[PDF] Déterminant Donnons les premi`eres proprié

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DeterminantChapitre 23

1 Determinant d'une matrice carree 3

2 Proprietes du determinant 6

2.1 Operations elementaires . . . . . . . . . . . .

6

2.2 Inversibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3 Determinant d'une famille de vecteurs . . . .

9

2.4 Determinant d'un produit . . . . . . . . . . .

10

2.5 Determinant de la transposee . . . . . . . . .

11

2.6 Developpement par rapport a une ligne ou

une colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Determinant d'un endomorphisme 13

4 Autres applications des determinants 14

4.1 Systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . .

14

4.2Equation des hyperplans vectoriels . . . . . .15

Mathieu Mansuy - Professeur de Mathematiques en superieures PCSI au Lycee Saint Louis (Paris) mansuy.mathieu@hotmail.fr

PCSI5Lycee Saint Louis

Introduction

On se place dansR2muni de sa base canonique que l'on note (~i;~j). Soit~u;~vdeux vecteurs deR2, etP~u;~vle parallelogramme porte par les vecteurs~uet~v: P ~u;~v=f~u+~vj;2[0;1]g On noteA(P~u;~v) l'aire algebrique deP~u;~vc'est a dire que l'aire deP~u;~vest comptee : ?positivement si une mesure de l'angle (~u;~v) appartient a [0;]. ?negativement si une mesure de l'angle (~u;~v) appartient a ];0[.~u 1~u 2~ i~ jSoit~u1; ~u2; ~v1; ~v22R2. Soit2R. On a les proprietes suivantes : (1)A(P~u1+~u2;~v1) =A(P~u1;~v1) +A(P~u2;~v1) (2)A(P ~u1;~v1) =A(P~u1;~v1) (3)A(P~v1; ~u1) =A(P~u1;~v1)(4)A(P~u1; ~u1) = 0 (5)A(P~i;~j) = 1.Propriete 1

Preuve.

(1)~ i~ j~u 1~u 2~u

3(2)~u

1~u 2~ i~ j

Corollaire.

(6)A(P~u1;~v1) =A(P~u1;~v1)(7) A(P~u1;~v1+~v2) =A(P~u1;~v1) +A(P~u1;~v2)

Generalisons ceci en dimension nie quelconque.

2

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1 Determinant d'une matrice carree

Dans tout le chapitreKdesigneraRouC, etnsera un entier naturel superieur ou egal a 2. Dans toute cette section, on identiera la matriceA2 Mn(K) avec len-uplet de ses colonnes (C1(A);:::;Cn(A))2 Mn;1(K)n. En particulier, pourf:Mn(K)!Kune application etA2 Mn(K), on notera indieremmentf(A) ouf(C1(A);:::;Cn(A)) la valeur prise parfenA. Denition.Soitf:Mn(K)!Kune application. On dit que : ?festmultilineairesifest lineaire par rapport a chaque colonne des matrices deMn(K) : pour toutC1;:::;Cn2 Mn;1(K), pour toutj2[j1;nj],

X7!f(C1;:::;Cj1;X;Cj+1;:::;Cn)

est lineaire deMn;1(K) dansK. ?festantisymetriquesi pour toutC1;:::;Cn2 Mn;1(K), pour tout 1i < jn, f(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::;Cn) =f(C1;:::;Cj;:::;Ci;:::;Cn): ?festalterneesi pour toutC1;:::;Cn2 Mn;1(K), pour tout 1i < jn, C i=Cj)f(C1;:::;Cn) = 0:Exemple.L'applicationf:M

2;1(R)2!Ra

c ;b d

7! A(P(a;c);(b;d))est multilineaire (bilineaire), anti-

symetrique et alternee.Soitf:Mn(K)!Kune application multilineaire. On a l'equivalence suivante : fest antisymetrique,fest alternee:Propriete 2

Preuve.

