[PDF] Cours dAlgèbre 3 et exercices

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1 RépubliqueAlgérienneDémocratique etPopulaire Ministère de l"Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université des Sciences et de la Technologie d"Oran Mohamed BOUDIAFFaculté des Mathématiques et Informatique

Département de MathématiquesCours d"Algèbre 3 et exercices

Présenté par :MILOUD HOCINE Kouider

Année Universitaire 2020 - 2021

Un proverbe chinois affirme : "Lorsqu"on donne un poisson à quelqu"un, on lui donne à manger pour un jour, lorsqu"on lui apprend à pêcher, on lui donne à manger pour toute la vie.» Notre objectif est de vous apprendre à pêcher

Table des matières

Introduction 1

1 Rappel : Construction de l"anneau des polynômes 2

1.1 Groupes, anneaux, idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 L"anneau des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 0

1.2.1 L"anneau des polynômes à une indéterminée à coeffi-

cients dansK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.2.2 Valuation et degré d"un polynôme . . . . . . . . . . .

11

1.2.3 Structures algébriques sur les polynômes . . . . . . . .

12

1.2.4 Arithmétique dansK[X]. . . . . . . . . . . . . . . .14

1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2 Réduction des endomorphismes d"espaces vectoriels de di-

mension finie 18

2.1 Valeurs et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 0

2.3 Sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.5 Diagonalisation d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . .

27

2.5.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.5.2 Critères de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . .

27
ii

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

2.7 Trigonalisation d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . .

3 2

2.7.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.7.2 Caractérisation de la trigonalisation . . . . . . . . . .

32

2.8 Polynôme annulateur, polynôme minimal et théorème de Cayley-

Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.8.1 Polynômes d"endomorphismes . . . . . . . . . . . . .

37

2.8.2 Polynôme annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.8.3 Théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . .

39

2.8.4 Utilisation pratique d"un polynôme annulateur . . . .

41

2.8.5 Polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.8.6 Nouveau critère de diagonalisation . . . . . . . . . . .

45

2.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.10 Sous-espaces caractéristiques et décomposition de Dunford .

50

2.10.1 Sous-espaces caractéristiques . . . . . . . . . . . . . .

50

2.10.2 Décomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.11 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.12 Application de la réduction au calcul des puissances d"une ma-

trice et aux suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.12.1 Calcul des puissances d"un endomorphisme . . . . . .

63

2.12.2 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3 Exponentielle d"une matrice et Application aux systèmes dif-

férentiels linéaires 69

3.1 Exponentielle d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.2 Calcul pratique de l"exponentielle d"une matrice . . . . . . . .

70

3.3 Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants . . . .

71

3.3.1 Système différentiel linéaire homogène . . . . . . . . .

72

3.3.2 Système différentiel linéaire non homogène . . . . . . .

75

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

4 Solutions des exercices 81

4.1 Solutions des exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . .

81

4.2 Solutions des exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . .

85

4.3 Solutions des exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . .

104

Bibliographie 111

iii

Table des notations

N: l"ensemble des entiers naturels.

Z: l"anneau des entiers relatifs.

K: un corps qui peut êtreRouC:

K[X]: l"anneau des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K: Kn[X]: l"anneau des polynômes à coefficients dansKde degré inférieur ou égal àn:

Rn:R-espace vectoriel de dimensionn:

Cn:C-espace vectoriel de dimensionn:

L (E): l"espace des endomorphismes d"un espace vectorielE: M n(K): l"ensemble des matrices carrées réelles d"ordrenà coefficients dansK: GLn(K): le groupe des matrices inversibles d"ordrensurK:

E: le sous-espace propre associé à:

Sp(A): le spectre de la matriceA:

A(X): le polynôme caractéristique deA:

A(X): le polynôme minimal deA:

C: le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre: det(A): le déterminant d"une matrice carréeA: tr(A): la trace deA;c"est la somme des coefficients situés sur la dia- gonale. tA: la transposée deA:

