouvement de rotation lequel est uniquement d

´etermin´e par l"angle de rotation.

- Au total on a eu besoin de six nombres pour sp

´ecifier la position de la

pince du robot pour le travailleur. - Dans notre exemple on r ´ealise ces six nombres qui correspondent`a six mouvements ind ´ependants par les six rotations dessin´ees sur la figure : les mouvements 1, 2, et 3 am `enentP`a sa position, les mouvements 4 et 5 placent l"axe de la pince dans la bonne direction; le mouvement 6 am `ene la pince `a sa position finale via une rotation autour de son axe. Ces six mouvements correspondent aux "six degr

´es de libert´e du robot".

R´eflexion sur le nombre de degr´es de libert´e : - La construction du robot n"est pas unique mais6 degr´es de libert´e(donc au moins 6 mouvements ind ´ependants) sont n´ecessaires pour atteindre tout point d"une r ´egion donn´ee avec la pince bien orient´ee. Donc 6 degr´es de libert ´e sont n´ecessaires pour les manettes qui permettent de manier le robot. - Vous pourriez essayer d"ajouter des bras suppl

´ementaires au robot et

l"installer sur un rail mobile. Vous augmenteriez peut-

ˆetre la taille de la

r ´egion atteignable mais vous n"augmenteriez pas le nombre de positions finales de la pince. Par contre votre robot pourrait avoir d"autres avan- tages dont nous discuterons plus loin. - Parcontreconstruisezunrobotquin"aque5degr

´esdelibert´e.Quelleque

soit la mani `ere dont vous choisissez 5 mouvements ind´ependants d´ecrits chacun par un seul nombre il y aura des positions de la pince qui seront interdites. En fait seul un petit ensemble de positions seront permises contre une majorit

´e de positions d´efendues.

- Essayez d"imaginer des mod `eles de robot qui ne bougeraient que dans un plan. Combien de degr ´es de libert´e sont n´ecessaires pour un robot ne se mouvant que dans un plan? (La r

´eponse d´epend du probl`eme, c"est-`a-

dire de l"ensemble des positions que doit pouvoir prendre la pince pour accomplir le travail.) - Essayez d"imaginer d"autres mod `eles de robots avec 6 degr´es de libert´e. Les math´ematiques sous-jacentes :Lorsqu"on s"int´eresse`a d´ecrire les mouve- ments du robot on va devoir se pencher sur les mouvements d"un solide dans l"espace. En effet chaque mouvement du robot sera une translation ou une ro- tation autour d"un axe. Les rotations seront centr

´ees en diff´erents points.

1.2. LES MOUVEMENTS D"UN SOLIDE DANS LE PLAN3

- On commencera par d ´ecrire chaque rotation comme une transformation lin ´eaire dans un syst`eme de coordonn´ees dont l"axe de rotation est un des axes de coordonn

´ees.

- On ´etudiera ensuite les changements d"un syst`eme de coordonn´ees`a un autre par une translation suivie d"une rotation. Si on conna

ˆıt les coor-

donn ´ees d"un pointQdonn´e dans un syst`eme de coordonn´ees cela per- mettra de calculer ses coordonn

´ees dans un nouveau syst`eme de coor-

donn

´ees.

- Pour notre exemple de la Figure 1.1 on apprendra `a calculer la position d"un pointQdans le syst`eme de coordonn´ees original apr`es qu"on ait appliqu ´e des rotationsRi(θi)d"anglesθi,i?{1,2,3,4,5,6}, avec les six mouvements d

´ecrits.

1.2 Les mouvements d"un solide dans le plan

D trie. Le carton est ind ´eformable et la forme doit rester constamment sur le plan.

Nous voulons d

´ecrire toutes les positions que peut prendre le triangle. Pour cela nous choisissons un des sommets du triangle, soitA(mais ce pourraitˆetre n"importe quel autre point du triangle). - Nous devons commencer par sp

´ecifier la position deA. Ceci se fait`a

l"aide des deux coordonn

´ees(a1,a2)deA.

- Nous devons ensuite pr ´eciser la position du triangle par rapport`a son pointA. SiAest fix´e, les seuls mouvements que peut faire le triangle sont des rotations autour deA. SiBest un deuxi`eme sommet la position du triangle est alors d ´etermin´ee par l"angle que fait le vecteur-→ABavec une direction fixe.

Nousavonsdoncbesoinde3nombrespourd

´etermineruniquementlaposition

d"un solide dans le plan. TH´EOR`EME1Les mouvements d"un solide dans le plan sont les compositions de translations et de rotations. Ce sont des mouvements qui pr´eservent les longueurs et les angles.

