Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat
Démonstrations de primalité. Nombres de Mersenne et de Fermat. 1 Introduction. Le tableau suivant montre l'évolution du record du plus grand nombre premier
NOMBRES de MERSENNE (1588-1648)
Donc l'ensemble des nombres premiers est infini. Démonstration du petit théorème de Fermat a) Lemme 1. Soit p un entier naturel quelconque. Montrons que
Primalité des nombres de Mersenne
3 est résidu quadratique modulo un entier premier p si et seulement si p ? ±1 mod 12. Démonstration. Par la loi de réciprocité quadratique
TESTS DE PRIMALITÉ NOMBRES DE MERSENNE 1. Introduction
De plus on n'a pas vraiment besoin de la factorisation compl`ete de N ?1
Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions
Démonstration du théorème 4. Soit k0 le plus petit entier naturel non nul tel que ak0 ? 1 (mod p). On écrit la division euclidienne de k par k0
Spécialité TS Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits
Si 2n - 1 est premier alors il s'agit d'un nombre premier de Mersenne. Théorème 1 Lien vers la démonstration (en anglais !) :.
Les nombres parfaits
Cette observation est due `a Pierre de Fermat (1601–1665) et figure dans une lettre `a Mersenne datée de juin 1640. Pour une démonstration voir le
Blogdemaths
On définit la suite (Fn) des nombres de Fermat par : ?n ? NFn = 22n. +1. Théorème — . Pour tout m > 0
Les nombres premiers - Lycée dAdultes
22 juil. 2015 Démonstration : Supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers : ... 1) Calculons les 6 premiers nombres de Mersenne :.
Un critère de primalité pour les nombres de Mersenne
toujours le cas) il faudra se placer dans une extension de. Z/. MqZ dans laquelle X2 ? 3 a une racine. Démonstration : Soit q un nombre premier impair. On
[PDF] Primalité des nombres de Mersenne - Minerve de lENS Rennes
Démonstration du sens direct Lemme 3 Pour tout entier k non nul M2k+1 est congru à 7 modulo 12 Démonstration Par récurrence :
[PDF] Primalité des nombres de Mersenne - ENS Rennes
Démonstration : =? Pour le sens direct : Étape 1 : Condition nécessaire pour que 3 soit un carré modulo p avec p premier
[PDF] Fermat Mersenne factorisation et nombres parfaits
Tout nombre parfait pair est de la forme 2p?1(2p ? 1) o`u 2p ? 1 est premier (donc aussi p) Démonstration Soit donc n parfait et pair n = 2?m avec ? ? 1
[PDF] Tests de primalité et nombres de Mersenne
Le petit théor`eme de Fermat fournit un test qui peut permettre de montrer qu'un nombre N n'est pas premier Si en effet en calculant 2N?1 mod N on trouve un
[PDF] Spécialité TS Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits
Si 2n - 1 est premier alors il s'agit d'un nombre premier de Mersenne Théorème 1 Lien vers la démonstration (en anglais !) :
[PDF] NOMBRES de MERSENNE (1588-1648) - Jean-PaulDIERICK
Donc l'ensemble des nombres premiers est infini Démonstration du petit théorème de Fermat a) Lemme 1 Soit p un entier naturel quelconque Montrons que
[PDF] Mersenne - MPSI - Camille Guerin
9 jan 2021 · Soit p ? N Le pième nombre de Mersenne est Mp = 2p ? 1 Démonstration : supposons que p est composé : p = ab où 2 ? ab
[PDF] Les nombres parfaits - Cours
On appelle nombre de Mersenne un nombre de la forme Mn = 2n ? 1; si ce nombre Pour une démonstration voir le Théor`eme 1 plus bas
[PDF] Sur les nombres de Fermat et de Mersenne
la forme 2"' - r en raison de ce que cet auteur a donné (sans démonstration) leurs valeurs jusqu'à m = 257 dans ses « Cogitata physico-mathematica » valeurs
Les nombres de Mersenne
Pour tous entiers a et n supérieurs ou égaux à 2 an?1 a n ? 1 est divisible par a?1 a ? 1 Démonstration Il suffit de considérer la factorisation an
Comment calculer un nombre de Mersenne ?
Les nombres de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, c'est-à-dire égaux à la somme de leurs diviseurs autres qu'eux-mêmes, car, si Mp est un nombre de Mersenne premier, alors 2p – 1 (2p – 1) est un nombre parfait, et tout nombre parfait pair est de cette forme.Quels sont les 15 premiers nombres de Mersenne ?
En 1947 la liste correcte des nombres de Mersenne premiers pour n < 258, est établie et vérifiée : n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 et 127. On connaît actuellement une quarantaine de nombres de Mersenne.- Nombre de Fermat et primalité
Soit k un entier strictement positif ; si le nombre 2k + 1 est premier, alors k est une puissance de 2. qui montrent que c + 1 est un diviseur du nombre premier 2k + 1 et donc lui est égal, si bien que k = 2b.
Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci
blogdemaths.wordpress.com 1Nombres de F ermat
On définit la suite (F
n) des nombres de Fermat par :8n2N;Fn= 22n+1Théorème - .Pour toutm >0,
F m= F0F1:::Fm1+2Démonstration.Le théorème est évidemment vrai sim= 1.Soitm >0.
