[PDF] [PDF] Cours FPV - Semaine 2 : Différentiabilité de Fonctions de Plusieurs

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de Plusieurs Variables

1 Introduction

utiliserons surtout deIRndansIRm). Nous utiliserons dans ce qui suit et dans les exercices les trois normes suivantes, qui

Soitx2Rn;

jjxjj1=nX i=1jxij jjxjj2=v uut n X i=1x 2i jjxjj1= sup i2f1;¢¢¢;ngjxij vers un autre (F;jj:jjF):

Remarque 1

Dans le cas d'espaces vectoriels de dimensions ¯nis (commeIRn), toutes 1

Remarque 2

notamment µa cause des bijections qu'il y a entreIRnet les notions d'espaces vectoriels et d'espaces a±nes. Ainsi, si l'on prend deux pointsPetQdont les composantes sont dans IR d

1(P;Q) =jj~PQjj1=jjP¡Qjj1=nX

i=1jpi¡qij d

2(P;Q) =jj~PQjj2=jjP¡Qjj2=v

uut n X i=1(pi¡qi)2 d

1(P;Q) =jj~PQjj1=jjP¡Qjj2= sup

i2f1;¢¢¢;ngjpi¡qij d'une telle fonction, soit: @f @x i(p1;¢¢¢;pn) = lim h!0 h

Ltel que:

f(P+h)¡f(P) =L:h+jjhjjA²(h) avec limjjhjjA!0²(h) = 0 f(a+h1;b+h2;c+h3)¡f(a;b;c) =A£h1+B£h2+C£h3+jj(h1;h2;h3)jjA²(h1;h2;h3) 2 avec limjjh1;h2;h3jjA!0²(h1;h2;h3) = 0

Exemple 1

f(x;y) =x4+ 3x2y

Pla»cons nous au point(1;¡1):

f(1 +h1;¡1 +h2)¡f(1;¡1) = (1 +h1)4+ 3(1 +h1)2(¡1 +h2) + 2 = 1 + 4h1+ 6h21+ 4h31+h41+ (3 + 6h1+ 3h21)(¡1 +h2) + 2 = 1¡3 + 2 + (4¡6)h1+ 3h2+ [6h21+ 4h31+h41¡3h21 +6h1h2+ 3h21h2] =¡2h1+ 3h2+jj(h1;h2)jj²(h1;h2) df(1;¡1) : (h1;h2)! ¡2h1+ 3h2

On remarque que

@f(x;y) @x = 4x3+ 6xyet@f(x;y) @y = 3x2et donc que,@f(1;¡1) @x

4¡6 =¡2et que@f(1;¡1)

@y surU: @f @x i(P) =li

Exemple 2

f(x;y) =(x2sin1 p x

2+y2si(x;y)6= (0;0);

0sinon.

classeC1surIR2n f0;0)g:

fest continue en(0;0);en e®etjf(x;y)j ·x2·x2+y2doncjf(x;y)j · jj(x;y)jj22etlim(x;y)!(0;0)f(x;y) = 0.

3 @f @x (0;0) = limh!0f(h1;0)¡f(0;0) h

1= limh

1!0h1sin1

jh1j= 0 @f @y (0;0) = limh

2!0f(0;h2)¡f(0;0)

h 2= 0 @f @x (x;y) = 2xsin1 p x

2+y2¡x3

p x

2+y2)3cos1

p x 2+y2 @f @y (x;y) =¡x2y p x

2+y2)3cos1

p x 2+y2 j²(h1;h2)j=jf(h1;h2)¡f(0;0)j jj(h1;h2)jj2=¯

¯¯¯h21sin1

p h

21+h22¯

jj(h1;h2)jj2·h21 jj(h1;h2)jj2· jj(h1;h2)jj2 fest elle de classeC1surIR2?

Six >0alors@f

@x (x;0) = 2xsinµ1 x

¡cosµ1

x n'admet pas de limite quandxtend de classeC1surIR2: df:h!@f @x 1h

1+¢¢¢+@f

@x nh n

On note aussi plus simplement:

df=@f @x 1dx 1+@f @x 2dx

2¢¢¢+@f

@x ndx n

Exemple 3

f(x;y) =( x3y x

2+y2si(x;y)6= (0;0);

0sinon.