1.3 Mouvements qui pr´eservent les distances

et les angles dans le plan ou dans l"espace

Nous allons commencer par consid

´erer les transformations lin´eaires qui

pr ´eservent les distances et les angles : ce sont pr´ecis´ement les transformations

4CHAPITRE 1. LES MOUVEMENTS D"UN ROBOT

lin ´eaires dont la matrice est orthogonale. Pour cela nous faisons quelques rap- pels sur les transformations lin ´eaires. Nous allons donner les d´efinitions pour les transformations lin ´eaires dansRnmais nous serons en pratique int´eress´es aux casn=2oun=3. TH´EOR`EME2SoitT:Rn→Rnune transformation lin´eaire, i.e. unetransformation qui a les propri´et´es suivantes :

T(v+w) =T(v) +T(w),?v,w?Rn

T(αv) =αT(v),?v?Rn,?α?R.(1.1)

Soit X=( (x 1... x n) la matrice verticale form´ee des coordonn´ees dev. On noteX= [v].

1. Il existe une unique matriceA,n×n, telle que la matrice verticale[T(v)]des

coordonn´ees deT(v)est donn´ee parAX: [T(v)] =A[v] =AX.(1.2)

2. La matriceAde la transformation lin´eaire est construite ainsi : les colonnes de

Asont les images des vecteurs de la base standard deRn: e

1= (1,0,...,0)

e

2= (0,1,0,...,0)

e n= (0,...,0,1). PREUVE: On commencera par prouver la deuxi`eme partie. Calculons[T(e1)]: [T(e1)] =( ((((a

11... a1n

a

21...a2n.........

a n1... αnn) (((1 0 0) (((a 11 a 21...
a n1) et de m ˆeme pour les autres vecteurs de la base standard.

Pour la premi

`ere partie, la matriceAcherch´ee est la matrice dont les co- lonnes sont les coordonn ´ees des vecteursT(ei)dans la base standard. Elle a bien la propri

´et´e (1.2)?

D ´EFINITION11. SoitA= (aij)une matricen×n. La matrice transpos´ee deA est la matriceAt= (bij)o`u b ij=aji.

1.3. MOUVEMENTS QUI PR

´ESERVENT DISTANCES ET ANGLES5

2. Une matrice est orthogonale si

AA t=AtA=I, o`uIest la matrice identit´en×n.

3. Une transformation lin´eaire est orthogonale si sa matrice dans la base standard

est une matrice orthogonale. TH´EOR`EME31. Unematriceestorthogonalesietseulementsisescolonnesforment une base orthonormale deRn.

2. Une transformation lin´eaire pr´eserve les distances et les angles si et seulement si

sa matrice est orthogonale.

PREUVE:

1. ´Etant donn´e deux vecteursv= (x1,...,xn)etw= (y1,...,yn)le produit scalaire devetwest : ?v,w?=x1y1+...xnyn. Si X=( (x 1... x n) ), Y=( (y 1... y n) alors on peut remarquer quev=Xtetw=Yt. Remarquons alors que le produit scalaire devetwpeut s"´ecrire comme le produit matriciel ?v,w?=XtY=YtX. AppelonsX1, ...,Xnles vecteurs (verticaux) form´es des colonnes deA. On

´ecrira

A=?X1X2... Xn?.

Alorslestranspos

la matriceAtpar ses lignes : c"est la matrice A t=( (X t1... X tn) Calculons le produit matricielAtAen utilisant cette forme : A tA=( (((X t1X1Xt1X2... Xt1Xn

Xt2X1Xt2X2... Xt2Xn............

X tnX1XtnX2... XtnXn)

6CHAPITRE 1. LES MOUVEMENTS D"UN ROBOT

Alors la matriceAest orthogonale si et seulement si ce produit est´egal a la matrice identit ´e. Dire que les entr´ees sur la diagonale sont´egales`a

1 revient

`a dire que le produit scalaire de chaque colonneXideAavec elle-m ˆeme est´egal`a 1. Ce produit scalaire est´egal au carr´e de la longueur du vecteurXi. Donc chaque vecteurXiest de longueur 1. Les entr´ees de A tAqui ne sont pas sur la diagonale doiventˆetre nulles : ceci signifie que le produit scalaire du vecteurXiavec le vecteurXj,j?=idoitˆetre nul. Donc les vecteursX1,...,Xnsont orthogonaux et de longueur 1 : ils forment une base orthonormale deRn.

2. Commenc¸ons par la r

´eciproque`a savoir que siTest une transformation lin ´eaire dont la matriceAest orthogonale, alorsTpr´eserve les distances et les angles. D"apr `es la premi`ere partie les images des vecteurs de la base canonique forment une base orthonormale. Leurs images parTsont les vecteurs colonnes deA. Donc leur longueur est pr´eserv´ee et leurs angles respectifs sont pr ´eserv´es. On peut se convaincre ais´ement qu"une transformation lin ´eaire pr´eserve les distances et les angles si et seulement si elle pr ´eserve le produit scalaire. Soitvetwtels queX= [v]etY= [w].

