[PDF] Les nombres premiers - Lycée dAdultes





Previous PDF Next PDF



Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat

Démonstrations de primalité. Nombres de Mersenne et de Fermat. 1 Introduction. Le tableau suivant montre l'évolution du record du plus grand nombre premier 



NOMBRES de MERSENNE (1588-1648)

Donc l'ensemble des nombres premiers est infini. Démonstration du petit théorème de Fermat a) Lemme 1. Soit p un entier naturel quelconque. Montrons que 



Primalité des nombres de Mersenne

3 est résidu quadratique modulo un entier premier p si et seulement si p ? ±1 mod 12. Démonstration. Par la loi de réciprocité quadratique



TESTS DE PRIMALITÉ NOMBRES DE MERSENNE 1. Introduction

De plus on n'a pas vraiment besoin de la factorisation compl`ete de N ?1



Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions

Démonstration du théorème 4. Soit k0 le plus petit entier naturel non nul tel que ak0 ? 1 (mod p). On écrit la division euclidienne de k par k0 



Spécialité TS Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits

Si 2n - 1 est premier alors il s'agit d'un nombre premier de Mersenne. Théorème 1 Lien vers la démonstration (en anglais !) :.



Les nombres parfaits

Cette observation est due `a Pierre de Fermat (1601–1665) et figure dans une lettre `a Mersenne datée de juin 1640. Pour une démonstration voir le 



Blogdemaths

On définit la suite (Fn) des nombres de Fermat par : ?n ? NFn = 22n. +1. Théorème — . Pour tout m > 0



Les nombres premiers - Lycée dAdultes

22 juil. 2015 Démonstration : Supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers : ... 1) Calculons les 6 premiers nombres de Mersenne :.



Un critère de primalité pour les nombres de Mersenne

toujours le cas) il faudra se placer dans une extension de. Z/. MqZ dans laquelle X2 ? 3 a une racine. Démonstration : Soit q un nombre premier impair. On 



[PDF] Primalité des nombres de Mersenne - Minerve de lENS Rennes

Démonstration du sens direct Lemme 3 Pour tout entier k non nul M2k+1 est congru à 7 modulo 12 Démonstration Par récurrence :



[PDF] Primalité des nombres de Mersenne - ENS Rennes

Démonstration : =? Pour le sens direct : Étape 1 : Condition nécessaire pour que 3 soit un carré modulo p avec p premier



[PDF] Fermat Mersenne factorisation et nombres parfaits

Tout nombre parfait pair est de la forme 2p?1(2p ? 1) o`u 2p ? 1 est premier (donc aussi p) Démonstration Soit donc n parfait et pair n = 2?m avec ? ? 1 



[PDF] Tests de primalité et nombres de Mersenne

Le petit théor`eme de Fermat fournit un test qui peut permettre de montrer qu'un nombre N n'est pas premier Si en effet en calculant 2N?1 mod N on trouve un 



[PDF] Spécialité TS Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits

Si 2n - 1 est premier alors il s'agit d'un nombre premier de Mersenne Théorème 1 Lien vers la démonstration (en anglais !) :



[PDF] NOMBRES de MERSENNE (1588-1648) - Jean-PaulDIERICK

Donc l'ensemble des nombres premiers est infini Démonstration du petit théorème de Fermat a) Lemme 1 Soit p un entier naturel quelconque Montrons que 



[PDF] Mersenne - MPSI - Camille Guerin

9 jan 2021 · Soit p ? N Le pième nombre de Mersenne est Mp = 2p ? 1 Démonstration : supposons que p est composé : p = ab où 2 ? ab



[PDF] Les nombres parfaits - Cours

On appelle nombre de Mersenne un nombre de la forme Mn = 2n ? 1; si ce nombre Pour une démonstration voir le Théor`eme 1 plus bas



[PDF] Sur les nombres de Fermat et de Mersenne

la forme 2"' - r en raison de ce que cet auteur a donné (sans démonstration) leurs valeurs jusqu'à m = 257 dans ses « Cogitata physico-mathematica » valeurs 



Les nombres de Mersenne

Pour tous entiers a et n supérieurs ou égaux à 2 an?1 a n ? 1 est divisible par a?1 a ? 1 Démonstration Il suffit de considérer la factorisation an 

  • Comment calculer un nombre de Mersenne ?

