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Formulaire d'´electrostatique

1 Champ ´electrostatique

Ecr´e´e par une chargeq`a positionP:

E(M) =1

1

4π?0qr2?r

Ecr´e´e parNcharges ponctuelles :

E(M) =1

4π?0N

i=1q i???---→PiM???2---→P iM???---→PiM??? 1

4π?0N

i=1q ir2i? ui

Ecr´e´e par une distribution continue :

E(M) =?

d-→EP(M), d-→EP(M) =dq

4π?0r2?u

o`udqest d´etermin´e par une distribution de charge : lineique:dq=(P)dlP≡dl surfacique:dq=σ(P)d2SP≡σdS volumique:dq=ρ(P)dVP≡ρd3V(1) (N.B.?0est la permittivit´e du vide )

1/(4π?0)≡K'9:109SI:

2 Propri´et´es fondamentales

1.Theoreme de Gauss :

Forme integrale

S-→E·-→dS=Qint?0Forme dierentielle

div-→E=ρ?0 (N.B.les deux formes du th´eor`eme de Gauss sont reli´ees par le th´eor`eme d"Ostrogradsky)

2.L'autre equation fondamentale del'electrostatique,-→rot-→E=-→0entraˆıne

qu"on peut toujours d´efinir un potentiel

´electrostatiqueVtel que :

E=---→gradV3 Formulations alternatives

On peut ins´erer

-→E=---→gradVdans l"´equation div-→E=

0afin de ramener l"´electrostatique `a

une seule ´equation diff´erentielle de deuxi`eme degr´e (L'equation de Poisson) : div gradV≡ΔV=-ρ?0 o`u l"op´erateur Δ≡div--→grad est appel´e le Lapla- cien. Quand on r´esout cette ´equation dans une r´egion sans charges on dit qu"on a affaire `al'equation de Laplace:

ΔV= 0

4 Potentiel ´electrostatiqueV

La diff´erence deVentre deux points (VA-VB)

est d´etermin´e par lacirculation de-→EentreAet B: U

AB≡V(A)-V(B) =?

B

A-→E·-→dl

Vcr´e´e par une chargeq`a positionP:

V(M) =14π?0q???---→PM???+V0≡14π?0qr+V0

Vcr´e´e parNcharges ponctuelles :

V(M) =1

4π?0N

i=1 qi???---→PiM???≡14π?0N i=1q iri+V0

Vcr´e´e par une distribution continue :

V(M) =1

4π?0?

dq???---→PM???+V0≡14π?0? dqr+V0 o`u lesdqsont sp´ecifi´e dans l"´eq.(1). S"il n"y a pas de charges `a l"infini, la convention est de prendre

V(1) = 0, ce qui entraˆıneV0= 0.

5 Dipˆole ´electrostatique

Un mod`ele d"un dipˆole

-→pest deux chargesq s´epar´ees par une distance-→d. Le moment dipolaire de ce syst`eme est-→p=q-→d. Pour des syst`emes plus compliqu´es, le moment dipolaire ´electrostatique est donn´e par : charges ponctuelles distribution surfacique-→p=P 1 distribution volumique-→p=???ρ--→OPdV

Pour des distances grandes devant la taille du

syst`eme :

V(M)→1

4π?0-→

p·?rr2(2)

6 Di´electriques

Un di´electrique est g´en´eralement caract´eris´e par unvecteur de polarisation,-→P, d´efini partout dans le di´electrique. Le vecteur polarisation peut ˆetre interpr´et´e comme une densit´e volumique de moment dipolaire telle que-→dp=-→PdV. Le poten- tiel cr´e´e par le di´electrique est donc :

V(M) =1

4π?0???

objet-→

P·?ur2dV(3)

Un regard alternative (compl´ementaire) est

d"interpr´eter-→Pcomme produisant une densit´e surfacique de polarisationσpolet une densit´e vo- lumique de polarisationρpol pol=-→P·?nρpol=-div-→P

Cette interpretation am`ene `a une expression

´equivalente deV:

V(M) =1

4π?024

Sσ polrdS+??? Vρ polrdV35

7 D´eplacement ´electrique

En pr´esence de di´electriques, il est pratique de d´efinir ledeplacement dielectrique-→D:

D≡?0-→E+-→P(4)

L'equation dierentielle de

-→Dest : div -→D=ρ-ρpol≡ρlibre(5) o`uρlibrecorrespond aux charges r´eellement mani- pul´ees dans une exp´erience. On peut parfois r´esoudre-→Den faisant appel `a la forme int´egrale de l"´eq.(5) :

S-→

D-→dS=Qlibre;int(6)Tr`es souvent, il y a une relation lin´eaire entre o`uχeest lasusceptibilitedu di´electrique.

Mettant (7) dans (4), on obtient une relation

lin´eaire entre-→Det-→E(relation constitutive) : D=?0(1 +χe)-→E≡?0εr-→E≡?d-→E o`uεrest la constante di´electrique (relative) du di´electrique et?dest la permittivit´e du di´electrique.

8 Conducteurs parfaits

`a l'´equilibre ´electrostatique

Le champ `al'interieur d'un conducteur par-

faitest :

Eint=-→0,-→Dint=-→0, V=Cte

Le champ `aproximite d'un conducteurest

donn´e par (Th. de Coulomb) :

Eext=σlibre

εr?0?n,-→Dext=σlibre?n

o`u ?nest le vecteur normale `a la surface (de l"int´erieur vers l"ext´erieur) etσlibreest la charge surfacique du conducteur (dans le videεr= 1).

