[PDF] TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice
TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice 1 Montrer d'après la definition que la fonction : f(x y) = x2 + y2
[PDF] Cours FPV - Semaine 2 : Différentiabilité de Fonctions de Plusieurs
Dans ce chapitre nous allons étudier la différentiabilité des fonctions de plusieurs variables dans le cas général; cad dans le cas de fonctions `a valeurs
[PDF] Fonctions de plusieurs variables
1 nov 2004 · 1 2 Différentiabilité d'une fonction de deux variables Définition 1 2 Soit f une fonction de deux variables définie au voisinage de (0
[PDF] Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Fonction f : U ? Rn ?? Rp (U est ouvert de Rn) Définition 2 1 f est différentiable en a (on note f ? Diff(a)) si ?L forme linéaire ?h
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En dimension 1 on sait que si f et g sont deux fonctions dérivables de R dans R comme pour la dérivée d'une composition de fonction d'une variable
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tement local d'une fonction étude des extrema ) d'intégration et enfin le lien entre les deux 1 1 Fonctions de plusieurs variables
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Le but de ce cours est de généraliser la notion de dérivée d'une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul
[PDF] Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite) 1 La
Si f est différentiable en x alors f est continue en x Remarque L'existence des dérivées partielles de f n'implique pas la différentiabilité Mais :
[PDF] fonctions continûment différentiables de deux variables - Free
a = (x0 y0) désigne un point de U a) Définitions • On dit que f est dérivable par rapport à la première variable en a si la fonction partielle f(
L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
Dérivées des fonctions de plusieurs variables (suite)1 La différentielle d"une fonction à valeurs réelles
Cas des fonctions d"une variable
(i)fest dérivable enX0silimh!0f(X0+h)f(X0)h existe.Sa valeur`est notéef0(X0).
(ii) On p eut,de manière équiv alente,écrire limh!0f(X0+h)f(X0)`hh = 0. On remarque queh!L(h) =`hest une application linéaire deRdansR, que l"on appelledifférentielledefenX0et que l"on notedf(X0). (iii) Si fest dérivable enX0, alors pourhpetit :f(X0+h)est "voisin" def(X0)+f0(X0)h. Donch!f(X0) +f0(X0)hest une application affine qui "approche très bien " f(X0+h).Définition
1.1. fest différentiable enxs"il existe une application linéaireL:Rn!R
telle que : f(x+h) =f(x) +L(h) +khk(h); aveclimh!0(h) = 0. L"applicationLestla différentielle defenxet se notedf(x) ouf0(x).Remarque
Cette définition signifie que l"application affinef(x)+df(x)hest tangente à l"application h7!f(x+h)en 0. Lorsque qu"on remplacef(x+h)parf(x) +df(x)het quehest petit, alors on fait une erreur négligeable par rapport àh.Cela revient à dire
lim khk!0f(x+h)f(x)L(h)khk= 0 La différentielle, lorsqu"elle existe, est unique.Proposition
1.2. Sifest différentiable enx, alors ses dérivées partielles existent et on
a : df(x)h=@ f@ x1(x)h1+:::+@ f@ x
n(x)hn =rfhRemarque
La matrice de l"application linéairedf(x)dans la base canonique est le gradientrf(x). 1L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
Proposition
1.3. Sifest différentiable enxalorsfest continue enx.
Remarque
L"existence des dérivées partielles defn"implique pas la différentiabilité.Mais :
Théorème
1.4. Sifadmet des dérivées partielles et si elles sont continues alorsfest
différentiable.On dit quefest de classeC1.
1.1 Règle de différentiation
Proposition
1.5. Sifetgsont différentiables on a :
(i)d(f+g)(x) =df(x) +dg(x) (ii)d(f)(x) =df(x) (iii)d(fg)(x) =f(x)dg(x) +g(x)df(x) (iv)dfg (x) =g(x)df(x)f(x)dg(x)g2(x)(à condition queg(x)6= 0)
1.2 Remarques
Sif:U!RoùUest un ouvert deRn, alors :
(i) Si festC1surUalorsfest différentiable surUet les dérivées@ f@ x iexistent surU.Les réciproques ne sont pas vraies!!
(ii) Si fest différentiable enx02Ualors l"application affineA(h) =f(x0) +df(x0)h a pour graphe l"espace tangent au graphe defenx0.1.3 Dérivées partielles successives
Les dérivées partielles
@f@x i(x1;:::;xn)sont des fonctions dex1;:::;xn, et il arrive souvent qu"elles sont eux-même dérivables.Définition
1.6. On écrit, lorsqu"elle existe,@2f@x
i@xj=@@x i @f@x j et on dit qu"il s"agit d"unedérivée partielle secondedef.Exemple
f:R2!R;(x;y)7!x3y4. Alors@2f@x@y (x;y) = 12x2y3=@2f@y@x (x;y). 2L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
Théorème
1.7. (Schwarz)
Si les déirvées partielles
@f@x i;@2f@x i@xjexistent et sont continues dans une boule autour de(a1:::an)alors : 2f@x i@xj(a) =@2f@x j@xi(a)2 La différentielle d"une fonction à valeurs vectorielles
Définition
2.1. FdeRndansRmestdifférentiableenx2Rns"il existe uneappli-
cation linéaireLdeRndansRmtelle que : lim khk!0F(x+h)F(x)Lhkhk= 0:Lest ladifférentielledeFenxet se note :dF(x).
