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2011-2012Exercices - M´ecanique|PTSI

?Forces centrales conservativesM7 ???Ex-M7.1Point mat´eriel tir´e par une corde (*)

Un paletPde masseMglisse sans frottement

sur un plateau horizontal (Oxy) perc´e d"un trou `a l"origineO. Sa position est rep´er´ee par les coordonn´ees polaires retθ, d"axe (Oz). L"exp´erimentateur lance le palet, `a la distancer0

du pointO, avec une vitesse initiale orthoradiale-→v(0) =v0-→eθ(t=0)(on prendraθ(t= 0) = 0), et

tire sur le fil de fa¸con `a rapprocher r´eguli`erement le palet du pointO:r(t) =r0-V t. Or F z x y P r 0θ P0 v0 On admet que la force exerc´ee par le fil (qui reste toujours tendu) surPest-→T=-F-→er.

1)Montrer que la vitesse angulaire du palet s"´ecritω=θ=r0v0

(r0-V t)2. En d´eduire l"´evolution de la force -→Fqu"il faut exercer pour r´ealiser cet objectif. Commenter.

2)Calculer directement le travail de traction fourni par cet op´erateur s"il fait passer la distance

du mobile `a l"axe de la valeurr0`a la valeurr1. Retrouver ce r´esultat par une m´ethode ´energ´etique.

R´ep : 1)F=Mr20v20

(r0-V t)3; dont-→T=-MC2r3-→er=-dEpdravecEp=-MC22r2+??Cte(avec E p(∞) = 0 etC=r0v0la constante des aires);2)W0→1(-→F) =Mr20v20 2?

1r21-1r20?

???Ex-M7.2Force centrale en1/r3(**, `a chercher apr`es avoir travaill´e le reste) Un point mat´erielMde massemest soumis, dans un r´ef´erentiel galil´eenR, `a une force d"expression-→F=-a r3-→eren coordonn´ees sph´eriques de centreO,a´etant une constante po- sitive.

`A l"instant initial,Mest `a la positionM0telle que---→OM0=r0-→ex, avec une vitesse-→v0=v0(cosα-→ex+ sinα-→ey).

1)Montrer que le mouvement est plan et d´eterminer le plan de latrajectoire.

2)Montrer que la force-→Fest une force conservative. En d´eduire l"´energie potentielleEp(r) dont

elle d´erive (on prendreEp(∞) = 0)). D´eterminer l"expression de l"´energie potentielle effective

E p,effcompte tenu des conditions initiales.

3)r0´etant donn´e, indiquer la condition surv0pour que le syst`eme soit dans un ´etat de diffusion.

4)La particule est dans un ´etat de diffusion etα=π

2. a)

´Etablir que r=r0v0

r2drdθ. En d´eduire quer=-r0v0u?θavecu(θ) =1r(θ)etu?θ=dudθ. b)Exprimer la conservation de l"´energie m´ecanique en fonction de la variableuet deu?θ.

En d´eduire queuv´erifie l"´equation :

u??θ+η2u= 0 avecη=?1-amr20v20. c)D´eterminer l"´equation polaire de la trajectoire compte tenu des conditions initiales. d)Donner l"allure de la trajectoire pourη= 0,1,θ0= 0 etr0= 1m.

Solution Ex-M7.2

1)La force est centrale de centre de forceO. LeT.M.C.pourM´evalu´e enOdans le r´ef´erentiel

Rs"´ecrit :?d---→LO/R(M)

dt? R =MO(-→F) =--→OM×-→F=-→0 , soit---→LO/R(M) =-→Cte, d"expression : L

O/R(M) =?

LO/R(M0) =r0-→ex×mv0(cosα-→ex+ sinα-→ey) =mr0v0sinα-→ez--→OM×---→vM/R=r-→er×(r-→er+rθ-→eθ) =mr2θvez=mC-→ez

avec

C=r2θ=r0v0sinα, laconstante des aires.

PTSI|Exercices - M´ecanique2011-2012

Le vecteur position--→OMest orthogonal `a tout instant `a-→LO, donc `a-→ez, direction fixe de l"espace :

la trajectoire est donc plane, contenue dans le plan (Oxy)?-→ez.

2)Lors d"un d´eplacement ´el´ementaire deM, le travail de la force-→Fest :δW=-a

r3ver?(d-→er+ rd-→er) =-a r3dr=-dEp, avecEp=-a2r2(en choisissant l"´energie potentielle nulle `a l"infini).

ThmEm: dEm=δWNC= 0, soit

Em=Cte:le syst`eme est conservatif.

