Démonstrations de primalité Nombres de Mersenne et de Fermat
Démonstrations de primalité. Nombres de Mersenne et de Fermat. 1 Introduction. Le tableau suivant montre l'évolution du record du plus grand nombre premier
NOMBRES de MERSENNE (1588-1648)
Donc l'ensemble des nombres premiers est infini. Démonstration du petit théorème de Fermat a) Lemme 1. Soit p un entier naturel quelconque. Montrons que
Primalité des nombres de Mersenne
3 est résidu quadratique modulo un entier premier p si et seulement si p ? ±1 mod 12. Démonstration. Par la loi de réciprocité quadratique
TESTS DE PRIMALITÉ NOMBRES DE MERSENNE 1. Introduction
De plus on n'a pas vraiment besoin de la factorisation compl`ete de N ?1
Nombres de Mersenne et de Fermat Notes et solutions
Démonstration du théorème 4. Soit k0 le plus petit entier naturel non nul tel que ak0 ? 1 (mod p). On écrit la division euclidienne de k par k0
Spécialité TS Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits
Si 2n - 1 est premier alors il s'agit d'un nombre premier de Mersenne. Théorème 1 Lien vers la démonstration (en anglais !) :.
Les nombres parfaits
Cette observation est due `a Pierre de Fermat (1601–1665) et figure dans une lettre `a Mersenne datée de juin 1640. Pour une démonstration voir le
Blogdemaths
On définit la suite (Fn) des nombres de Fermat par : ?n ? NFn = 22n. +1. Théorème — . Pour tout m > 0
Les nombres premiers - Lycée dAdultes
22 juil. 2015 Démonstration : Supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers : ... 1) Calculons les 6 premiers nombres de Mersenne :.
Un critère de primalité pour les nombres de Mersenne
toujours le cas) il faudra se placer dans une extension de. Z/. MqZ dans laquelle X2 ? 3 a une racine. Démonstration : Soit q un nombre premier impair. On
[PDF] Primalité des nombres de Mersenne - Minerve de lENS Rennes
Démonstration du sens direct Lemme 3 Pour tout entier k non nul M2k+1 est congru à 7 modulo 12 Démonstration Par récurrence :
[PDF] Primalité des nombres de Mersenne - ENS Rennes
Démonstration : =? Pour le sens direct : Étape 1 : Condition nécessaire pour que 3 soit un carré modulo p avec p premier
[PDF] Fermat Mersenne factorisation et nombres parfaits
Tout nombre parfait pair est de la forme 2p?1(2p ? 1) o`u 2p ? 1 est premier (donc aussi p) Démonstration Soit donc n parfait et pair n = 2?m avec ? ? 1
[PDF] Tests de primalité et nombres de Mersenne
Le petit théor`eme de Fermat fournit un test qui peut permettre de montrer qu'un nombre N n'est pas premier Si en effet en calculant 2N?1 mod N on trouve un
[PDF] Spécialité TS Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits
Si 2n - 1 est premier alors il s'agit d'un nombre premier de Mersenne Théorème 1 Lien vers la démonstration (en anglais !) :
[PDF] NOMBRES de MERSENNE (1588-1648) - Jean-PaulDIERICK
Donc l'ensemble des nombres premiers est infini Démonstration du petit théorème de Fermat a) Lemme 1 Soit p un entier naturel quelconque Montrons que
[PDF] Mersenne - MPSI - Camille Guerin
9 jan 2021 · Soit p ? N Le pième nombre de Mersenne est Mp = 2p ? 1 Démonstration : supposons que p est composé : p = ab où 2 ? ab
[PDF] Les nombres parfaits - Cours
On appelle nombre de Mersenne un nombre de la forme Mn = 2n ? 1; si ce nombre Pour une démonstration voir le Théor`eme 1 plus bas
[PDF] Sur les nombres de Fermat et de Mersenne
la forme 2"' - r en raison de ce que cet auteur a donné (sans démonstration) leurs valeurs jusqu'à m = 257 dans ses « Cogitata physico-mathematica » valeurs
Les nombres de Mersenne
Pour tous entiers a et n supérieurs ou égaux à 2 an?1 a n ? 1 est divisible par a?1 a ? 1 Démonstration Il suffit de considérer la factorisation an
Comment calculer un nombre de Mersenne ?
Les nombres de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, c'est-à-dire égaux à la somme de leurs diviseurs autres qu'eux-mêmes, car, si Mp est un nombre de Mersenne premier, alors 2p – 1 (2p – 1) est un nombre parfait, et tout nombre parfait pair est de cette forme.Quels sont les 15 premiers nombres de Mersenne ?
