[PDF] Cours de mécanique 2 - M22-Forces centrales

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Coursdemécanique2

M22-Forcescentrales

Tabledesmatiè res

1In troduction2

2For cescentralesconse rvatives2

2.1Défin ition.......................................2

2.2Exem ples.......................................2

3Mou vementgénéral3

3.1Momen tcinétique...................................3

3.2Éner giemécanique..................................4

3.2.1Conser vationdel'énergiemécanique....................4

3.2.2Définit iond'uneénergiepotentielle e

ective................4

3.3Mouve mentspossibles................................5

3.3.1Casd'un eforcer épulsive(K>0).....................5

3.3.2Casd'un eforceat tractive(K<0).....................6

3.4Équat ionpolairedelatraject oire..........................7

3.4.1Forceatt ractiveK<0............................7

3.4.2Forceré pulsiveK>0............................7

3.5Éne rgiemécaniqueettraje ctoires..........................8

4Ét udesdetrajectoiresp articu lières8

4.1Traj ectoireparaboliqueetvitessedelibé ration..................8

4.2Traj ectoirecirculaire.................................8

4.3Traj ectoireelliptiqueetloisdeKepler .......................8

4.3.1Expre ssiondelavitessesurlatrajec toire.................9

4.3.2Troisiè meloideKepler...........................9

5Références13

1

Mécanique2M22-F orcescentra les1.Introd uction

1Int roduction

Cechapi trevaêtrel'occasionder evoirde uxforcesquel' onconnaîtbien,laforcegravita- tionnelle(ditedeNewton)etl aforceélectrostat ique(d itedeCoulomb).En e et,nousl'a vons déjàdit,cesf orcesprésent entdessim ilitudes,notamme ntleurvariationen 1 r 2 Danscechapi tre,n ousverronslesforcescentrale sconservati ves,dontlaforcedeNew tonet celledeCoulombfont parties ,etleurscaractér istiques; puisnousétudieronslemou vemen t d'unpointMsoum isàuneforcec ent raleenremarquantla con stancedece rtainesgrandeur s.

2Fo rcescentralesconse rvatives

2.1Définitio n

Uneforce centraleestun eforcequis'écrit

F=F(r)

u r encoord onnéessphériques.

Celasignifie:

-quesavale urnedé pendpasdutemps; -queavaleu rde dépendqueder,la distan cedeM (pointquisubitla force)àO( pointappelécentre deforce ); -quesadroi ted'act ionalamêmedirect ionquele vecteur OM. O x y z M F u r

Figure1-M sub itu neforce

centraledecentreO Cetteforceestcons ervative(lec alculdesont ravailnedépendpasducheminsuivi) ,elle dérivedoncd'uneéner giepotenti elle: F=! gradE P etainsi F(r)=! dE P dr (1)

2.2Exempl es

-Lafor cedeNewtonestu neforc ecentraleconse rvative: F=!G m O m M r 2 e r F= K r 2 e r (2) avecK=!Gm O m M (K<0) -Laf orcedeCoulombes tunefor cecentraleconser vative: F= 1 4!" 0 q O q M r 2 e r F= K r 2 e r (3) avecK= q O q M 4!" 0

K<0siq

O etq M sontdesign eopposé; K>0siq O etq M sontdemêm esigne -Enutil isantleKdéfinici-dessus, onpourraécrirel'énergiepotentiell edon tdériveces deuxforcesdel amanièresuivante : E P K r +cste(4) 2 Mécanique2M22-F orcescentra les3.Mouvemen tgénéral oùla constan teseradéfinieenfonctiond el'originedes énergiespotentielle s(souve nton choisiraqueE P (r"%)=0.

3M ouvementgénérald'unpointMso umisàuneforcecentrale

conservative Nousallons voirquecetten otiondeforc ecentralea desconséquences quantàlaconser vation decert ainesgrandeursphysiques,qu el'onpeuttraduireenter medemouvement.

3.1Momen tcinétique

Nousallons montrerquelef aitquelepointMnesoit soumisqu' àunefor cecentrale rend sonmomentcinétiquecon stant. Appliquonslethéorèmedumoment cinét iqueenOdansleréférenti elgalil éen(O, e x e y e z d L O (M) dt M O F)= OM& F=r e r &F(r) e r 0(5) Lef aitquelemom entcinéti quesoi tconstantàdeuxcons équences: -Lapr emièreestquelemouvementdupointMestplan:ene!et, L O (M)= m OM& v(M)= csteimpliquequelepointMsedép laceconstamm entdans unplan perpendiculaireà L O (M)(plandéfinipar levecteur

OMetle vecteur

v). -Lade uxièmeconséquenceestquel 'airebalayéeparlerayonvecteur

OMestproport ion-

nelleautemps:c'e stl aloidesai res. -Trouvonstoutd'abordl'e xpressiond elaconstantedesai resC,liéeaumomentcinétique, enexpr imantlemomentcinétiqueenc oordonné escylindriques : L O (M)=m OM& v(M)=mr e r r e r +r e )=mr 2 e z (6)

Onnotegé néralement

L O (M)=mC e z avecC=r 2 -Exprimonsmaintenantl'airebal ayéeparlerayon vecteurpendantuntempsd t: dA= 1 2

OM'vdt=

1 2 r'r dt(7) caronpeu tvoi rcetteportion infinitési male d'airecommeuntri angledehauteurretde basevdt.