Le syst`eme{M,m}a pour ´energie m´ecanique : E m=Ek+Ep=1

2mv2M/R+Ep(r) =12m(r2+r2θ2) +Ep(r) =12mr2

E k,r+ 12mC

2r2+Ep(r)

E p,eff(r) D"o`u

Ep,eff(r) =12mC

2r2+Ep(r) =mr20v20sin2α-a2r2

3)L"´energie potentielle s"annule `a l"infini. Le syst`eme est donc dans un´etat de diffusionsi son

´energie m´ecanique est positive, ce qui se traduit par : E m=Cte=Em(0) =1

2mv20-a2r20>0?v0>?a

mr20

4.a)Comme la constante des aires s"´ecrit :C=LO

m=r2θ=r0v0sinα=r0v0pourα=π2, on a : r=dr dθθ=r0v0r2? drdθ?

Commeu?θ=d?1

r?

Soit :

r=-r0v0u?θ

AlorsEm=Ek,r+Ep,eff=1

4.b)PuisqueEm=Cteen d´erivant---------→par rapport `aθ0 =mr20v20u??θ.u?θ+ (mr20v20-a)u.u?θ

Comme le casu?θ= 0 ne nous int´eresse pas (on ´etudie le mouvement deM), on obtient : u 1-a mr20v20? u= 0?u??θ+η2u= 0avecη=?1-amr20v20

Rq :ηest bien d´efini puisque 1-a

mr20v20>0 d"apr`es la condition sur la vitesse ´etablie en3).

4.c)La solution g´en´erale de l"´equation est :u(θ) =Acos(ηθ) +Bsin(ηθ)

`At= 0,θ0= 0 (puisque---→OM0=-→0 ), donc-→er(0) =-→ex,-→eθ(0) =-→ey

Soit -→v0=?v0-→ey r(0)-→er+r0θ(0)-→eθ= r(0)-→ex+r0θ(0)-→ey

Donc : r(0) = 0 =-r0v0u?(θ0) (d"apr`es4.a)).

D"o`u???u(0) =1

r0=A u

θ(0) = 0 =-Bη

Cl :u(θ) =1

r0cos(ηθ)?r=r0 cos?

θ?1-amr20v20?4.d)±202468

±6 ±4 ±2 2

?Applications directe du coursM7 ???Ex-M7.3´Etat de diffusion et ´etat li´e

1)Un ´electron de vitessev0= 4.103m.s-1se trouve `a une distancea= 10nmd"un proton.

Peut-il y avoir formation d"un atome d"hydrog`ene? (´etat li´e) (on v´erifiera que l"´energie potentielle

2011-2012Exercices - M´ecanique|PTSI

de gravitation est n´egligeable devant les autres)

2)Quelle est la vitesse limite de l"´electron pour qu"il n"y ait pas d"´etat li´e possible?

Donn´ees :masse de l"´electron :me= 9.10-31kg; masse du proton :mp= 1,7.10-27kg; 1

4π?0= 9.109u.S.I.

R´ep. : 1)Ep,´elec=-2,3.10-20J,Ep,grav=-1.10-60J,Ek= 7,2.10-24J→´etat li´e car E m=Ek+Ep?Ep,´elec<0;2)vl=? -2me.14π?0.qeqpa= 2,26.105m.s-1 ???Ex-M7.4Masse de la terre En faisant l"hypoth`ese que la lune effectue un mouvement circulaire autour de la terre (hypoth`ese

justifi´ee car l"excentricit´e de la trajectoire lunaire est de 0,0549), de p´eriodeT= 27,32jourset

de rayonRL= 384400km, calculer la masse de la terre en appliquant lePFD.

R´ep. :MT?6,0.1024kg.?

???Ex-M7.5Vitesse de lib´eration

Calculer la vitesse de lib´eration (ou vitesse d"" évasion ») à la surface des astres suivants, dont

les masses et les rayons respectifs sont :

1)pour la Lune :ML= 7,4.1022kgetRL= 1700km,

2)pour Mars :MMa= 6,4.1023kgetRMa= 3400km,

3)pour Mercure :MMe= 3,3.1023kgetRMe= 2440km.

Rép :La vitesse de libération est caractérisée par une énergie mécanique (trajectoire parabolique)

nulle du point matériel de massemétudié (dans le référentiel " astrocentrique ») à la surface de

l"astre de rayonRet de masseM:Em=1

2mv2l- Gm.MR= 0, soit :vl=?