En 1947 la liste correcte des nombres de Mersenne premiers pour n < 258, est établie et vérifiée : n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 et 127. On connaît actuellement une quarantaine de nombres de Mersenne.- Nombre de Fermat et primalité
Soit k un entier strictement positif ; si le nombre 2k + 1 est premier, alors k est une puissance de 2. qui montrent que c + 1 est un diviseur du nombre premier 2k + 1 et donc lui est égal, si bien que k = 2b.
Définition 1 :
Un entier positif n est appelé un nombre parfait si il est égal à la somme de ses diviseurs positifs en excluant n.Définition 2 :
Soit n un entier.
2n - 1 est appelé un nombre de Mersenne.
Si 2 n - 1 est premier alors il s"agit d"un nombre premier de Mersenne.Théorème 1
k est un nombre parfait pair si et seulement si il est de la forme 2n-1(2n-1) et 2n-1 est premier.Preuve
sens Si 2 k-1 est un nombre premier (c"est alors un nombre premier de Mersenne), alors 2 k-1(2k- 1) est un nombre parfait. Preuve historique établie par Euclide il y a 2300 ans ‼ (Objet du DM n° 4) sens Euler a prouvé le sens réciproque (au 18ème siècle)
Lien vers la démonstration (en anglais !) :
Théorème 2
Si 2n-1 est premier, alors n est aussi premier.
Preuve
: cf exercice 2 IE3. Spécialité T S Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits 2010-2011 2Table des nombres premiers de Mersenne connus
Avec : M
p = 2 p - 1 (nombre de mersenne) et P p = 2 p-1(2 p - 1) (nombre parfait associé) p (exposant)Nombre de chiffres de
M pNombre de chiffres de
PpAnnée
découverteNom du "découvreur"
1 2 1 1 ---- ---- 2 3 1 2 ---- ---- 3 5 2 3 ---- ---- 4 7 3 4 ---- ---- 5 13 4 8 1456 anonyme 6 17 6 10 1588 Cataldi 7 19 6 12 1588 Cataldi 8 31 10 19 1772 Euler 9 61 19 37 1883 Pervushin 10 89 27 54 1911 Powers 11 107 33 65 1914 Powers 12 127 39 77 1876 Lucas 13 521 157 314 1952 Robinson 14 607 183 366 1952 Robinson 15 1279 386 770 1952 Robinson 16 2203 664 1327 1952 Robinson 17 2281 687 1373 1952 Robinson 18 3217 969 1937 1957 Riesel 19 4253 1281 2561 1961 Hurwitz 20 4423 1332 2663 1961 Hurwitz 21 9689 2917 5834 1963 Gillies 22 9941 2993 5985 1963 Gillies 23 11213 3376 6751 1963 Gillies
Spécialité T S Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits 2010-2011 3 p (exposant)Nombre de chiffres de
M pNombre de chiffres de
PpAnnée
découverteNom du "découvreur"
24 19937 6002 12003 1971 Tuckerman 25 21701 6533 13066 1978 Noll & Nickel 26 23209 6987 13973 1979 Noll 27 44497 13395 26790 1979 Nelson & Slowinski 28 86243 25962 51924 1982 Slowinski 29 110503 33265 66530 1988 Colquitt & Welsh 30 132049 39751 79502 1983 Slowinski 31 216091 65050 130100 1985 Slowinski 32 756839 227832 455663 1992 Slowinski & Gage et al. 33 859433 258716 517430 1994 Slowinski & Gage 34 1257787 378632 757263 1996 Slowinski & Gage 35 1398269 420921 841842 1996 Armengaud, Woltman, (GIMPS) 36 2976221 895932 1791864 1997 Spence, Woltman, (GIMPS) 37 3021377 909526 1819050 1998 Clarkson, Woltman, Kurowski (GIMPS) 38 6972593 2098960 4197919 1999 Hajratwala, Woltman, Kurowski (GIMPS) 39 13466917 4053946 8107892 2001 Cameron, Woltman, Kurowski (GIMPS) ?? 20996011 6320430 12640858 2003 Shafer, Woltman, Kurowski (GIMPS) ?? 24036583
7235733 14471465 2004 Findley, Woltman, Kurowski (GIMPS)
?? 25964951 7816230 15632458 2005 Nowak, Woltman, Kurowski (GIMPS) ?? 304024579152052 18304103 2005 Cooper, Boone, Woltman, Kurowski (GIMPS)
?? 325826579808358 19616714 2006 Cooper, Boone, Woltman, Kurowski (GIMPS)
?? 37156667 11185272 22370543 2008 Elvenich, Woltman, Kurowski (GIMPS) ?? 42643801 12837064 25674127 2009 Strindmo, Woltman, Kurowski (GIMPS) ?? 43112609 12978189 25956377 2008 Smith, Woltman, Kurowski (GIMPS)
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