)SoientC1;:::;Cn2 Mn;1(K). Supposons queCi=Cjpour 1i < jn, alors : f(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::;Cn) =f(C1;:::;Cj;:::;Ci;:::;Cn) =f(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::;Cn): Donc 2f(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::;Cn) = 0 etf(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::;Cn) = 0. (Supposons quefest alternee. ConsideronsC1;:::;Cn2 Mn;1(K) et 1i < jn. On a :

0 =f(C1;:::;Ci+Cj;:::;Ci+Cj;:::Cn)

=f(C1;:::;Ci;:::;Ci+Cj;:::Cn) +f(C1;:::;Cj;:::;Ci+Cj;:::Cn) =f(C1;:::;Ci;:::;Ci;:::Cn) +f(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::Cn) +f(C1;:::;Cj;:::;Ci;:::Cn) +f(C1;:::;Cj;:::;Cj;:::Cn) =f(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::Cn) +f(C1;:::;Cj;:::;Ci;:::Cn) Ainsi, on a bienf(C1;:::;Ci;:::;Cj;:::;Cn) =f(C1;:::;Cj;:::;Ci;:::;Cn). 3

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Il existe une unique applicationf:Mn(K)!Ksatisfaisant les proprietes suivantes : ?festmultilineaire; ?festantisymetrique(et donc alternee egalement) ; ?f(In) = 1.Propriete 3

Denition.

Cette application est appeleedeterminantet notee det. SiA2 Mn(K), alors det(A)2Kest appele le determinant de la matriceA.Notation.SiA=0 B BB@a

1;1a1;2::: a1;n

a

2;1a2;2::: a2;n.........

a n;1an;2::: an;n1 C

CCA, on note det(A) =

a

1;1a1;2::: a1;n

a

2;1a2;2::: a2;n.........

a n;1an;2::: an;n Preuve pourn= 2.On raisonne par analyse-synthese : ?Analyse. Supposons qu'une telle applicationf:M2(K)!Kexiste, et soitA=a b c d 2 M

2(K). Notonse1=1

0 ;e 2=0 1 2 M

2;1(K). On a :

f(A) =f((ae1+ce2);be1+de2) =abf(e1;e1) +adf(e1;e2) +cbf(e2;e1) +cdf(e2;e2) = (adbc)f(I2) =adbc ?Synthese. On verie sans diculte quef:M2(K)!K;a b c d

7!adbcest bien une

application multilineaire, antisymetrique et telle quef(I2) = 1.

SoitA=a b

c d 2 M

2(K). On a :

det(A) =adbc:Propriete 4 Exercice.Determiner l'expression explicite de det pourn= 3. ?Analyse. Supposons avoirfqui convient. SoitA=0 @x 1y1z1 x 2y2z2 x

3y3z31

A . Par linearite par rapport 4

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a chaque colonne, on a : f(A) =x1f0 @1y1z1 0y2z2

0y3z31

A +x2f0 @0y1z1 1y2z2

0y3z31

A +x3f0 @0y1z1 0y2z2

1y3z31

A =x1y1f0 @1 1z1 0 0z2

0 0z31

A +x1y2f0 @1 0z1 0 1z2

0 0z31

A +x1y3f0 @1 0z1 0 0z2

0 1z31

A +x2y1f0 @0 1z1 1 0z2

0 0z31

A +x2y2f0 @0 0z1 1 1z2

0 0z31

A +x2y3f0 @0 0z1 1 0z2

0 1z31

A +x3y1f0 @0 1z1 0 0z2

1 0z31

A +x3y2f0 @0 0z1 0 1z2

1 0z31

A +x3y3f0 @0 0z1 0 0z2

1 1z31

A =x1y2z3f0 @1 0 0 0 1 0

0 0 11

A +x1y3z2f0 @1 0 0 0 0 1

0 1 01

A +x2y1z3f0 @0 1 0 1 0 0

0 0 11

A +x2y3z1f0 @0 0 1 1 0 0

0 1 01

A +x3y1z2f0 @0 1 0 0 0 1

1 0 01

A +x3y2z1f0 @0 0 1 0 1 0

1 0 01

A = (x1y2z3x1y3z2x2y1z3+x2y3z1+x3y1z2x3y2z1)f(I3) =x1y2z3x1y3z2x2y1z3+x2y3z1+x3y1z2x3y2z1 donc on a unicite. ?Synthese. Posonsf:M3(K)!K,0 @x 1y1z1 x 2y2z2 x

3y3z31

A

7!x1y2z3x1y3z2x2y1z3+x2y3z1+

x

3y1z2x3y2z1. On verie ensuite quefest lineaire et antisymetrique par rapport aux colonnes,

et quef(I3) = 1 donc on a existence. Remarque.Pourn2 quelconque, on a l'expression explicite suivante du determinant d'une matrice

A= (ai;j)2 Mn(K).

det(A) =X

2Sn"()a(1);1a(2);2:::a(n);n;

ou la somme est prise sur l'ensemble des bijections (permutations) def1;:::;ngdans lui-m^eme, et ou "est ce qu'on appelle la signature de. Cette formule n'est pas a savoir (hors programme), mais il est interessant de retenir que det(A) est une fonction polynomiale en les coecients de la matriceA. Un determinant est ainsi continu, de classeCk... si les coecients le sont.