2GM R. v l,L= 2,4km.s-1;vl,Ma= 5km.s-1;vl,Me= 4,2km.s-1. ???Ex-M7.6Distance minimale de passage d"un ast´ero¨ıde

Le référentiel géocentriqueR0=Ox0y0z0est supposé galiléen, et on néglige les effets gravita-

tionnels du Soleil. Un astéroïde de massemet de taille négligeable par rapport à la masseMTde la Terre est repéré enM0, à une distance très grande de la Terre où on supposera que son influence gravitationnelle est négligeable. On mesure son vecteur vitesse-→v0=-v0-→ex0, porté par la droite(M0x0)telle que la distance du centre de la Terre à(M0x0)estb(best le " paramètre d"im- pact »).

1)Montrer queEm(M)et----→LO/R0(M)se conservent. Exprimer les deux constantes du mouvement

en fonction des données initiales.

2)Exprimer l"énergie potentielle effectiveEp,eff(r)en fonction dem,MT, etLO.

3)Déterminer la distance minimalerminà laquelle l"astéroïde passe du centre de la Terre et

donner la condition de non collision. On utilisera très utilement le potentiel effectif.

Rép : 1)Em=1

2mv20;----→LO/R0(M) =---→OM0×m-→v0=mbv0-→ez0;

2)Ep,eff=Em-1

2mr2=L2O2mr2- Gm.MTr;3)rmin=GMTv20?

?1 +b2v40G2M2T-1? "Cependant la nuit marche, et sur l"abîme immense

Tous ces mondes flottants gravitent en silence,

Et nous-même, avec eux emportés dans leurs cours,

Vers un port inconnu nous avançons toujours."

Lamartine -Les´Etoiles

PTSI|Exercices - M´ecanique2011-2012

?Orbites circulairesM7 ???Ex-M7.7satellite Phobos et D´eimos de Mars La planète Mars (masseMM= 6,24.1024kg) possède deux sa- tellites naturels, Phobos et Déimos, considérés comme des asté- roïdes en raison de leur petite taille et de leur forme irrégulière. La distance moyenne du centre de ces satellites au centre de Mars estrP?9379kmpour Phobos etrD?23459kmpour Déimos.

1)Calculer les vitesses de satellisationvPetvDde Phobos et

Déimos.

2)En déduire leurs périodes de révolution respectivesTPetTD,

en jours, heures, minutes, secondes.

3)Vérifier que le rapportT2

r3est indépendant du satellite. Quelle est l"expression littérale de ce rapport en fonction deMM?

Phobos

Rép : 1)vP= 6,67km.s-1;vD= 4,21km.s-1;2)TP= 8835s= 2h27min15s;TD=

35010s= 9h43min31s;3)T2P

r3P= 9,46.10-14s2.m-3;T2Dr3D= 9,49.10-14s2.m-3; 3eloi de

Képler :

T2 a3=4π2GMMaveca=rpour une trajectoire circulaire. ???Ex-M7.8Vitesse d"un lanceur selon la latitude Les lanceurs (ou fusées) sont tirés dans l"espace depuis des bases situées à des latitudesλvariées : Cap Canaveral aux États-Unis (λ1= 28,5◦), Pletsek en Russie (λ2= 63◦), Baïkonour dans le Kazakhstan (λ3= 46,3◦), Tanegashima au Japon (λ4= 30,5◦) et Kourou en Guyane Française (λ5= 5,2◦). La fusée étant fixée au sol, calculer la normevde sa vitesse, par rapport au référentiel géocentriqueR0=Tx0y0z0due à la rotation uniforme de la Terre, de vecteur rotation-→Ω = T-→eS→Net de vitesse angulaireωT= 7,29.10-5rad.s-1 autour de son axe sud-nord. Commenter. Rép :v1= 410m.s-1;v2= 212m.s-1;v3= 323m.s-1;v4= 402m.s-1;v5= 465m.s-1.? ???Ex-M7.9´Etude des plan`etes

1) Première loi de Kepler :" Dans le référentiel deKépler, une planète (pointM, massem)

décrit une ellipse de foyer le soleil (pointS, masseMS) ». En choisissant correctement la direction des axesSxetSy, l"équation polaire d"une telle trajec- toire est :r=p

1 +eavece=caetp=b2a

aest de demi grand-axe;ble demi petit-axe;c= ΩS;ple paramètre etel"excentricité. L"excentricitée, comprise entre 0 et 1, donne une indication précise de la forme de la trajectoire. Plus l"excentricité est grande, plus l"ellipse est écrasée; au contraire, une excentricité de zéro est celle d"un cercle (r=a=b=p).quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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