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1 ? = = ?? coulomb F C est une force centrale si O est fixe dans (R) galiléen (exemple : proton œ électron) 3) Interaction newtonienne
[PDF] Chapitre 5 : Application - Forces Centrales
En utilisant le P F D de la dynamique : m(M/R) = F et sachant que F est une force centrale (F // OM ) on en déduit que (/R) = 0 I 3) – Mouvement Plan
[PDF] Forces centrales conservatives Solution Ex-M72
Ex-M7 2 Force centrale en 1/r3 (** `a chercher apr`es avoir travaillé le reste) Un point matériel M de masse m est soumis dans un référentiel galiléen R
[PDF] Mouvements dans un champ de force central et conservatif
montrer que C = r 2 ?? est une constante du mouvement 3 - Montrer que l'énergie mécanique peut se mettre sous la forme Em = 1 2 m?r 2 + Epeff(r)
[PDF] Mouvement dans un champ de force centrale conservative Cas
II Propriétés générales d'un mouvement à force centrale 3 1 dans un champ de force centrale de centre O fixe dans R Le centre de force O étant fixe
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On suppose d 3° Montrer n 2 0 C ? r a z a ? < < 1 Mouvement à force centrale et énergie potentielle effective Un point matériel P
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2 2 3 États de diffusion états liés Le terme cinétique 1 2 m?r2 étant positif Em = cte est la plus grande valeur que puisse prendre Epeff (r); les valeurs
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R T m et ? 3 Justifier ainsi la localisation des centres de lancement proches 1 Déterminer l'énergie mécanique d'un électron sur une trajectoire de
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I 1)-? Définition Un point matériel est soumis à une force centrale si cette force est toujours dirigée vers un point fixe O du référentiel considéré
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I Force centrale 1 Définition Une force est centrale si son support passe par un point O fixe dans le référentiel d'étude R galiléen
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On dit que ??F est une force centrale si et seulement si à tout instant la force ??F est portée par le vecteur ??? OM Une force centrale possède
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Si Em = Epef f (r0) alors le seul mouvement correspond à r = r0 trajectoire circulaire Em = Em1 < 0 alors r varie sur l'intervalle [r1 r2] c'est un état
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1 r 2 Dans ce chapitre nous verrons les forces centrales conservatives dont la force 3 Mouvement général d'un point M soumis à une force centrale
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R T m et ? 3 Justifier ainsi la localisation des centres de lancement proches 1 Déterminer l'énergie mécanique d'un électron sur une trajectoire de
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1 ? = = ?? coulomb F C est une force centrale si O est fixe dans (R) galiléen (exemple : proton œ électron) 3) Interaction newtonienne
[PDF] Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives
appelé intégrale premi`ere du mouvement C constante des aires 2 1 3 Loi des aires L'aire balayée pendant dt dA = 1 2 × r
[PDF] Chapitre 5 : Forces centrales-Mouvement newtonien
1 Définition On appelle force centrale une force F dont la direction passe toujours par un Si Em = E1 le mouvement n'est possible que si r ? [r2r3]
[PDF] Mouvements dans un champ de force central et conservatif
3 - Une conique est décrite par une équation polaire de la forme r(?) = 1 - Exprimer la force gravitationnelle ressentie par M ainsi que l'énergie
Comment montrer qu'une force est centrale ?
La force d'attraction gravitationnelle et la force électrostatique sont des forces newtoniennes. De plus une telle force est associée à une énergie potentielle de la forme Ep = ? r .Quelles sont les forces newtoniennes ?
L'expression d'une force centrale est ?F=F(r)?ur, sa valeur, indépendante du temps, ne dépend que de r, distance entre le point qui subit la force et le centre de force. Une force centrale est conservative.Est-ce qu'une force centrale est conservative ?
