Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat
Démonstrations de primalité. Nombres de Mersenne et de Fermat. 1 Introduction. Le tableau suivant montre l'évolution du record du plus grand nombre premier
NOMBRES de MERSENNE (1588-1648)
Donc l'ensemble des nombres premiers est infini. Démonstration du petit théorème de Fermat a) Lemme 1. Soit p un entier naturel quelconque. Montrons que
Primalité des nombres de Mersenne
3 est résidu quadratique modulo un entier premier p si et seulement si p ? ±1 mod 12. Démonstration. Par la loi de réciprocité quadratique
TESTS DE PRIMALITÉ NOMBRES DE MERSENNE 1. Introduction
De plus on n'a pas vraiment besoin de la factorisation compl`ete de N ?1
Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions
Démonstration du théorème 4. Soit k0 le plus petit entier naturel non nul tel que ak0 ? 1 (mod p). On écrit la division euclidienne de k par k0
Spécialité TS Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits
Si 2n - 1 est premier alors il s'agit d'un nombre premier de Mersenne. Théorème 1 Lien vers la démonstration (en anglais !) :.
Les nombres parfaits
Cette observation est due `a Pierre de Fermat (1601–1665) et figure dans une lettre `a Mersenne datée de juin 1640. Pour une démonstration voir le
Blogdemaths
On définit la suite (Fn) des nombres de Fermat par : ?n ? NFn = 22n. +1. Théorème — . Pour tout m > 0
Les nombres premiers - Lycée dAdultes
22 juil. 2015 Démonstration : Supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers : ... 1) Calculons les 6 premiers nombres de Mersenne :.
Un critère de primalité pour les nombres de Mersenne
toujours le cas) il faudra se placer dans une extension de. Z/. MqZ dans laquelle X2 ? 3 a une racine. Démonstration : Soit q un nombre premier impair. On
[PDF] Primalité des nombres de Mersenne - Minerve de lENS Rennes
Démonstration du sens direct Lemme 3 Pour tout entier k non nul M2k+1 est congru à 7 modulo 12 Démonstration Par récurrence :
[PDF] Primalité des nombres de Mersenne - ENS Rennes
Démonstration : =? Pour le sens direct : Étape 1 : Condition nécessaire pour que 3 soit un carré modulo p avec p premier
[PDF] Fermat Mersenne factorisation et nombres parfaits
Tout nombre parfait pair est de la forme 2p?1(2p ? 1) o`u 2p ? 1 est premier (donc aussi p) Démonstration Soit donc n parfait et pair n = 2?m avec ? ? 1
[PDF] Tests de primalité et nombres de Mersenne
Le petit théor`eme de Fermat fournit un test qui peut permettre de montrer qu'un nombre N n'est pas premier Si en effet en calculant 2N?1 mod N on trouve un
[PDF] Spécialité TS Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits
Si 2n - 1 est premier alors il s'agit d'un nombre premier de Mersenne Théorème 1 Lien vers la démonstration (en anglais !) :
[PDF] NOMBRES de MERSENNE (1588-1648) - Jean-PaulDIERICK
Donc l'ensemble des nombres premiers est infini Démonstration du petit théorème de Fermat a) Lemme 1 Soit p un entier naturel quelconque Montrons que
[PDF] Mersenne - MPSI - Camille Guerin
9 jan 2021 · Soit p ? N Le pième nombre de Mersenne est Mp = 2p ? 1 Démonstration : supposons que p est composé : p = ab où 2 ? ab
[PDF] Les nombres parfaits - Cours
On appelle nombre de Mersenne un nombre de la forme Mn = 2n ? 1; si ce nombre Pour une démonstration voir le Théor`eme 1 plus bas
[PDF] Sur les nombres de Fermat et de Mersenne
la forme 2"' - r en raison de ce que cet auteur a donné (sans démonstration) leurs valeurs jusqu'à m = 257 dans ses « Cogitata physico-mathematica » valeurs
Les nombres de Mersenne
Pour tous entiers a et n supérieurs ou égaux à 2 an?1 a n ? 1 est divisible par a?1 a ? 1 Démonstration Il suffit de considérer la factorisation an
Comment calculer un nombre de Mersenne ?
Les nombres de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, c'est-à-dire égaux à la somme de leurs diviseurs autres qu'eux-mêmes, car, si Mp est un nombre de Mersenne premier, alors 2p – 1 (2p – 1) est un nombre parfait, et tout nombre parfait pair est de cette forme.Quels sont les 15 premiers nombres de Mersenne ?
En 1947 la liste correcte des nombres de Mersenne premiers pour n < 258, est établie et vérifiée : n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 et 127. On connaît actuellement une quarantaine de nombres de Mersenne.- Nombre de Fermat et primalité
Soit k un entier strictement positif ; si le nombre 2k + 1 est premier, alors k est une puissance de 2. qui montrent que c + 1 est un diviseur du nombre premier 2k + 1 et donc lui est égal, si bien que k = 2b.
Primalité des nombres de Mersenne
Référence : Cours de calcul formel. Corps finis, systèmes polynomiaux, applications.PhilippeSaux Picart, ÉricRannou
2011-2012
On appellenombres de Mersenneles
M q= 2q-1 pourq?NOn a d"abord le lemme :
Lemme 1
SiMqest un nombre premier, alorsqest premier.
