Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives
Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives. Table des mati`eres. 1 Forces centrales conservatives. 1. 1.1 Exemple de la force de gravitation
Chapitre 7 :M ouvements à force centrale
Chapitre 7 : Mouvements à force centrale La force gravitationnelle est une force centrale (exemple : soleil œ planète ... est donc conservative.
Mouvement dans le champ dune force centrale conservative
2 mai 2018 Soit un point matériel de position M dans un référentiel galiléen Rg soumis à une force centrale de centre O
M7 – FORCES CENTRALES CONSERVATIVES – CAS DE L
est un champ de forces centrales conservatives. Démonstration : On revient `a la définition d'une force conservative : ??. F est conservative ? ?W(.
Mouvement dans le champ dune force centrale conservative
Mouvement dans le champ d'une force centrale conservative. Semaine du 5 au 10 mai. Les vecteurs sont désignés selon. #». X X désignant la norme de.
M05 Mouvements dans un champ de force centrale conservatif
Vitesses cosmiques : vitesse en orbite basse et vitesse de libération. I Force centrales conservatives généralités. Soit un système ramené à un point matériel
Mouvements dans un champ de force central et conservatif
Bilan des forces : M n'est soumis qu'à une force centrale Si cette force est conservative alors comme elle est dirigée suivant.
Mouvement dans le champ dune force centrale conservative
Mouvement dans le champ d'une force centrale conservative. Semaine du 1 au 7 mai. Les vecteurs sont désignés selon. #». X X désignant la norme de.
Chapitre 5 : Application - Forces Centrales
Le moment cinétique d'une force centrale par rapport au point vers lequel elle est F étant conservative l'énergie mécanique doit être conservée :.
Cours de mécanique 2 - M22-Forces centrales
centrale de centre O. Cette force est conservative (le calcul de son travail ne dépend pas du chemin suivi) elle dérive donc d'une énergie potentielle :.
[PDF] Chapitre 5 : Application - Forces Centrales
La force newtonienne étant conservative elle dérive d'une énergie potentielle: F = ?gradEp L'énergie potentielle s'écrit dans ce cas : Ep = ? r + Cte En
[PDF] Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives
Force centrale si : F = F(r)er conservative si : ?W = ?dEp Pour les forces de gravitation et électrostatiques que l'on appelle interactions newtoniennes F(r)
[PDF] Chapitre 7 :M ouvements à force centrale - Melusine
On dit que M est soumis à une force centrale F La force gravitationnelle est une force centrale (exemple : soleil œ planète est donc conservative
[PDF] Mouvement dans un champ de force centrale conservative Cas
II Propriétés générales d'un mouvement à force centrale 1 Conservation du moment cinétique On considère un point matériel M de masse m en mouvement dans
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Ce chapitre s'intéresse particulièrement à la loi de la gravitation et à ses diverses conséquences I – Forces centrales conservatives I-1) Définition et
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Un point fréquemment rencontré en physique concerne le mouvement d'un point matériel soumis `a une force constamment dirigée vers un point fixe – qu'on
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2 mai 2018 · Dans un mouvement à force centrale la vi- tesse aréolaire est une constante nommée constante des aires • L'aire balayée pendant une durée ?t
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On considère le mouvement d'un point matériel de position M soumis dans un référentiel galiléen à une force centrale de centre O conservative à laquelle est
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Confrontez à un problème comportant des forces centrales : bilan des forces et conservation du moment cinétique (TMC) mouvement plan le mouvement vérifie la
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Dans ce chapitre nous verrons les forces centrales conservatives dont la force de Newton et celle de Coulomb font parties et leurs caractéristiques ; puis
Est-ce qu'une force centrale est conservative ?
L'expression d'une force centrale est ?F=F(r)?ur, sa valeur, indépendante du temps, ne dépend que de r, distance entre le point qui subit la force et le centre de force. Une force centrale est conservative.Quelles sont les force conservatives ?
les forces conservatives qui sont les forces dont le travail ne dépend pas du chemin suivi mais que du point de départ et du point d'arrivée. Exemples rencontrés : travail du poids, travail de la tension du ressort, travail d'une force constante.Quand est-ce qu'une force est conservative ?