4

En regardantf(x;0)on s'aper»coit que

@f @x (0;0) = 0 carf(x;0) = 0;8x:

De m^eme, on a que

@f @y (0;0) = 0 j²(h1;h2)j=jf(h1;h2)¡f(0;0)j jj(h1;h2)jj2=jf(h1;h2)j jj(h1;h2)jj2

En prenant comme majorant:jhj3·(p

h

21+h22)3etjh2j ·p

h

21+h22;d'oµu:

²(h1;h2)· jj(h1;h2)jj2

et la limite de cette expression est nulle lorsque(h1;h2)!(0;0):

Remarque 3

Exemple 4

f(x;y) =( x3+y3 x

2+y2si(x;y)6= (0;0);

0sinon.

@f @x (0;0) =@f @y (0;0) = 1 comme norme, la norme1;nous obtenons que:

²(h1;h2) =f(h1;h2)¡h1¡h2

jh1j+jh2j=¡h1h2(h1+h2) (jh1j+jh2j)(h21+h22)

Si l'on fait tendrejjhjjvers0quandh1=h2on obtient

²(h1;h1) =¡2h31

2jh1j2h21=¡h31

2jh1j3

or la limite quandh1tend vers0+est¡1 2 5

2.3 Gradient

rf=µ@f @x 1@f @x

2¢¢¢@f

@x ainsi que dans de trµes nombreux domaines... x!f(x) =8 >>:f

1(x1;x2;¢¢¢;xn)

f

2(x1;x2;¢¢¢;xn)...

f m(x1;x2;¢¢¢;xn) f(P+h) =f(P) +u(h) +jjhjj²(h)aveclimjjhjj!0²(h) = 0 d af: fest dite de classeC1surAsi les fonctions composantesfisont de classeC1surA; @x j;i2 f1;¢¢¢;mg;j2 f1;¢¢¢;ngexistent et sont, de plus, continues.

Remarque 4

qu'un cas particulier avecu(x) =L:x=Pn x: 6

3.2 Matrice Jacobienne

ncolonnes, donnent la matrice suivante:

Jf(P) =0

B BB@@f 1 @x 1@f 1 @x

2:::@f1

@x n@f2 @x 1@f 2 @x

2:::@f2

@x n............ @f m @x 1@f m @x

2:::@fm

@x n1 C CCA sont. SoitAun ouvert deIRnetfune fonction deAµa valeur dansIRm: @x jexistent pour tout matrice Jacobienne defau pointP: deA:

Remarque 5

3.4 Exemples sur les changements de repµeres

Exemple 5

½x=rcosµ

y=rsinµ avecr=p x Uest un ensemble ouvert. L'applicationf: (r;µ)!(x;y)a pour matrice Jacobienne:

Jf(P) =Ã

@f1 @x 1@f 1 @x 2@f2 @x 1@f 2 @x 2! =µcosµ¡rsinµ

Exemple 6

:x=rcosµ y=rsinµ z=z 7 SoitP0la projection orthogonale par rapport µa~kdePsur le plan(O;~i;~j):Ainsi, µ <2¼;z2IRg; Uest un ensemble ouvert. L'applicationf: (r;µ;z)!(x;y;z)a pour matrice Jacobienne:

Jf(P) =0

B @@f 1 @x 1@f 1 @x 2@f 1 @x 3@f2 @x 1@f 2 @x 2@f 2 @x 3@f3 @x 1@f 3 @x 2@f 3 @x 31
C A=0 @cosµ¡rsinµ0 sinµ rcosµ0

0 0 11

A

Exemple 7

8< :x=rcosÁcosµ y=rcosÁcosµ z=rsinÁ avecr=p x

2+y2+z2=d(O;P)et soitP0= (rcosÁ;rsinÁ)la projection dePsur le

µ <2¼;0< Á <2¼g; Uest un ensemble ouvert. L'applicationf: (r;µ;Á)!(x;y;z)a pour matrice Jacobienne:

Jf(P) =0

B @@f 1 @x 1@f 1 @x 2@f 1 @x 3@f2 @x 1@f 2 @x 2@f 2 @x 3@f3 @x 1@f 3quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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