CapaciteCd'un conducteur isole:

C=Q

Vo`uQ=??

surface σd 2S

Coefficients d"influence d"un syst`eme deN

conducteurs Q i=N? j=1C ijVjavecCij=Cji

Capacite d'un condensateur

C=Q

Uo`uU=V1-V2, Q=Q1=-Q2

o`uQ1, Q2sont les charges sur les surfaces en in- fluence totale (ou quasi totale). 2

9 Energie potentielle

´electrostatique

D'une charge ponctuelle:We=qV

D'un dip^ole:We=--→p·-→Eext

De distributions de charge :

W e=??

Surface(s)

σV d

2S+???

objet(s)

ρV dV

Energie a partir du champ electrique

W e=?0 2??? tout l'espace r???-→E???2dV

D'un conducteur isole :

W e=1

2QV=12CV2=12Q

2C

D'un systeme deNconducteurs:

W e=N? i=11 2QiVi

10 Force ´electrostatique

Sur une particule chargee(Coulomb)

F=q-→E

Sur un conducteur en equilibre :

F=??

S--→d

2F=?? S

P-→dS

o`uP=σ2/εr?0est la pression ´electrostatique.

Force via l'energie (travaux virtuels) :

F=-?--→gradWe?

Q =?--→gradWe? V

Force et moment sur un dip^ole :

F=--→grad?-→p·-→Eext?

et-→=-→p?-→Eext

Force sur l'armatureid'un condensateur :

F→i=-?--→gradiWe?

Q =U2

2--→grad

iC o`uid´esigne qu"il s"agit d"un gradient par rapport aux coordonn´ees du conducteuri.11 Courrant et r´esistanceDensite de courant -→j: -→j=? ffn ffqff-→va=? ffρ ff-→va

CourrantI:

I=dQ dt=?? section-→ j·-→dS

Loi d'Ohm local :

-→j= -→E conductivit´e,= 1/ r´esistivit´e)

Resistance d'un conducteur

R=VA-VB

I=? B

A-→E·-→dl??

-→E·-→dS

D'un lde sectionSet longueurL:

R=L S

D'un conducteur de section variable :

R=?dl S(8)

12 Electrocin´etique

Force electromotrice(fem) entreAetB

e=? B

A-→

Fm q·-→dl=? B

A-→Em·-→dl

Bilan de puissance d'une portion de circuit

U=V -VA B

{U=VA-VB=RI-e {P=UI, puissance disponible entreAetB {PJ=RI2,puissance dissip´ee par effet Joule {P=eIpuissance fournie g´en´er´ee ( sie >0) ou consomm´ee ( sie <0)

Lois de conservation

{ Lois des noeuds (conservation de charge) ?I entrants=?I sortants { Loi des mailles (conservation d"´energie) ?(RkIk-ek) = 0 3

Formulaire de magn´etostatiqueet Induction1 Champ magn´etostatique-→Bcr´e´e par une particule en mouvement `a vitesse

constante :

B(M) =μ0

Bcr´e´e par une distribution continue de courant :

B(M) =μ0

4π???

Bcr´e´e par un circuit filiforme (Loi de Biot Sa- vart) :

B(M) =μ0

4πI?

circuit-→ dlP?---→PM???---→PM???3 (N.B.μ0est la perm´eabilit´e du vide

0≡4π10-7SI (Henry m-1))

Flux magn´etique `a travers une surface

S-→

B·-→dS

2 Propri´et´es fondamentales

1.Flux conservatif :

Forme int´egrale

S-→

B·-→dS= 0Forme diff´erentielle

div-→B= 0

2.Th´eor`eme d"Amp`ere : la circulation de-→Bsur un contour ferm´e est ´egal `aμ0

fois le courant traversant une surface qui s"appuie sur ce contour:

Forme int´egrale

C-→B·-→dl=μ0??

S-→j·-→dS

=μ0IenlForme diff´erentielle rot-→B=μ0-→j3 Action magn´etiqueSur une particule charg´ee (Force de Lorentz) :

F=q?-→E+-→v?-→B?

Sur un circuit filiforme (Force de Laplace) :

FL=? circuit

I-→dl?-→B

Th´eor`eme de Maxwell :Quand le champ

magn´etique eststatique, le travail fait par la force de Laplace,-→FL·-→dr, lors d"un d´eplacemnt,-→dr, du circuit, est ´egal au courant dans le circuit fois le changement du flux magn´etique traversant le cir- cuit,dΦc: dW=IdΦc?W=IΔΦc

Cons´equences du Th. de Maxwell :

Energie potentielle d"interaction magn´etique,Um: U m=-IΦc+Cst

Force (`a partir de l"´energie potentielle)

Couple (`a partir de l"´energie potentielle)

ΓL=3?

i=1Γ i-→eiavecΓi=I∂Φc ∂αi

4 Dipˆole magn´etique

D´efinition du moment dipolaire magn´etique, m: m≡1 2???

OP?-→jdV

D"un circuit filiforme dans un plan de surfaceS:

m=IS?n

Energie d"interaction magn´etique :

U m=--→m·-→Bext

Couple magn´etique sur un dipˆole :

-→Γ=-→m?-→Bext

Force magn´etique sur un dipˆole :

1

5 InductionL"induction s"applique `a des circuits en mouve-ment et/ou des champs magn´etiques qui varientdans le temps.Loi de Faraday :la force ´electromotriceedans

un circuit est donn´e par le changement du flux magn´etique `a travers le circuit : e≡? circuit? -→E+-→v?-→B?

·-→dl

S∂

-→B ∂t·--→d2S-dΦcdt=-dΦdt

Ceci m`ene `a une loi fondamentale

Forme diff´erentielle

rot-→E=-∂-→B ∂tForme int´egrale

C-→

E·-→dl=-??

S∂

-→B∂t·-→dS

Coefficient d"induction mutuelle

M=Φ12

I1=Φ21I2

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