Ainsi:

dA dt r 2 2 C 2 (8) Donc: A(t)= C 2 t+cste(9) O x y M dA r vdt

Figure2-Ai reb alayéepar

OMpend antdt

Remarque

Lagran deur

dA dt senomme parfoisvitesse aréolaire,vitesse debalayaged'uneaire. 3 Mécanique2M22-F orcescentra les3.2Énerg iemécanique

3.2Énergi emécanique

3.2.1Conserv ationdel'énergiemécanique

Lefai tquelaforc ecentrale soitcons ervativeimpli quequel'énergiemécaniq uedupointM estconser véeaucoursdumouvement. Ene et,d'aprè slethéorèmedel'éner giecin étique,pourlepointMqui sedépl aceentrela positionAetlaposition B: E C (B)!E C (A)=W AB

F)(10)

Orcomme laforce

Festconser vative,onpeutdéfiniruneénergiepotenti ell etelleque: W AB F)=E P (A)!E P (B)(11) Ene et: W AB F)= B A

F(r)dr=

B A K r 2 dr= K r B A =E P (A)!E P (B)(12)

Doncendeu xpositi onsquelconques AetBdupointM:

E C (A)+E P (A)=E C (B)+E P (B)=cste(13)

Onpeut doncécrire:

E M =E C +E P =cste(14) Sicett eénergieestconstan tec'estqu'elleaàt outinstant lavaleurqu'elleavaitdans l'instant initial:onpeutdoncdé ter min ersavaleuràp artirdescon ditionsinitiales.

3.2.2Définit iond'uneénergiepotentielle e

ective Onpeut exprimercett eénergiemécaniqueenfonction del'uniquevariab ler.Ona: E M 1 2 mv 2 +E P (r)(15) Carnousa vonsditque l'énergiepote ntiellene dépendaitq ueder E P K r +cste Onpeu texprimerlav itesseencoordonnéespolaires : E M 1 2 m( r 2 +r 2 2 )+E P (r)(16) Car v= r e r +r e ,si onporte cet teexpressionau carré,leterme"2ab "faitapparaîtrele produitscalaire e r e quies tnul. Enfinonpeutfair eapp araîtrelaconst antedesaireset ainsidéfinirunenouvelle énergie potentielle: E M 1 2 m r 2 mC 2 2r 2 +E P (r)= 1 2 m r 2 +E Pe (r)(17) 4 Mécanique2M22-F orcescentra les3.3Mouvemen tspossibles E Pe (r)=E P (r)+ mC 2 2r 2 estappelée énergiepotentiellee ective,ellecomprendl' énergie potentielleetunepartiedel'énergi eciné tiquedupoi ntM. Lep roblèmeserésumealorsàl'é tuded 'unpointmatérieldemas semdontlaposit ion estdécrit eparunseuldegrédeliber té,r;et soumisà uneforceconservat ive dontl'éner gie potentielleestE pe

Pourquoidéfiniruneé nergiepotentiellee

ective? Cetteénergie,qui n'apasréellementdesen sphysique ,vaperme ttrepar sonétude,de trouverlesformesdem ouvementsp ossiblespourlepoi ntMenf onctiondusignedeKetdela valeurdelaconstan teE M

3.3Étudedesm ouvements possibl esetconditionsd'existence

Nousallons utiliserl'én ergiepotentiellee

ectivedéfinieprécé demmentpouridentifi erles mouvementspossibles.Selonl'all uredeE Pe =f(r)etlaval eurdel 'énergiemécaniqu edeM, nousdistin guonsplusieurscas:

3.3.1Casd'u neforce répulsive(K>0)

Lafon ctionE

Pe =f(r)al' alluresuivante: E Pe (r) r O E M r min

Figure3-Al lur edeE

Pe (r)danslecasd 'unefor cerépu lsive Rappelonslarelationdonnant l'éner giemécanique:E M 1 2 m r 2 +E Pe (r) Ainsi,commel'éne rgiecinétique radialeestnécessairementpos itive,pourqu'ilyaitmouvement ilfautq ueE M (E Pe 5 Mécanique2M22-F orcescentra les3.3Mouvemen tspossibles

Lemou vementnepeutdoncsefairequ 'entr er=r

min etl' %,ce mouvem entestnonborné:

Lorsquelaforcecent ralees trépulsive,on

parled'unétat dedi usion. O r min

Trajectoire

deM

Figure4-E tatd edi!usion

Pourtrouver lavaleurder

min ,il fautré soudrel'éq uation: E M =E Pe #$Equotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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