Une force est dite conservative si le travail de cette force est indépendant du chemin suivi. Si ce n'est pas le cas, elle est alors dite non conservative.- Une force est dite conservative lorsque le travail produit par cette force est indépendant du chemin suivi par son point d'action. Dans le cas contraire, la force est dite non conservative.
MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 1/5Mouvement dans un champ de forcescentrales conservativesTable des mati`eres1 Forces centrales conservatives1
1.1 Exemple de la force de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exemple de la force ´electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1
1.3 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Lois g´en´erales de conservation1
2.1 Conservation du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
2.1.1 Plan´eit´e du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.3 Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Conservation de l"´energie (m´ecanique) . . . . . . . . . . . .. . . . 2
2.2.1 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2.2 ´Energie potentielle effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2.3 ´Etats de diffusion, ´etats li´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Mouvement dans un champ de forces centrales newtonien 3
3.1 ´Equation g´en´erale de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . .33.2 Interaction r´epulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 Interaction attractive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3.1 ´Etat de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.3.2 ´Etat li´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4 Mouvements des plan`etes - Lois de K´epler . . . . . . . . . . . .. . 4
3.4.1 Lois de K´epler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4.2 Vitesses cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Forces centrales conservatives
1.1 Exemple de la force de gravitation
SoientM1de massem1etM2de massem2
F1→2=-F2→1=-Gm1m2
(M1M2)2M 1M2 M1M2 avecG= 6,67.10-11kg-1.m3.s-2 On supposera queMde massemest attir´e par un centre de force fixeO de massem??mF=-Gm?m
r2erδW=F.dOM=-A
r2er.(drer+rder) =-Adr r2=-dEp avecEp=-A ren prenantEp(∞) = 01.2 Exemple de la force ´electrostatique
SoientM1de chargeq1etM2de chargeq2
F1→2=-F2→1=1
4π?0q
1q2 (M1M2)2M 1M2 M1M2 avec 14π?0= 9.109S.I.
On supposera queMde chargeqet de massemest attir´e ou repouss´e par un centre de force fixeOde chargeq?et de massem??m F=14π?0q
?q r2erδW=F.dOM=B
r2er.(drer+rder) =Bdr r2=-dEp avecEp=B ren prenantEp(∞) = 0 Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 2/5remarque: si l"on compare les forces de gravitation et ´electrostatiques qui
s"exercent par exemple entre deux ´electrons F e Fg=?e m? 2?14π?0G?
= 4,2.1042 D"une mani`ere g´en´erale, `a l"´echelle microscopique, les forces de gravitation sont n´egligeables devant les forces ´electrostatiques.1.3 G´en´eralisation
Force centrale si :
F=F(r)er
conservative si :δW=-dEp
Pour les forces de gravitation et ´electrostatiques que l"on appelle interactions newtoniennesF(r) =k
r2et Ep=k ravec Ep(∞) = 0 k=-Gm?m <0 pour l"interaction gravitationnelle; k=14π?0q?q, pour l"interaction ´electrostatique, n´egatif siq?etqde signe
diff´erent, positif siq?etqde mˆeme signe.2 Lois g´en´erales de conservation
Soit M de massemet de vitessevsoumis `a un champ de forces centrales conser- vativesF=F(r)ercr´e´e par un centre de force O.2.1 Conservation du moment cin´etique
2.1.1 Plan´eit´e du mouvement
dLO dt=MO=OM?F=rer?F(r)er= 0?LO=cte CommeLO=OM?mv,OMetvrestent perpendiculaires `aLO=cte,OM etvsont donc contenus dans le plan perpendiculaire `aLO=cte: le mouvement est plan.2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement
Dans ce plan, choisissons les coordonn´ees polaires (r,θ) :OM=rerv= rer+rθeθ
LO=OM?mv=mr2θez
commeLO=cte: r2θ=cte=C appel´e int´egrale premi`ere du mouvement, Cconstante des aires.2.1.3 Loi des aires
