[PDF] Rang et déterminant des matrices

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Rang et d

´eterminant des matrices

Herv

´e Hocquard

Universit

´e de Bordeaux, France

4 septembre 2019

Espace des lignes-Espace des colonnes

Introduction

SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut

d

´ecomposerAen lignes :A=0

B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:

L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de

A.

Espace des lignes-Espace des colonnes

Introduction

SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut

d

´ecomposerAen lignes :A=0

B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:

L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de

A.

Espace des lignes-Espace des colonnes

Introduction

SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut

d

´ecomposerAen lignes :A=0

B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:

L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de

A.

Espace des lignes-Espace des colonnes

Th ´eor`emePour toute matrice A deMn;p(K);dimL(A) = dimC(A).D ´efinitionSoit A une matrice deMn;p(K). On appelle rang deAla dimension deC(A)(ou deL(A)). On a clairement : rangAmin(n;p)etrangA=rangtA

Espace des lignes-Espace des colonnes

Th ´eor`emePour toute matrice A deMn;p(K);dimL(A) = dimC(A).D ´efinitionSoit A une matrice deMn;p(K). On appelle rang deAla dimension deC(A)(ou deL(A)). On a clairement : rangAmin(n;p)etrangA=rangtA

Rang d"une matrice...pour faire simple

D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).Remarque

ImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh

´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de

E, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors

rg(u) =rg(A)

Rang d"une matrice...pour faire simple

D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).Remarque

ImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh

´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de

E, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors

rg(u) =rg(A)

Rang d"une matrice...pour faire simple

D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).Remarque

ImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh

´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de

E, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors

rg(u) =rg(A)

Rang d"une matrice

Th ´eor`eme (Cons´equence)SoitEun espace vectoriel de dimensionn, soitS= (x1;:::;xp) une famille depvecteurs deEet soitBune base deE, alors le rang de la familleSest´egal au rang de la matrice de ce syst `eme dans la baseB.Th ´eor`eme : Invariance du rangSoitA2Mn;p(R),P2Mp(R)inversible et soitQ2Mn(R) inversible. Alors :1rg(AP) =rg(A)etrg(QA) =rg(A).2Deux matrices semblables ont le m

ˆeme rang.3rg(A) =rg(tA).

Rang d"une matrice

Th ´eor`eme (Cons´equence)SoitEun espace vectoriel de dimensionn, soitS= (x1;:::;xp) une famille depvecteurs deEet soitBune base deE, alors le rang de la familleSest´egal au rang de la matrice de ce syst `eme dans la baseB.Th ´eor`eme : Invariance du rangSoitA2Mn;p(R),P2Mp(R)inversible et soitQ2Mn(R) inversible. Alors :1rg(AP) =rg(A)etrg(QA) =rg(A).2Deux matrices semblables ont le m

ˆeme rang.3rg(A) =rg(tA).

Op ´erations´el´ementaires sur les matricesD ´efinitionSoitA2Mn;p(R), on appelle op´erations´el´ementaires surAles op ´erations suivantes :1Permuter deux lignes deA(ou deux colonnes), notation : L i$Lj(resp.Ci$Cj).2Multiplier une ligne (ou une colonne) par un scalaire non nul, notation :Li aLi(resp.Ci aCi).3Ajouter `a une ligne (ou une colonne) un multiple d"une autre ligne (resp. une autre colonne), notation : L i Li+aLj, aveci6=j(resp.Ci Ci+aCj). Op ´erations´el´ementaires sur les matricesTh

´eor`emeEffectuer une op

´eration´el´ementaire sur une matrice

A2Mn;p(R)revient`a multiplierA`a gauche par une matrice inversible pour les op

´erations sur les lignes (`a droite pour une

op

´eration sur les colonnes).

Op

´erations´el´ementaires surA2Mn;p(R):K=R

Calcul pratique du rang d"une matrice

Remarque

Il est

`a peu pr`es´evident que les op´erations´el´ementaires ne modifient pas le rang d"une matrice. Pour calculer le rang d"une matrice, il suffit donc de l"

´echelonner par rapport`a ses lignes

(resp.ses colonnes) et le rang est alors

´egal au nombre de

lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice

´echelonn´ee.

C"est donc aussi le nombre de pivots non nuls d"une r

´eduite de

Gauss-Jordan de la matrice.Th

´eor`eme : propri´et´es d"invarianceLes op ´erations´el´ementaires conservent le rang de la matrice.La suppression d"une colonne nulle ou d"une ligne nulle pr

´eserve le rang.

Calcul pratique du rang d"une matrice

Remarque

Il est

`a peu pr`es´evident que les op´erations´el´ementaires ne modifient pas le rang d"une matrice. Pour calculer le rang d"une matrice, il suffit donc de l"

´echelonner par rapport`a ses lignes

(resp.ses colonnes) et le rang est alors

´egal au nombre de

lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice

´echelonn´ee.