Voyons que leur produit scalaire est pr

´eserv´e siAest orthogonale :

?T(v),T(w)?= (AX)t(AY) = (XtAt)(AY) =Xt(AtA)Y =XtIY =XtY =?v,w?. Pour la partie directe, siTpr´eserve les distances et les angles,Tpr´eserve le produit scalaire. Alors soitvetwquelconques etX= [v]etY= [w]. ?T(v),T(w)?= (AX)t(AY) = (XtAt)(AY) =Xt(AtA)Y=?v,w?=XtY.

Supposons queAtA= (bij). Prenonsv=eietw=ej. Alors

(Xt(AtA))Y= (bi1...bin)Y=bij.

D"autre partXtY=δijo`u

ij=?

1sii=j

0sii?=j

Donc?i,j,bij=δij, ce qui revient`aAtA=I, i.e. A est orthogonale.? TH´EOR`EME4Les mouvements qui pr´eservent les distances et les angles dans le plan et dans l"espace sont les compositions de translations et de transformations orthogo- nales.

1.4. PROPRI

´ET´ES DES MATRICES ORTHOGONALES7

PREUVE: Consid´erons un mouvementFdu plan ou de l"espace qui pr´eserve les distances et les angles. Consid

´eronsF(0) =Q. Soitv0=--→OQet prenons

la translationT(v) =v-v0. AlorsT(Q) =0. DoncT◦F(0) =0. SoitG= T◦F. C"est une transformation qui pr´eserve les distances et les angles et qui a un point fixe `a l"origine. Nous admettrons qu"elle est lin´eaire. Par le th´eor`eme pr ´ec´edent c"est une transformation lin´eaire orthogonale. DoncF=T-1◦G. CommeT-1est encore une translation on a bien´ecritFcomme composition d"une transformation lin

´eaire orthogonale avec une translation.?

1.4 Propri´et´es des matrices orthogonales

Nous nous donnons une transformation lin

´eaire orthogonaleT(X) =AX.

Prenons par exemple :

A=( (1/3 2/3 2/3

2/3-2/3 1/3

2/3 1/3-2/3)

Cette matrice est compliqu

´ee. Nous savons seulement qu"elle est orthogonale, donc que la transformation lin ´eaireTpr´eserve les distances et les angles. Com- ment peut-on comprendre la g ´eom´etrie deT? L"outil tr`es puissant qui nous permet de comprendre la g ´eom´etrie deTest la diagonalisation. En pratique `emed"axesdecoordonn´ees.

On se place dans un syst

`eme d"axes de coordonn´ees dans lequel la matrice est simple, c"est- `a dire dans lequel on comprend la structure de la transformation lin

´eaire.

Etude d´etaill´ee de l"exemple pr´ec´edent :Pour diagonaliser la matrice on doit commencer par calculer les valeurs propres. Les valeurs propres sont les ra- cines du polyn

ˆome caract´eristique

P(λ) =|λI-A|=det(λI-A).

Dans notre cas

|λI-A|=? ?????λ-1/3-2/3-2/3 -2/3 λ+2/3-1/3 -2/3-1/3 λ+2/3? ?????=λ3+λ2-λ-1= (λ+1)2(λ-1). La matrice a donc les deux valeurs propres 1 et-1. Calculons leurs vecteurs propres. Un vecteur propreXd"une valeur propreλsatisfait :AX=λX.Donc AX-λX= (A-λI)X=0. Le vecteurXest donc solution du syst`eme lin´eaire homog `ene de matriceA-λI. Vecteurs propres de+1:Pour trouver les solutions on´echelonne la matrice A-I=( (-2/3 2/3 2/3

2/3-5/3 1/3

2/3 1/3-5/3)

(1 0-2 0 1-1

0 0 0)

8CHAPITRE 1. LES MOUVEMENTS D"UN ROBOT

Toutes les solutions sont donc des multiples du vecteur proprev1= (2,1,1).

0. Pour trouver les solutions on´echelonne la matrice

A+I=( (4/3 2/3 2/3

2/3 1/3 1/3

2/3 1/3 1/3)

(1 1/2 1/2 0 0 0

0 0 0)

Ici l"ensemble des solutions est un plan. Il est engendr

´e par les deux vecteurs

v

2= (1,-2,0)etv3= (1,0,-2).

On veut travailler avec des bases orthonormales. On pr

´ef`ere donc rempla-

cerv3par un vecteurv?3= (x,y,z)qui soit perpendiculaire`av2. Il doit donc satisfaire2x+y+z=0, soitˆetre un vecteur propre de-1, etx-2y=0, soit etre perpendiculaire`av2. On peut prendrev?3= (-2,-1,5)qui est solution du syst `eme

2x+y+z=0

x-2y=0.

Pour passer

`a une base orthonormale on divise chacun des vecteurs par sa longueur. On obtient la base orthonormale B=? w

1=?2⎷6

,1⎷6 ,1⎷6 ,w

2=?1⎷5

,-2⎷5 ,0? ,w 3=? -2⎷30 ,-1⎷30 ,5⎷30 Dans cette base la matrice de la transformation est donn

´ee par :

[T]B=( (1 0 0 0-1 0quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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