[PDF] Chapitre 7 D´eterminants Donnons maintenant quelques propriété





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Chapitre 7 D´eterminants

Donnons maintenant quelques propriétés importantes du déterminant. Proposition 49 Soit A une matrice n×n et A la matrice obtenue en échangeant deux colonnes 



Déterminants

Premières propriétés. Nous connaissons déjà le déterminant de deux matrices : • le déterminant de la matrice nulle 0n vaut 0 (par la propriété (ii)).



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Les matrices - Propriétés du déterminant (2). Notes rédigées par Laurent ZIMMERMANN. Résumé Nous expliquons la propriété de linéarité d'un déterminant en 



Déterminants

Soit a ? K. Le déterminant de la matrice A = (a) est le scalaire a. (). Déterminants les déterminants et voir des méthodes de calcul et les propriétés.



Rang et déterminant des matrices

Sep 4 2019 Théor`eme : propriétés d'invariance. Les opérations élémentaires conservent le rang de la matrice. La suppression d'une colonne nulle ou ...



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propriétés du déterminant en rapport avec les opérations de transposition matricielle et de De même nous expliquons pourquoi une matrice dont.



Chapitre 5 Déterminant

Le déterminant d'une matrice carrée est un scalaire dont la valeur fournit Le second déterminant est nul en vertu de la propriété C5 ce qui démontre C6.



Déterminant

Donnons les premi`eres propriétés sur le déterminant d'une matrice. Soit A ? Mn(K) une matrice carré. (1) Si une colonne de A est nulle alors det(A) 



LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

3- Calcul du déterminant pour une matrice À toute matrice carrée correspond une valeur appelée le déterminant de que l'on dénote par ou encore



1 Quest-ce que le déterminant dune matrice ?

(les matrices M1j sont carrées de taille (n ? 1) d'où le caractère récursif de la définition). Listons les principales propriétés satisfaites par le 

Chapitre7

D´eterminants

quementdansM n (R).

Led´eterminantestuneapplicationdeM

n (R)dansRquiadenombreuses admettreleth´eor`emesuivant. n (R)dansR,appel´eed´eter- minant,telleque

´etantfix´es.

nul. n vaut1. detA= a 11 a 12

···a

1n a 21
a 22

···a

2n a n1 a n2

···a

nn i ?R n detA= a 1 a 2

···a

n 105

106CHAPITRE7.D´eterminants

UneapplicationdeM

n n .Lesautres

Proposition49SoitAunematricen×netA

lamatriceobtenueen´echangeant deuxcolonnesdistinctesdeA.AlorsonadetA =-detA.

D´emonstration.SoitA=

a 1

···a

i

···a

j

···a

n .Onva´echangerlescolonnes ietj,cequidonnelamatriceA a 1

···a

j

···a

i

···a

n ,o`ulevecteura j seretrouveencolonneietlevecteura i encolonnej(onprisiciiIntroduisonsalorsunetroisi`emematrice A= a 1

···a

i +a j

···a

j +a i

···a

n det A=0. det A=det a 1

···a

i

···a

j +a i

···a

n +det a 1

···a

j

···a

j +a i

···a

n =det a 1

···a

i

···a

j

···a

n +det a 1

···a

i

···a

i

···a

n +det a 1

···a

j

···a

j

···a

n +det a 1

···a

j

···a

i

···a

n =detA+0+0+detA

Proposition50SoitAunematricen×netA

lamatriceobtenueenajoutant`a detA =detA.

D´emonstration.SoitA=

a 1

···a

i

···a

n etdonnonsnousdesscalairesλ j j=1,...,n,j?=i.Onpose A a 1

···a

i n j=1 j?=i j a j

···a

n detA =detA+ n j=1 j?=i j det a 1

···a

j

···a

n alorsdetA=0.

7.2D´eterminantsetmatricesinversibles

ona detA=a 11 a 22

···a

nn A= a 11 a 12 a 13

···a

1n 0a 22
a 23

···a

2n 00a 33

···a

3n

000···a

nn detA=a 11 1a 12 a 13

···a

1n 0a 22
a 23

···a

2n 00a 33

···a

3n

000···a

nn

108CHAPITRE7.D´eterminants

1j

×lacolonne1.Ceci

detA=a 11

100···0

0a 22
a 23

···a

2n 00a 33

···a

3n

000···a

nn detA=a 11 a 22

100···0

01a 23

···a

2n 00a 33

···a

3n

000···a

nn boutden´etapes,onaobtenu detA=a 11 a 22
a 33

···a

nn

100···0

010···0

001···0

000···1

=a 11 a 22
a 33

···a

nn detI n d'o`uler´esultatpariii).? des1surladiagonale. matriceIquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
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