C"est donc aussi le nombre de pivots non nuls d"une r

´eduite de

Gauss-Jordan de la matrice.Th

´eor`eme : propri´et´es d"invarianceLes op ´erations´el´ementaires conservent le rang de la matrice.La suppression d"une colonne nulle ou d"une ligne nulle pr

´eserve le rang.

Calcul pratique du rang d"une matrice : pivot de Gauss

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

Exercice

D

´eterminer le rang de la matriceAci-dessous :

A=0 B

BBB@0 0 1 3

1 01 2

0 0 1 2

2 44 1

1 0 3 01

C CCCA

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

rg(A) =4

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

rg(A) =4

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

rg(A) =4

Rang et inversibilit

´eProposition

SoitA2Mn;p(K). A est inversible`a gauche (resp.`a droite) ssi rangA=p(resp.rangA=n).Corollaire

Toute matrice inversible est carr

´ee, et pour une matrice carr´ee

AdeMn(K), on a :

Ainversible()rangA=n

On dit aussi r

´eguli`ere pour inversible.Corollaire

Le rang d"une matriceA2Mn;p(K)est´egal`a l"ordre de la plus grande sous matrice carr

´ee r´eguli`ere que l"on peut extraire de

A:

Rang et inversibilit

´eProposition

SoitA2Mn;p(K). A est inversible`a gauche (resp.`a droite) ssi rangA=p(resp.rangA=n).Corollaire

Toute matrice inversible est carr

´ee, et pour une matrice carr´ee

AdeMn(K), on a :

Ainversible()rangA=n

On dit aussi r

´eguli`ere pour inversible.Corollaire

Le rang d"une matriceA2Mn;p(K)est´egal`a l"ordre de la plus grande sous matrice carr

´ee r´eguli`ere que l"on peut extraire de

A:

Rang et inversibilit

´eProposition

SoitA2Mn;p(K). A est inversible`a gauche (resp.`a droite) ssi rangA=p(resp.rangA=n).Corollaire

Toute matrice inversible est carr

´ee, et pour une matrice carr´ee

AdeMn(K), on a :

Ainversible()rangA=n

On dit aussi r

´eguli`ere pour inversible.Corollaire

Le rang d"une matriceA2Mn;p(K)est´egal`a l"ordre de la plus grande sous matrice carr

´ee r´eguli`ere que l"on peut extraire de

A:

Propri

´et´es du rang d"une matricePropri

´et´esSoitfune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de Eavecdim(E) =p, soitB0une base deFavecdim(F) =n, et soitA=matB;B0(f)2Mn;p(R), on a :1rg(A)min(n;p).2rg(A) =n()fest surjective.3rg(A) =p()fest injective.

Propri

´et´es du rang d"une matricePropri

´et´esSoitfune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de Eavecdim(E) =p, soitB0une base deFavecdim(F) =n, et soitA=matB;B0(f)2Mn;p(R), on a :1rg(A)min(n;p).2rg(A) =n()fest surjective.3rg(A) =p()fest injective.

Propri

´et´es du rang d"une matricePropri

´et´es1SiA2Mn;p(R),B2Mp;q(R)alors

rg(AB) =rg(B).3SiA2Mn;p(R),B2Mp(R)etBinversible alors rg(AB) =rg(A).

Rang et syst

`emes lin´eairesIntroduction Soit (S) :8 :a

11x1+:::a1nxn=b1...

a m1x1+:::amnxn=bmOn l"

´ecritAX=BavecA=aij2Mmn(K)

X=0 B @x 1... x n1 C

A2Mn1(K)etB=0

B @b 1... b m1 C

A2Mm1(K). On note

aussiA0la matrice compl`ete du syst`eme.

Rang et syst

`emes lin´eairesIntroduction Soit (S) :8 :a

11x1+:::a1nxn=b1...

a m1x1+:::amnxn=bmOn l"

´ecritAX=BavecA=aij2Mmn(K)

X=0 B @x 1... x n1 C

A2Mn1(K)etB=0

B @b 1... b m1 C

A2Mm1(K). On note

aussiA0la matrice compl`ete du syst`eme.

Rang et syst

`emes lin´eairesProposition

Les conditions suivantes sont

´equivalentes :

(i) (S)admet au moins une solution. (ii)rangA0=rangA. (iii)B2C(A). D

´efinition et propri´et´esNotations

SoitAune matrice carr´eeaijdeMn(K) (n1). On´ecrit: A=0 B @a 1... a n1 C

Ao`uaiest la iemeligne de la matrice.

D

´efinition et propri´et´esTh

´eor`emeIl existe une unique application deMn(K)dansK;appel´ee d ´eterminant et not´eedet;poss´edant les trois propri´et´es suivantes :(1)8i=1;:::;n8a1;:::;ai1;ai+1;:::an8aetbdeKet8x etydeKn det 0 B

BBBBBBBBB@a

1... a i1 ax+by a i+1... a n1quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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