Théorème
2.2. Fest différentiable enxsi et seulement si ses composants sont différen-
tiables et on a : dF(x)h= (rf1(x)h; ::: ;rfm(x)h):Définition
2.3. La matrice
2 6 4@f 1@x1(x)@f1@x
n(x) @f m@x1(x)@fm@x
n(x)3 7 5 est la matrice dedF(x)et est appeléematrice jacobiennedeFenxet se note :J(F)(x).Théorème
2.4. SiFa des composantes de classeC1alors elles sont différentiables etF
est également différentiable.Exercice
(i) T rouverla matrice jaco biennede Fen(1;1)de :F(x; y) = (x2+y2; exy). (ii) T rouverla différen tiellede F(x; y ; z) = (x; y ; z). (iii) T rouverla diff érentiellede F(r; ) = (rcos; rsin).2.1 Propriétés de la différentielle
Proposition
2.5. SiFdeRndansRmest linéaire, alorsdF(x) =F.
Proposition
2.6. SiFest différentiable enxalorsFest continue enx.
3L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
2.2 Différentielles des fonctions composées
SiFest une fonction deRndansRm, siGest une fonction deRmdansRq, alorsGF est une fonction deRndansRq.Théorème
2.7. SiFest différentiable enx, et siGest différentiable enF(x), alors
GFest différentiable enxet on a :
d(GF)(x) =dG(F(x))dF(x):Exercice
DériverGFlorsque
F(x; y) = (x2+y2; exy)
G(u; v) = (xy ;sinx; x2y)
2.3 Sur la règle de dérivation en chaîne
Le résultat théorique
Soientf:Rn!Retg:Rp!Rndeux fonctions différentiables. Écrivonsh=f g:D"après la règle de dérivation des fonctions composées nous avons (comme pour les fonctions deRdansR) : h0(x) = (fg)0(x) =f0(g(x)):g0(x):
La fonctionfgest une fonction deRpdansR. Sa dérivée est donc un vecteur ligne àp colonnes, la transposée de son gradient : h0(x) =
@h@x 1@h@x2:::@h@x
p La fonctiongest une fonction deRpdansRn. Sa dérivée est la matricenpcomposée des vecteurs transposés des gradients des coordonnées deg. Sig(x) = (g1(x);g2(x);:::;g2(x)) (on devrait écrire ce vecteur en colonne si on voulait se conformer en toute rigueur aux choix du cours) la dérivée degs"écrit : g0(x) =0
BBBB@@g
1@x 1@g 1@x2@g1@x
p@g2@x 1@g 2@x2@g2@x
p............ @g n@x 1@g n@x2@gn@x
p1 C CCCA: Pour simplifier la présentation appelonsg= (g1;g2;:::;gn)un point deRn. C"est un abus de notation,gne désigne pas ici la fonctiongmais un vecteur, un point dansRn. La dérivée defen un pointgest donnée par la transposée de son gradient : f0(g) =@f@g
1@f@g2:::@f@g
n 4L2 MIEE 2012-2013V ARUniv ersitéde Rennes 1
L"égalité matricielleh0(x) = (fg)0(x) =f0(g(x)):g0(x)signifie donc : @h@x 1@h@x2:::@h@x
p =@f@g 1@f@g2:::@f@g
n0 BBBB@@g
1@x 1@g 1@x2@g1@x
p@g2@x 1@g 2@x2@g2@x
p............ @g n@x 1@g n@x2@gn@x
p1 C CCCA:Autrement dit pour touti= 1;:::;pon a
@h@x i=nX k=1@f@g k@g k@x i: Attention! Quandgkapparaît au dénominateur cela signifie seulement que l"on prend ladérivée defpar rapport à sakième variable. Quand il apparaît au numérateurgkdésigne
lakième coordonnée deg: c"est alors une fonction.Un exemple
Prenonsf:R3!Retg:R2!R3deux fonctions différentiables définies par f(x;y;z) = 2xy3(x+z); g(x;y) = (x+y4;y3x2;2x23y): On demande de calculer les dérivées partielles de la fonction de deux variablesh=fg.Pour se ramener au théorème général et ne pas s"embrouiller, il est préférable de changer
les noms des variables dans l"expression def: f(g1;g2;g3) = 2g1g23(g1+g3): La formule de dérivation en chaîne donne alors @h@x =@f@g1@(x+y4)@x
+@f@g2@(y3x2)@x
+@f@g3@(2x23y)@x
@h@y =@f@g1@(x+y4)@y
+@f@g2@(y3x2)@y
+@f@g3@(2x23y)@y
Pour @h@x , on obtient : @h@x = (2g23):1 + 2g1:(6x) + (3):4x Exprimée en fonction dexetycette dérivée s"écrit : @h@x = 2y6x2312x(x+y4)12x=12xy418x2+ 2y12x3: Je vous laisse le calcul de la deuxième dérivée partielle dehen exercice. Remarque. On peut aussi écrire les choses sous la forme : @h@x =@f@x @(x+y4)@x +@f@y @(y3x2)@x +@f@z @(2x23y)@xmais c"est un peu risqué. Il ne faut surtout pas oublier de prendre les valeurs des dérivées
partielles defau point(x+y4;y3x2;2x23y). 5quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] différents murs d'une maison
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