Démonstration.Siqn"est pas premier,q=mn, avecm,n >2.Et alorsMq= 2mn-1 qui est divisible par 2n-1.
On a une caractérisation :
Théorème 2
Pour tout nombre premier impairq:
M qest premier???2 +⎷
3? 2q-1 ≡ -1 modMq.On remarque qu"il faut se placer dans un corps où 3 admet une racine carrée. Dans la suite, on explicitera : on
prendraFMqou une de ses extensions.Démonstration du sens direct.
Lemme 3
Pour tout entierknon nul,M2k+1est congru à 7 modulo 12.Démonstration.Par récurrence :
(k= 1) : On a bien 22×1+1= 7. 1 (k→k+ 1) : On a modulo 12 : 22(k+1)+1-1≡4×22k+1-1
≡?22k+1-1?×4 + 3 ≡7×4 + 3 ≡7Donc, pour toutqimpair,Mq≡7 mod 12.
Montrons maintenant que 3 n"est pas résidu quadratique moduloMq.Pour cela, on montre le
Lemme 4
3 est résidu quadratique modulo un entier premierpsi, et seulement sip≡ ±1 mod 12.
Démonstration.Par la loi de réciprocité quadratique, on a : p 3? ?3p? = (-1)p-1 2.Ainsi, par définition du symbole de Legendre :
3 résidu modulop??p
3? = (-1)p-1 2.On remarque que le seul carré non nul deF3est 1, et donc 3 est résidu quadratique modulopsi, et seulement
sil"une des conditions est vérifiée : (i)p≡1 mod 3 etp-12est pair.
(ii)p≡2 mod 3 etp-12est impair.
Dans le premier cas,pest congru à 1 modulo 3 et 4, et donc modulo 12.Dans le second cas,pest congru à 2 modulo 3, et 3 modulo 4, et donc par théorème chinois, à -1 modulo 12.♦
CommeMqn"est congru ni à 1, ni à -1 modulo 12, 3 n"est pas résidu quadratique moduloMq.X2-3 est donc
irréductible surFMq, et doncA=FMq[X]/(X2-3)est un corps, et on note la classe deXdansA⎷ 3.On remarque de plus que 2
q+1≡2 modMq, et donc 2 admet une racine carrée⎷2 := 2q+12.
On définit les quantités
ρ=1 +⎷
3⎷2etρ=1-⎷3⎷2.
On montre facilement queρ2= 2 +⎷
3 etρρ=-1.
De plus, on remarque que comme⎷
3 n"est pas résidu quadratique moduloMq, par petit théorème de Fermat :
3?Mq= 3M
q-12⎷3 =-⎷3. CommeAest de caractéristiqueMq, on a par morphisme de Frobénius : a+b⎷ 3?Mq=a-b⎷3.
2 De même, on aρMq=ρCommeAest de caractéristiqueMq, on a par morphisme de Frobénius : a+b⎷ 3?Mq=a-b⎷3.
De même, on a
2M q=⎷2, et doncρMq=ρ. On multiplie à gauche et à droite, et on obtient :2 +⎷
3? 2q-12 +⎷3?
Mq+1 2=-1. Démonstration du sens réciproque.On note dans la suiteZnl"anneauZ/nZ.On note encoreAune extension deZMqcontenant une racine de 3 : plus précisemment, siZMqcontient une
racine de 3, on prendA=ZMq, et sinon on prendA=ZMq[X]/(X2-3). On supposeMqnon premier, et on appellepun de ses diviseurs premiers.pest donc un diviseur de 0 dansA, et a fortiori n"est pas inversible. Il est donc contenu dansun idéal maximal
MdeA. Alors A/Mest un corps, de caractéristiquep(pnon nul dansM).On appelleα(resp.β) la classe de 2 +⎷
3 (resp. 2-⎷3) dansA/M.
Notre hypothèse s"écrit doncα2q-1≡ -1 modMq, et on en déduit queαest d"ordre 2qdansA/M.
On pose maintenantQ= (X-α)(X-β) =X2-4X+1. C"est un polynôme à coefficient dans le corps premier
deA/M,Fp.
Donc, commeαest racine deQ,αpaussi, et doncαp=αouαp=β.Dans le premier cas, comme l"ordre deαest 2q, 2qdivisep-1. OrpdiviseMq= 2q-1, doncp <2q. D"où une
contradiction.Dans le second cas,αp=β=α-1=αMq. On a alorsp≡2q-1 mod 2q, et ceci imposep=Mq. Encore une
contradiction. Remarque- On peut citer un corollaire direct de ce théorème :Théorème 5 : Test de Lehmer-Lucas
On définit la suite(Ln)?ZNMqpar
L0= 4etLn+1=L2n-2 modMq.
Alors on a :
M qpremier??Lq-2≡0 modMq.Cet algorithme permet de calculer directement dansZMqplutôt que dans une extension. Au final, il est de
complexitéO(q3) (on peut accélerer un peu avec la transformée de Fourier discrète). 3quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] le tourisme des français en 2016
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