    Les nombres de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, c'est-à-dire égaux à la somme de leurs diviseurs autres qu'eux-mêmes, car, si Mp est un nombre de Mersenne premier, alors 2p – 1 (2p – 1) est un nombre parfait, et tout nombre parfait pair est de cette forme.

  • Quels sont les 15 premiers nombres de Mersenne ?

    En 1947 la liste correcte des nombres de Mersenne premiers pour n < 258, est établie et vérifiée : n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 et 127. On connaît actuellement une quarantaine de nombres de Mersenne.
  • Nombre de Fermat et primalité
    Soit k un entier strictement positif ; si le nombre 2k + 1 est premier, alors k est une puissance de 2. qui montrent que c + 1 est un diviseur du nombre premier 2k + 1 et donc lui est égal, si bien que k = 2b.
Les nombres premiers - Lycée dAdultes DERNIÈRE IMPRESSION LE22 juillet 2015 à 17:06

Les nombres premiers

Table des matières

1 Définition et propriétés immédiates2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Critère d"arrêt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Infinité des nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Crible d"Ératosthène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Nombres de Mersenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Divisibilité et nombres premiers6

2.1 Théorème de Gauss et nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Conséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Décomposition, diviseurs d"un entier6

3.1 Théorème fondamental de l"arithmétique. . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Diviseurs d"un entier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Petit théorème de Fermat - Hors programme10

4.1 Théorème, remarque et exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Nombre de Poulet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

PAUL MILAN1TERMINALE S SPÉ

TABLE DES MATIÈRES

1 Définition et propriétés immédiates

1.1 Définition

Définition 1 :Un nombre premier est un entier naturel qui admet exacte- ment deux diviseurs : 1 et lui-même

Conséquence:

•1 n"est pas un nombre premier (il n"a qu"un seul diviseur) •Un nombre premierpest un naturel supérieur ou égal à 2 soit :p?2.

•Les nombres premiers inférieurs à 100 sont :2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97

1.2 Critère d"arrêt

Théorème 1 :Tout entier natureln,n?2, admet un diviseur premier. Sinn"est pas premier, alors il admet un diviseur premierptel que :

2?p?⎷

n

Démonstration :

•Sinest premier, il admet donc un diviseur premier : lui-même. •Sinn"est pas premier, l"ensemble des diviseursddentel que : 2?d2?pq?p2?nsoitp?⎷ n

Exemple :Montrer que 109 est un nombre premier.

On a 10<⎷

109<11.

On teste tous les nombres premiers strictement inférieurs à 11, soit:

2, 3, 5 et 7.

Des règles de divisibilité, on déduit que 109 n"est divisible nipar 2, ni par 3, ni par 5. En effectuant la division euclidienne de 109 par 7, on obtient :

109=7×15+4 109 n"est donc pas divisible par 7

Conclusion : comme 109 n"est pas divisible par 2, 3, 5, et 7, 109est premier.

PAUL MILAN2TERMINALE S SPÉ

1. DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS IMMÉDIATES

Algorithme :Un petit programme

pour déterminer si un nombreNest premier. N"ayant pas à notre disposi- tion la liste des nombres premiers, on teste siNest divisible par 2, puis on teste les diviseurs impairs par ordre croissant tant que ceux-ci sont inférieur N.