F m+12 = 22m+11 = (22m)21 = (22m1)(22m+1) = (Fm2)FmDonc, par récurrence, si on suppose que F
m= F0F1:::Fm1+2 alors F m+1= (Fm2)Fm+2 (F0F1:::Fm1)Fm+2 = F0F1:::Fm1Fm+2
ce qui prouve le théorème.2Nombres de MersenneOn définit la suite (M
n) de nombres de Mersenne par :8n2N;Mn= 2n1Théorème - .Pour toutm > n,
PGCD(M
m;Mn) = MPGCD(m;n)Autrement dit, PGCD(2 m1;2n1) = 2PGCD(m;n)1. Démonstration.Sim > n, alors on peut faire la division euclidienne demparn: m=nq+ravecr < n blogdemaths.wordpress.com1Ainsi,
2 m1 = 2m2nq+2nq1 = 2 nq+r2qn+2qn1 = 2 qn2r2nq+2nq1 = 2 qn(2r1)+(2n)q1 = 2 qn(2r1)+(2n1)(1+2n+22n+:::+2(q1)n) Donc, M m= 2nqMr+Mn(1+2n+22n+:::+2(q1)n)Montrons alors que les diviseurs communs à M
met Mnsont identiques aux diviseurs communs à M net Mr. Sidest un diviseur commun à Mmet Mnalorsddivise MmMn(1+2n+22n+ :::+2(q1)n) = 2nqMr. Mais commeddivise le nombre Mnqui est impair,dne peut diviser 2 et donc nécessairement,ddivise Mr. Réciproquement, siddivise Mnet Mralorsddivise 2nqMr+Mn(1+2n+22n+ :::+2(q1)n) = Mm. Nous avons donc montré que les diviseurs communs de Mmet M nsont les mêmes que les diviseurs communs de Mnet Mr. D"où :PGCD(M
m;Mn) = PGCD(Mn;Mr) Si on considère la suite (rn) des restes successifs dans l"algorithme d"Euclide appliqué àmetn, et si on noterNle dernier reste non nul (qui se trouve être le PGCD demet n) alors :8>>>>>><>>>>>>:PGCD(M m;Mn) = PGCD(Mn;Mr0)PGCD(M
n;Mr0) = PGCD(Mr0;Mr1)PGCD(M
rN1;MrN) = PGCD(MrN;M0) Or, M0= 0 donc PGCD(Mm;Mn) = PGCD(MrN;M0) = MrN= MPGCD(m;n). CQFD.3Nombres de F ibonacci
On définit la suite (fn) des nombres de Fibonacci par :8>>>><>>>>:f
0= 0 f 1= 1 f n+2=fn+1+fnpour toutn2NThéorème - .Pour toutm > n,PGCD(fm;fn) =fPGCD(m;n)Démonstration.Le principe est similaire à celui mis en oeuvre pour les nombres de
Mersenne.
2Etape 1 :
On commence par montrer l"égalité suivante :8u;v >0;fu+v=fufv+1+fu1fv(1)
On fixevet on fait une récurrence suru.
Siu= 1,fufv+1+fu1fv= 1fv+1+0fv=f1+v
On suppose l propriété vraie au rangu.
f u+1+v=fu+(v+1) =fufv+2+fu1fv+1 =fu(fv+1+fv)+fu1fv+1 = (fu+fu1)fv+1+fufv =fu+1fv+1+fufv CQFD.Etape 2 :
On montre par récurrence que pour tout entierv >0 et tout entier naturelq,fvdivise f qv(la récurrence est faite surq) : Siq= 0, le résultat est évident carfvdivisef0= 0. On suppose quefvdivisefqv. D"après l"égalité (1), on a : f (q+1)v=fqv+v =fqvfv+1+fqv1fv et commefvdivisefqvetfv, il divisefqvfv+1+fqv1fvdoncf(q+1)v.Etape 3 :
On montre que deux nombres de Fibonacci consécutifs sont premiers entre eux, c"est-à-dire que pour tout entier natureln, PGCD(fn;fn+1) = 1. C"est vrai sin= 0 car PGCD(f0;f1) = PGCD(0;1) = 1.On suppose que PGCD(fn;fn+1) = 1.
Sidest un diviseur commun àfn+1etfn+2alorsddivisefn+2fn+1=fn. Ainsi, dest un diviseur commun àfn+1etfndoncd= 1 (car par hypothèse de récur- rence, le plus grand diviseur commun àfn+1etfnest 1).Etape 4 :
A présent, passons à la démonstration du théorème à proprement parler. Soitm > n. On commence par effectuer la division euclidienne demparn: m=nq+ravecr < n En appliquant l"égalité (1) démontrée précédemment àu=nqetv=r, on obtient : f m=fnq+r =fnqfr+1+fnq1frComme pour les nombres de Mersenne, on montre que les diviseurs commun àfmetfnsont identiques aux diviseurs commun àfnetfr:
3 Siddivisefmetfnalors il divisefmetfnq(voir étape 2) donc il divisefm f nqfr+1=fnq1fr. Mais commefnqetfnq1sont consécutifs, ils sont premiers entre eux (étape 3), donc, puisqueddivisefnq, il est lui aussi premierfnq1. Mais puisqueddivise le produitfnq1fr, c"est qu"il divisefr. Réciproquement, siddivisefnetfr, alorsddivisefnq(étape 2) et donc il divise f nqfr+1+fnq1fr=fm. On en déduit que PGCD(fm;fn) = PGCD(fn;fr) et le même raisonnement utilisant l"algorithme d"Euclide que celui effectué pour les nombres de Mersenne montre que : PGCD(fm;fn) = PGCD(frN;f0) = PGCD(fPGCD(m;n);0) =fPGCD(m;n)4quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] le tourisme des français en 2016
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