Remarque.

?Consideronsf:M

2(R)!R

A=a b c d

7! A(P(a;c);(b;d)). On a vu quefest multilineaire (par

rapport a chacune de ses colonnes), antisymetrique. De plusfverief(In) = 1. Par unicite, on a doncf= det. Ainsi en notant~u= (a;c);~v= (b;d)2R2, on en deduit que det(A) est l'aire algebrique du parallelogramme construit sur les vecteurs~u,~v: det(A) =A(P~u;~v). ?DansR3: soit~u= (a1;a2;a3);~v= (b1;b2;b3) et~w= (c1;c2;c3)2R3. On peut montrer quedet0 @0 @a 1b1c1 a 2b2c2 a

3b3c31

A1 A est le volume du parallelepipede engendre par les vecteurs~u;~vet~w. 5

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Donnons les premieres proprietes sur le determinant d'une matrice.SoitA2 Mn(K) une matrice carre. (1)

Si une colonn ede Aest nulle, alors det(A) = 0.

(2) Si deux colon nesde Asont egales, alors det(A) = 0. (3) P ourtout 2K, det(A) =ndet(A) (Attention a ne pas se tromper ici !)Propriete 5 Preuve.Les points (1) et (3) decoulent immediatement de la multilinearite, le point (2) decoule de det alternee.

2 Proprietes du determinant

2.1 Operations elementaires

Rappel. Matrices d'operations elementaires.

Pour 1i;jnet2K, on a deni les matrices d'operations elementaires suivantes : ?matrice de dilatation (6= 0) :Di() =0 B

BBBBB@1

11 C

CCCCCA2 M

n(K). ?matrice de transposition :Pi;j=0 B

BBBBB@1

1 1 11 C

CCCCCA2 M

n(K). ?matrice de transvection :Ti;j() =0 B

BBBBB@1

1 11 C

CCCCCA2 M

n(K).Soit 1i;jn,2KetA2 Mn(K). On a : (1)det(ADi()) =det(A) (6= 0) ; (2) det( APi;j) =det(A) ; (3) det( ATi;j()) = det(A).Propriete 6

Preuve.

6

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(1)ADi() est la matrice obtenue en appliquantCi CiaA. Par multilinearite de det, on a bien det(ADi()) =det(A). (2)APi;jest la matrice obtenue en appliquantCi$CjaA. Par antisymetrie de det, on a bien det(APi;j) =det(A) (3)ATi;j() est la matrice obtenue en appliquantCj Cj+CiaA. Par multilinearite de det qui est alternee, on a bien det(ATi;j()) = det(A).

Remarque.PourA=In, on obtient :

det(Di()) =; det(Pi;j) =1 ; det(Ti;j()) = 1: En particulier siEest une matrice d'operation elementaire, alors det(E)6= 0 et pour toute matrice

A2 Mn(K), det(AE) = det(A)det(E).SoitT= (ti;j)2 Mn(K) une matrice triangulaire (superieure ou inferieure) ou diagonale.

Alors :

det(T) =t1;1t2;2:::tn;n:Propriete 7(Determinant d'une matrice triangulaire)Preuve.Traitons le cas ouTest triangulaire superieure (la preuve est la m^eme siTest triangulaire

inferieure). La preuve consiste a appliquer l'algorithme de Gauss sur les colonnes deT. En utilisant la linearite sur la premiere colonne et les operations elementaires, on obtient : t

1;1t1;2::: t1;n

0t2;2::: t2;n.........

0 0::: tn;n

=t1;1

1t1;2::: t1;n

0t2;2::: t2;n.........

0 0::: tn;n

C i Cit1;iC1t1;1

1 0:::0

0t2;2::: t2;n.........

0 0::: tn;n

En poursuivant l'algorithme de Gauss sur les colonnes deT, on obtient ainsi : t

1;1t1;2::: t1;n

0t2;2::: t2;n.........