On obtient alors :

•527 est divisible par 17

•719 est premier

•11 111 est divisible par 41

•37 589 est premier

Variables:N,Ientiers

Entrées et initialisation

LireN

2→I

Traitement

siE?NI? =NIalors

AfficherN, "div. par :" ,I

Stop fin

I+1→I

tant queI?⎷

Nfaire

siE?NI? =NIalors

AfficherN, "div. par :" ,I

Stop fin

I+2→I

fin

Sorties: AfficherN, "est premier"

1.3 Infinité des nombres premiers

Théorème 2 :Il existe une infinité de nombres premiers ROCDémonstration :Supposons qu"il existe un nombre fini de nombres premiers : p

1,p2,...,pi, ...,pn. PosonsN=p1×p2× ··· ×pi× ··· ×pn+1

D"après le critère d"arrêt,Nadmet un diviseur premier. Soitpice diviseur premier.pidivise doncp1×p2× ··· ×pi× ··· ×pnetN. Il divise donc la différenceN-(p1×p2× ··· ×pi× ··· ×pn) =1. Ceci est impossible, donc l"hypothèse qu"il existe un nombre finide nombres pre- miers est absurde.

1.4 Crible d"Ératosthène

Pour dresser la liste des nombres premiers entre 2 et 150, la méthode du crible d"Ératosthène consiste à : •écrire la liste des nombres entiers de 2 à 150; •éliminer successivement les multiples propres1de 2, de 3... puis ceux dep, où pest le premier nombre non encore éliminé, etc Les entiers éliminés (sur fond bleu dans le tableau ci après) sont les entiers non premiers entre 2 et 150. Les entiers restant (sur fond jaune) sont donc les nombres premiers inférieur à 150.

Remarque :

1) Pour éliminer les multiples propre de 7, commencer à 7

2, car les multiples

inférieurs ont déjà été éliminés.

1. multiple propre den: multiple dendistinct den

PAUL MILAN3TERMINALE S SPÉ

TABLE DES MATIÈRES

2) Il est possible de savoir à l"avance " jusqu"où aller ». En effet grâce au critère

n

Sin?150, alors⎷

n?⎷150, or 12<⎷150<13 et donc tout entier non premier sera éliminés en tant que multiple propre de 2, 3, 5, 7 et 11.

2345678910

11121314151617181920

21222324252627282930

31323334353637383940

41424344454647484950

51525354555657585960

61626364656667686970

71727374757677787980

81828384858687888990

919293949596979899100

101102103104105106107108109110

111112113114115116117118119120

121122123124125126127128129130

131132133134135136137138139140

141142143144145146147148149150

On peut écrire l"algorithme suivant :

•Les entiersAcorrespondent aux

nombres premiers de la liste des en- tiers de 2 àN

•Les entiersMcorrespondent aux

multiples deAinférieurs àN

•Les entiersPcorrespondent aux

rangs des nombres premiersA.

•Les entiersQcorrespondent au

nombre de multiples deAinférieurs àN

•La listeL1correspond à la liste des

entiers de 2 àN

•La ListeL2correspond à la liste des

nombres premiers inférieurs àN

À chaque fois que l"on trouve un

nombre premierA, on le met dans la listeL2et l"on remplace tous les mul- tiples deAdans la listeL1par un 0 (re- vient à rayer tous ces multiples)

On trouve le nombre premier suivant

A, en prenant dans la listeL1le nombre

suivant non nul

Avec la Ti, pour visualiser la listeL2

faire :...puis "edit"

Variables:N,I,A,M,P,Qentiers

L

1,L2listes

Entrées et initialisation

LireN

Effacer listeL1

Effacer listeL2

pourI de 2 à N *faire

I→L1(I)

fin

2→A

0→P

Traitement

tant queA?Nfaire tant queL1(A) =0fairequotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
[PDF] a^n-1 premier alors a=2

[PDF] le tourisme des français en 2016

[PDF] français vacances statistiques 2016

[PDF] tourisme français ? l'étranger

[PDF] ou partent les français en vacances

[PDF] pourcentage de français qui partent en vacances ? l'étranger

[PDF] nombre marche tour eiffel 2 etage

[PDF] hauteur tour eiffel 1er etage

[PDF] 1 etage combien de marches

[PDF] combien de marches pour monter au deuxième étage de la tour eiffel

[PDF] fonction logarithme bac pro exercice

[PDF] nombre de molécules dans 1 litre d'air

[PDF] nombre d'atomes sur terre

[PDF] pv=nrt

[PDF] liste segpa meurthe et moselle