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MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 1/5Mouvement dans un champ de forcescentrales conservativesTable des mati`eres1 Forces centrales conservatives1

1.1 Exemple de la force de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Exemple de la force ´electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1

1.3 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Lois g´en´erales de conservation2

2.1 Conservation du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

2.1.1 Plan´eit´e du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.3 Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Conservation de l"´energie (m´ecanique) . . . . . . . . . . . .. . . . 2

2.2.1 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2.2 ´Energie potentielle effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2.3 ´Etats de diffusion, ´etats li´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Mouvement dans un champ de force centrales newtonien 3

3.1 ´Equation g´en´erale de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

3.2 Interaction r´epulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.3 Interaction attractive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.3.1 ´Etat de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.3.2 ´Etat li´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.4 Mouvements des plan`etes - Lois de K´epler . . . . . . . . . . . .. . 5

3.4.1 Lois de K´epler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4.2 Vitesses cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Forces centrales conservatives

1.1 Exemple de la force de gravitation

SoientM1de massem1etM2de massem2

F

1→2=-F2→1=-Gm1m2

(M1M2)2M 1M2 M1M2 avecG= 6,67.10-11kg-1.m3.s-2 On supposera queMde massemest attir´e par un centre de force fixeO de massem??m

F=-Gm?m

r2er

δW=F.dOM=-A

r2er.(drer+rder) =-Adr r2=-dEp avecEp=-A ren prenantEp(∞) = 0

1.2 Exemple de la force ´electrostatique

SoientM1de chargeq1etM2de chargeq2

F

1→2=-F2→1=1

4π?0q

1q2 (M1M2)2M 1M2 M1M2 avec 1

4π?0= 9.109S.I.

On supposera queMde chargeqet de massemest attir´e ou repouss´e par un centre de force fixeOde chargeq?et de massem??m F=1

4π?0q

?q r2er

δW=F.dOM=B

r2er.(drer+rder) =Bdr r2=-dEp avecEp=B ren prenantEp(∞) = 0 Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 2/5remarque: si l"on compare les forces de gravitation et ´electrostatique qui

s"exercent par exemple entre deux ´electrons F e Fg=?e m? 2?1

4π?0G?

= 4,2.1042 D"une mani`ere g´en´erale, `a l"´echelle microscopique, les forces de gravitation sont n´egligeables devant les forces ´electrostatique.

1.3 G´en´eralisation

Force centrale si

F=F(r)er

conservative si

δW=-dEp

Pour les forces de gravitation et ´electrostatique que l"onappelle interactions new- toniennes

F(r) =k

r2et Ep=k ravec Ep(∞) = 0 k=-Gm?m <0 pour l"interaction gravitationnelle; k=1

4π?0q?q, pour l"interaction ´electrostatique, n´egatif siq?etqde signe

diff´erent, positif siq?etqde mˆeme signe.

2 Lois g´en´erales de conservation

Soit M de massemet de vitessevsoumis `a un champ de force centrale conser- vativeF=F(r)ercr´e´e par un centre de force O.

2.1 Conservation du moment cin´etique

2.1.1 Plan´eit´e du mouvement

dLO dt=MO=OM?F=rer?F(r)er= 0?LO=cte CommeLO=OM?mv,OMetvrestent perpendiculaires `aLO=cte,OM etvsont donc contenus dans le plan perpendiculaire `aLO=cte: le mouvement est plan.

2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement

Dans ce plan, choisissons les coordonn´ees polaires (r,θ)

OM=rerv= rer+rθeθ

L

O=OM?mv=mr2θez

commeLO=cte r2θ=cte=C appel´e int´egrale premi`ere du mouvement, Cconstante des aires

2.1.3 Loi des aires

L"aire balay´ee pendantdt

dA=1

2×r×rdθ=1

2r2dθ

La vitesse a´erolaire

dA dt=1

2r2θ=1

2C=cte

Les aires balay´ees pendant des dur´ees ´egales sont ´egales ce qui explique l"ac- c´el´eration de M lorsqu"il se rapproche du centre de force et son ralentissement

lorsqu"il s"en ´eloigne.2.2 Conservation de l"´energie (m´ecanique)2.2.1 Int´egrale premi`ere du mouvementF=F(r)erd´erivant d"une ´energie potentielleEp(r), l"´energie m´ecanique se

conserve E m=1

2m(r2+r2θ2) +Ep(r) =cte

appel´e int´egrale premi`ere du mouvement Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 3/52.2.2´Energie potentielle effective

E m=1

2mr2+1

2mr2θ2+Ep(r)

1

2mr2θ2=m

2r2(r2θ)2=m

2r2C2 E m=1

2mr2+mC2

2r2+Ep(r)

L"´energie m´ecanique ne d´epend plus que de retr: le terme1

2mr2est appel´e ´energie cin´etique radiale

le terme mC22r2+Ep(r) =Ep,effest appel´e ´energie potentielle effective Em=1

2mr2+Epeff(r) =cte

2.2.3´Etats de diffusion, ´etats li´es

Le terme cin´etique

1

2mr2´etant positif,Em=cteest la plus grande valeur que

puisse prendreEpeff(r); les valeurs derpour lesquellesEp,eff> Emsont donc inaccessibles.

Sir > rmin, on parle d"´etat de diffusion

3 Mouvement dans un champ de force centrales new-

tonien Le mouvement v´erifie les propri´et´es g´en´erales du mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (plan´eit´e du mouvement, loi des aires, ´energie potentielle effective) avecF(r) =k r2etEp=k r

3.1´Equation g´en´erale de la trajectoire

On peut alors montrer (voir TD) que la trajectoire du point M,rep´er´e par ses coordonn´ees polaires a pour ´equation (en choisissant Ox axe de sym´etrie de la trajectoire) r(θ) =p

1 +ecosθ

On reconnaˆıt l"´equation d"une conique

sie >1, M d´ecrit une hyperbole sie= 1, M d´ecrit une parabole si 0< e <1, M d´ecrit une ellipse sie= 0, M d´ecrit un cercle

3.2 Interaction r´epulsive

k >0 rE peff r minE m Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 4/5r > rmin, ´etat de diffusion, M ne peut pas s"approcher du centre de force `a une

distance inf´erieure `armin, cette position extrˆeme s"appelle lep´ericentre. La trajectoire correspondante correspond `a une branche d"hyperbole.

3.3 Interaction attractive

k <0 3.3.1

´Etat de diffusion

E m>0 rE peff r minE m r > r min, on observe encore un ´etat de diffusion. La trajectoire est encore une branche d"hyperbole. Le cas particulierEm= 0 correspond `a une trajectoire parabolique. 3.3.2

´Etat li´e

E peffmin< Em<0 rE peff r min E mr max r p´ericentre, celle correspondant `armaxapocentre.

La trajectoire est elliptique.

Le cas particulierrmin=rmax=Rcorrespond `a une trajectoire circulaire. Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007

MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 5/53.4 Mouvements des plan`etes - Lois de K´epler3.4.1 Lois de K´eplerCes lois historiques concernent les mouvements des plan`etes autour du Soleil,

elles se g´en´eralisent `a tous les mouvements `a force gravitationnelle centrale. 1 reloi : les plan`etes autour du Soleil d´ecrivent des ellipsesdont l"un des foyers est occup´e par le Soleil. 2 eloi : le mouvement d"une plan`ete ob´eit `a la loi des aires; pendant des dur´ees ´egales Δt, le rayon vecteurOMbalaye des aires ´egalesS=Cquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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