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TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice 1 Montrer d'après la definition que la fonction : f(x y) = x2 + y2
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Dans ce chapitre nous allons étudier la différentiabilité des fonctions de plusieurs variables dans le cas général; cad dans le cas de fonctions `a valeurs
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1 nov 2004 · 1 2 Différentiabilité d'une fonction de deux variables Définition 1 2 Soit f une fonction de deux variables définie au voisinage de (0
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Fonction f : U ? Rn ?? Rp (U est ouvert de Rn) Définition 2 1 f est différentiable en a (on note f ? Diff(a)) si ?L forme linéaire ?h
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En dimension 1 on sait que si f et g sont deux fonctions dérivables de R dans R comme pour la dérivée d'une composition de fonction d'une variable
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tement local d'une fonction étude des extrema ) d'intégration et enfin le lien entre les deux 1 1 Fonctions de plusieurs variables
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Le but de ce cours est de généraliser la notion de dérivée d'une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul
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Si f est différentiable en x alors f est continue en x Remarque L'existence des dérivées partielles de f n'implique pas la différentiabilité Mais :
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a = (x0 y0) désigne un point de U a) Définitions • On dit que f est dérivable par rapport à la première variable en a si la fonction partielle f(
VARIABLES, DIFFÉRENTIELLE.
CALCUL SUR LES DÉRIVÉES PARTIELLES
Remarques générales
Une difficulté importante est le choix de l"espace d"arrivée des fonctions de deux variables que l"on considère,en particulier si l"on veut parler de différentielles d"ordre supérieur.
Plan1. Dérivées partielles et différentielle
f désigne une fonction définie sur un ouvert U de R 2, à valeurs dans un R-espace vectoriel de dimension finie F(on rappelle que dans ces conditions, toute application linéaire est continue et toutes les normes sontéquivalentes). a = (x
0 , y 0 ) désigne un point de U. a) Définitions • On dit que f est dérivable par rapport à la première variable en a si la fonction partielle f(. , y 0 ) : R ® F est dérivable en x 0 définit de même la • On dit que f est différentiable en a s"il existe une application linéaire L : R 2® F telle que, au voisinage de
l"origine, f(a + h) = f(a) + L(h) + o(||h||). Dans ce cas, L est unique, se note f"(a) et s"appelle différentielle de f en a. On remarque que si f est différentiable en a, alors elle est continue en ce point. partielles secondes de f en un point a (on note 2 f 2 2 f (a), etc) et la différentielle seconde de f en a, notée f"(a). Et ainsi de suite ... b) Liens entre les deux notionsSi f est différentiable en a, alors elle admet des dérivées partielles en a et f"(a) (x, y) = x
Réciproque fausse : La fonction f(x, y) = xy
x 2 +y 2 pour (x, y) ¹ (0, 0) et f(0, 0) = 0 possède des dérivéespartielles à l"origine mais n"est même pas continue en ce point, donc n"y est pas différentiable.
Si f admet des dérivées partielles en tout point d"un voisinage de a et si les fonctions a, alors f est différentiable en a.Réciproque fausse : La fonction f(x, y) = |xy| est différentiable à l"origine mais aucune des dérivéespartielles n"est définie dans un voisinage de l"origine.
Les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (i) f est différentiable sur U et f" est continue sur U. Définition : Dans ce cas, on dit que f est continûment différentiable ou de classe C 1 sur U.2. Calcul sur les dérivées partielles
a) Dérivées partielles et fonctions composées1er cas. f : U Ì R
2® R et g : I Ì R ® F, avec f(U) Ì I. Si f admet une première dérivée partielle en a et
si g est dérivable en f(a), alors g2e cas. f = (f
1 , f 2 ) : I Ì R ® R 2 et g : U Ì R 2® F avec f(I) Ì U. Si f
1 et f 2 sont dérivables en a et si g admet des dérivées partielles dans U continues en f(a), alors g o f est dérivable en a et (f(a)).f 1 (f(a)).f 2 '(a).3e cas. f = (f
1 , f 2 ) : U Ì R 2® R
2 et g : V Ì R 2® F avec f(U) Ì V. Si f
1 et f 2 admettent une premièredérivée partielle en a et si g admet des dérivées partielles dans V continues en f(a), alors g
o f admet une 1 2 (a). b) Théorème de SchwarzSoit f : U Ì R
2 2 f 2 f continues en a. Alors 2 f 2 f (a). c) Exemples de calculs Exemple 1 : Déterminer les fonctions f de classe C 1 de R 2 variables u = x + y, v = x - y).Exemple 2 : On pose f(x, y) = xyx
2 -y 2 x 2 +y 2 2 f 2 f (0,0).Exemple 3 : Soit f : R
2® R, de classe C
2 2 f 2 2 f 2 en coordonnées polaires.Bibliographie
LIRET et ZISMAN, Maths tome 3, DunodLEHNING, Analyse en dimension finie, MassonFLORY, Topologie, analyse tome 3, Vuibert
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