0 0::: tn;n

=t1;1t2;2:::tn;n

1 0:::0

0 1:::0

0 0:::1

=t1;1t2;2:::tn;n: IPour calculer le determinant d'une matriceA2 Mn(K), on applique l'algorithme de Gauss sur les colonnes de la matrice. On se ramene ainsi a une matrice echelonnee triangulaire inferieure (inutile de la reduire) dont le calcul du determinant est aise.

Exemple.Calculer le determinant des matricesA=0

@1 1 1 1 2 4

1 3 81

A etB=0 @1 2 3 4 0 4

3 2 11

A 1 1 1 1 2 4 1 3 8 C

2 C2C1

C

3 C3C1

1 0 0 1 1 3 1 2 7 C

3 C33C2

1 0 0 1 1 0 1 2 1 = 1: ?det(B) = 32. 7

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Exercice.Calculer

a1:::1 1

1a :::1 1

1 1::: a1

1 1:::1a

C 1 Pn i=1Ci a+n+ 1 1:::1 1 a+ 1 +n a :::1 1 a+n+ 1 1::: a1 a+n+ 1 1:::1a = (a+n+ 1)

1 1:::1 1

1a :::1 1

1 1::: a1

1 1:::1a

C i CiC1(a+n+ 1)

1 0:::0

1a1 0...

... 0......... 1 ... 0a1 0

1 00a1

= (a+n1)(a1)n1:

2.2 InversibiliteSoitA2 Mn(K). Alors :

Aest inversible,det(A)6= 0:Theoreme 8

Preuve.

)Supposons queAsoit inversible. Alors on sait queAest produit de matrices d'operations elementaires : il existeE1;:::;Ekmatrices d'operations elementaires telles queA=E1Ek.

On en deduit alors que :

det(A) = det(E1Ek) = det(E1Ek1)det(Ek) == det(E1)det(Ek)6= 0: (SoitA2 Mn(K). On sait qu'il existe une matriceRechelonnee reduite par colonnes etE= E

1 Ekun produit de matrices d'operations elementaires telles que :

A=RE: Supposons queAne soit pas inversible, alors le nombre de pivots dans la matriceRest< n. En d'autres termes,Rcontient au moins une colonne nulle, et det(R) = 0. On obtient alors : det(A) = det(RE) = det(R)det(E1) det(En) = 0:

Exemple.Les matricesA=0

@1 1 1 1 2 4

1 3 81

A etB=0 @1 2 3 4 0 4

3 2 11

A sont inversibles.

La matriceCa=0

B

BBBB@a1:::1 1

1a :::1 1

1 1::: a1

1 1:::1a1

C CCCCAest inversible si et seulement si det(Ca) = (a+n1)(a1)n16= 0 soit si et seulement sia6= 1 eta6= 1n. 8

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Remarque.On retrouve ici qu'une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ces coecients diagonaux sont non nuls.

2.3 Determinant d'une famille de vecteurs

Denition.SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn,B= (e1;:::;en) une base deE. SoitF= (v1;:::;vn) une famille de vecteurs deE. ?On appelle matrice des coordonnees de la familleFdans la baseBla matrice noteeMatB(F) = (ai;j)2 Mn(K) denie par :

81jn; vj=nX

i=1a i;jei: ?On appelle determinant de la familleFdans la baseBet on note detB(F), le determinant det(MatB(F)).L'application det B:En!K;(v1;:::;vn)7!detB(v1;:::;vn) satisfait les proprietes suiv- antes : (1) det Best multilineaire, c'est a dire detBest lineaire par rapport a chacun desnvecteurs (2) det Best antisymetrique : il change de signe lorsqu'on permute deux vecteurs ; (3) det Best alternee : il est nul si deux vecteurs sont egaux ; (4) det

B(e1;:::;en) = 1.Propriete 9

Preuve.Les trois premiers points decoulent de la denition m^eme de detBet des proprietes analogues satisfaites par le determinant d'une matrice. Pour le dernier point, il sut de noter queMatB(B) =In, et donc det B(e1;:::;en) = det(In) = 1.Avec les notations precedentes, on a l'equivalence :

Fest une base deE,detB(F)6= 0:Theoreme 10

Preuve.

Fest une base deE,MatB(F) inversible,detB(F) = det(MatB(F))6= 0: Exemples.Montrer que ((1;2;3);(2;3;1);(3;2;1)) est une base deR3.

Exercice.Soienta1;:::;an2R. Montrer que

cos(a1+a1) cos(a1+a2):::cos(a1+an)quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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