Cette constante des aires permet de dire que l'aire aréolaire A' (dérivée de l'aire par rapport au temps) est constante, en effet A' = C/2 (de façon simplifiée). Astuce : Pour se souvenir de ces différentes relations liées à la constante des aires, il faut se dire la phrase suivante : « Courrrs vite loin de moi »
MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 1/5Mouvement dans un champ de forcescentrales conservativesTable des mati`eres1 Forces centrales conservatives1
1.1 Exemple de la force de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exemple de la force ´electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1
1.3 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Lois g´en´erales de conservation2
2.1 Conservation du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
2.1.1 Plan´eit´e du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.3 Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Conservation de l"´energie (m´ecanique) . . . . . . . . . . . .. . . . 2
2.2.1 Int´egrale premi`ere du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2.2 ´Energie potentielle effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2.3 ´Etats de diffusion, ´etats li´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Mouvement dans un champ de force centrales newtonien 3
3.1 ´Equation g´en´erale de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . .33.2 Interaction r´epulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 Interaction attractive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3.1 ´Etat de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.3.2 ´Etat li´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4 Mouvements des plan`etes - Lois de K´epler . . . . . . . . . . . .. . 5
3.4.1 Lois de K´epler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.4.2 Vitesses cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Forces centrales conservatives
1.1 Exemple de la force de gravitation
SoientM1de massem1etM2de massem2
F1→2=-F2→1=-Gm1m2
(M1M2)2M 1M2 M1M2 avecG= 6,67.10-11kg-1.m3.s-2 On supposera queMde massemest attir´e par un centre de force fixeO de massem??mF=-Gm?m
r2erδW=F.dOM=-A
r2er.(drer+rder) =-Adr r2=-dEp avecEp=-A ren prenantEp(∞) = 01.2 Exemple de la force ´electrostatique
SoientM1de chargeq1etM2de chargeq2
F1→2=-F2→1=1
4π?0q
1q2 (M1M2)2M 1M2 M1M2 avec 14π?0= 9.109S.I.
On supposera queMde chargeqet de massemest attir´e ou repouss´e par un centre de force fixeOde chargeq?et de massem??m F=14π?0q
?q r2erδW=F.dOM=B
r2er.(drer+rder) =Bdr r2=-dEp avecEp=B ren prenantEp(∞) = 0 Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 2/5remarque: si l"on compare les forces de gravitation et ´electrostatique qui
s"exercent par exemple entre deux ´electrons F e Fg=?e m? 2?14π?0G?
= 4,2.1042 D"une mani`ere g´en´erale, `a l"´echelle microscopique, les forces de gravitation sont n´egligeables devant les forces ´electrostatique.1.3 G´en´eralisation
Force centrale si
F=F(r)er
conservative siδW=-dEp
Pour les forces de gravitation et ´electrostatique que l"onappelle interactions new- toniennesF(r) =k
r2et Ep=k ravec Ep(∞) = 0 k=-Gm?m <0 pour l"interaction gravitationnelle; k=14π?0q?q, pour l"interaction ´electrostatique, n´egatif siq?etqde signe
diff´erent, positif siq?etqde mˆeme signe.2 Lois g´en´erales de conservation
Soit M de massemet de vitessevsoumis `a un champ de force centrale conser- vativeF=F(r)ercr´e´e par un centre de force O.2.1 Conservation du moment cin´etique
2.1.1 Plan´eit´e du mouvement
dLO dt=MO=OM?F=rer?F(r)er= 0?LO=cte CommeLO=OM?mv,OMetvrestent perpendiculaires `aLO=cte,OM etvsont donc contenus dans le plan perpendiculaire `aLO=cte: le mouvement est plan.2.1.2 Int´egrale premi`ere du mouvement