L"aire balay´ee pendantdt
dA=12×r×rdθ=1
2r2dθ
La vitesse a´erolaire :
dA dt=12r2θ=1
2C=cte
Les aires balay´ees pendant des dur´ees ´egales sont ´egales ce qui explique l"ac- c´el´eration de M lorsqu"il se rapproche du centre de force et son ralentissementlorsqu"il s"en ´eloigne.2.2 Conservation de l"´energie (m´ecanique)2.2.1 Int´egrale premi`ere du mouvementF=F(r)erd´erivant d"une ´energie potentielleEp(r), l"´energie m´ecanique se
conserve : E m=12m(r2+r2θ2) +Ep(r) =cte
appel´e int´egrale premi`ere du mouvement. Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 3/52.2.2´Energie potentielle effective
E m=12mr2+1
2mr2θ2+Ep(r)
12mr2θ2=m
2r2(r2θ)2=m
2r2C2 E m=12mr2+mC2
2r2+Ep(r)
L"´energie m´ecanique ne d´epend plus que de retr: le terme12mr2est appel´e ´energie cin´etique radiale
le terme mC22r2+Ep(r) =Ep,effest appel´e ´energie potentielle effective Em=12mr2+Epeff(r) =cte
2.2.3´Etats de diffusion, ´etats li´es
Le terme cin´etique
12mr2´etant positif,Em=cteest la plus grande valeur que
puisse prendreEpeff(r); les valeurs derpour lesquellesEp,eff> Emsont donc inaccessibles.Sir > rmin, on parle d"´etat de diffusion
3 Mouvement dans un champ de forces centrales new-
tonien Le mouvement v´erifie les propri´et´es g´en´erales du mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (plan´eit´e du mouvement, loi des aires, ´energie potentielle effective) avecF(r) =k r2etEp=k r3.1´Equation g´en´erale de la trajectoire
On peut alors montrer (voir TD) que la trajectoire du point M,rep´er´e par ses coordonn´ees polaires a pour ´equation (en choisissant Ox axe de sym´etrie de la trajectoire) r(θ) =p1 +ecosθ
On reconnaˆıt l"´equation d"une conique : sie >1, M d´ecrit une hyperbole sie= 1, M d´ecrit une parabole si 0< e <1, M d´ecrit une ellipse sie= 0, M d´ecrit un cercle3.2 Interaction r´epulsive
k >0 rE peff r minE m Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 4/5r > rmin, ´etat de diffusion, M ne peut pas s"approcher du centre de force `a une
distance inf´erieure `armin, cette position extrˆeme s"appelle lep´ericentre. La trajectoire correspondante correspond `a une branche d"hyperbole.3.3 Interaction attractive
k <0 3.3.1´Etat de diffusion
E m>0 rE peff r minE m r > r min, on observe encore un ´etat de diffusion. La trajectoire est encore une branche d"hyperbole. Le cas particulierEm= 0 correspond `a une trajectoire parabolique. 3.3.2´Etat li´e
E peffmin< Em<0 rE peff r min E mr max r p´ericentre, celle correspondant `armaxapocentre.La trajectoire est elliptique.
Le cas particulierrmin=rmax=Rcorrespond `a une trajectoire circulaire. Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 5/53.4 Mouvements des plan`etes - Lois de K´epler3.4.1 Lois de K´eplerCes lois historiques concernent les mouvements des plan`etes autour du Soleil,
elles se g´en´eralisent `a tous les mouvements `a force gravitationnelle centrale. 1 reloi : les plan`etes autour du Soleil d´ecrivent des ellipsesdont l"un des foyers est occup´e par le Soleil. 2 eloi : le mouvement d"une plan`ete ob´eit `a la loi des aires; pendant des dur´ees ´egales Δt, le rayon vecteurOMbalaye des aires ´egalesS=C2Δto`uC
est la constante des aires li´ee `a la plan`ete consid´er´ee. 3 eloi :T2 a3=4π2 Gm? o`uTest la p´eriode de r´evolution elliptique de la plan`ete autour du Soleil,ale demi grand-axe de la trajectoire elliptique etm?=mSla masse du Soleil; la masse de la plan`ete n"intervient pas.3.4.2 Vitesses cosmiques
Lavitesse circulaireest la vitesse `a communiquer initialement `a un corps pour qu"il d´ecrive une orbite circulaire de rayonaautour d"un gros astre de massem?: E m=-|k|2a 12mv2c-|k|
a=-|k|2a?vc=?
Gm?a Lavitesse de lib´erationest la vitesse `a communiquer initialement `a un corps pour qu"il ´echappe `a l"attraction d"un gros astre de massem?: 12mv2l-|k|
r0= 0?vl=?2Gm?r0
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] forces centrales pcsi
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