Dans ce plan, choisissons les coordonn´ees polaires (r,θ)OM=rerv= rer+rθeθ
LO=OM?mv=mr2θez
commeLO=cte r2θ=cte=C appel´e int´egrale premi`ere du mouvement, Cconstante des aires2.1.3 Loi des aires
L"aire balay´ee pendantdt
dA=12×r×rdθ=1
2r2dθ
La vitesse a´erolaire
dA dt=12r2θ=1
2C=cte
Les aires balay´ees pendant des dur´ees ´egales sont ´egales ce qui explique l"ac- c´el´eration de M lorsqu"il se rapproche du centre de force et son ralentissementlorsqu"il s"en ´eloigne.2.2 Conservation de l"´energie (m´ecanique)2.2.1 Int´egrale premi`ere du mouvementF=F(r)erd´erivant d"une ´energie potentielleEp(r), l"´energie m´ecanique se
conserve E m=12m(r2+r2θ2) +Ep(r) =cte
appel´e int´egrale premi`ere du mouvement Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 3/52.2.2´Energie potentielle effective
E m=12mr2+1
2mr2θ2+Ep(r)
12mr2θ2=m
2r2(r2θ)2=m
2r2C2 E m=12mr2+mC2
2r2+Ep(r)
L"´energie m´ecanique ne d´epend plus que de retr: le terme12mr2est appel´e ´energie cin´etique radiale
le terme mC22r2+Ep(r) =Ep,effest appel´e ´energie potentielle effective Em=12mr2+Epeff(r) =cte
2.2.3´Etats de diffusion, ´etats li´es
Le terme cin´etique
12mr2´etant positif,Em=cteest la plus grande valeur que
puisse prendreEpeff(r); les valeurs derpour lesquellesEp,eff> Emsont donc inaccessibles.Sir > rmin, on parle d"´etat de diffusion
3 Mouvement dans un champ de force centrales new-
tonien Le mouvement v´erifie les propri´et´es g´en´erales du mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (plan´eit´e du mouvement, loi des aires, ´energie potentielle effective) avecF(r) =k r2etEp=k r3.1´Equation g´en´erale de la trajectoire
On peut alors montrer (voir TD) que la trajectoire du point M,rep´er´e par ses coordonn´ees polaires a pour ´equation (en choisissant Ox axe de sym´etrie de la trajectoire) r(θ) =p1 +ecosθ
On reconnaˆıt l"´equation d"une conique
sie >1, M d´ecrit une hyperbole sie= 1, M d´ecrit une parabole si 0< e <1, M d´ecrit une ellipse sie= 0, M d´ecrit un cercle3.2 Interaction r´epulsive
k >0 rE peff r minE m Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 4/5r > rmin, ´etat de diffusion, M ne peut pas s"approcher du centre de force `a une
distance inf´erieure `armin, cette position extrˆeme s"appelle lep´ericentre. La trajectoire correspondante correspond `a une branche d"hyperbole.3.3 Interaction attractive
k <0 3.3.1´Etat de diffusion
E m>0 rE peff r minE m r > r min, on observe encore un ´etat de diffusion. La trajectoire est encore une branche d"hyperbole. Le cas particulierEm= 0 correspond `a une trajectoire parabolique. 3.3.2´Etat li´e
E peffmin< Em<0 rE peff r min E mr max r p´ericentre, celle correspondant `armaxapocentre.La trajectoire est elliptique.
Le cas particulierrmin=rmax=Rcorrespond `a une trajectoire circulaire. Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007MPSI - M´ecanique II - Mouvement dans un champ de forces centrales conservativespage 5/53.4 Mouvements des plan`etes - Lois de K´epler3.4.1 Lois de K´eplerCes lois historiques concernent les mouvements des plan`etes autour du Soleil,
elles se g´en´eralisent `a tous les mouvements `a force gravitationnelle centrale. 1 reloi : les plan`etes autour du Soleil d´ecrivent des ellipsesdont l"un des foyers est occup´e par le Soleil. 2 eloi : le mouvement d"une plan`ete ob´eit `a la loi des aires; pendant des dur´ees ´egales Δt, le rayon vecteurOMbalaye des aires ´egalesS=Cquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] force centrale newtonienne
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