Com(A): la comatrice d"une matrice carréeA:

V ect(X): l"espace vectoriel engendré par une partieX: iv dim(E): dimension d"un espace vectorielE:

B : une base quelconque de l"espace vectorielE:

f e1;:::;eng: la base canonique d"un espace vectoriel de dimensionn:

MatB(f): La matrice defdans la baseB:

In: matrice unité d"ordren:

(aij)1i;jn: les éléments d"une matrice carréeA:

Id : l"application identité surE:

Im(f): image d"une application linéairef:

ker(f): noyau d"une application linéairef: rg(f): rang d"une application linéairef: fjF: la restriction de l"applicationfau sous-espaceF: C

1(E): l"espace des fonctions infiniment dérivables surE:

n k: les coefficients binomiaux,n k=n!k!(nk)!: : somme directe des sous-espaces vectoriels.

F(E: signifie queFEetF6=E:

v

Introduction

Ce polycopié s"adresse aux étudiants de la deuxième année LMD Mathé- matiques. Il recouvre le programme d"Algèbre 3 qui traite les concepts de base de la réduction d"endomorphisme en dimension finie et quelques techniques de calcul matriciel. Le but de ce cours est d"introduire aux étudiants divers outils mathéma- tiques permettant la résolution effective d"un certain nombre de problèmes en particulier la diagonalisation des endomorphismes, la trigonalisation, la réduction de Jordan, les puissances d"une matrice, les systèmes différentiels linéaires, etc. Les chapitres de ce cours sont illustrés par des exemples d"applications, et une série d"exercices est proposée dans chacun d"entre eux, tous corrigés à la fin de ce polycopié avec grand soin. Ils permettent à l"étudiant de consolider ses connaissances acquises et de comprendre comment appliquer les concepts et outils proposés. Le polycopié est constitué de trois chapitres : Le premier chapitre est un rappel sur la construction de l"anneau des poly- nômes et ses propriétés algébriques. Le deuxième chapitre traite en détail la réduction des endomorphismes d"es- paces vectoriels de dimension finie (diagonalisation, trigonalisation, la forme réduite de jordan, la décomposition de Dunford) et ces applications aux calcul des puissances d"une matrice, l"inverse d"une matrice et aux suites récurrentes linéaires. Au troisième chapitre, on introduit la notion d"exponentiel d"une matrice carrée et l"application à la résolution des systèmes différentiels linéaires. 1

CHAPITRE1Rappel : Construction de l"anneau

des polynômesDans ce premier chapitre on rappelle quelques notions et résultats de la première année. On présente aussi quelques propriétés de l"anneau des polynômes.

1.1 Groupes, anneaux, idéaux

1.1.1 Groupes

Définitions 1.1

1. Un groupeest un ensembleGmuni d"une loi interneGG7!G; (x;y)7!xytelle que : (i) L aloi est associative surG;(i. e. pour tousx;y;zdansG; (xy)z=x(yz)). (ii) Il existe un élément neutr eepour la loidansG;(i. e. pour tous x2G;xe=ex=x). (iii) T outélément de Ga un symétrique (i.e. pour tousx2G;il existe y2Gtel quexy=yx=e). 2. Si la loi est commutative, on dit que le groupe(G;)est commutatif (ou abélien). 3. Un sous-ens emblenon vide HdeG(où(G;)est un groupe) est un sous-groupedeGsi la restriction de la loiàHlui confère une 2 structure de groupe. Exemples 1.1Comme exemples de groupes, citons le groupeSndes permu- tations de l"ensemblef1;:::;ng(la loi est la composition), le groupeZdes entiers relatifs (pour l"addition), l"ensemble des réels non nuls (pour la mul- tiplication), tout espace vectoriel (pour l"addition), l"ensemble des matrices nninversibles (pour la multiplication). Proposition 1.1Une condition nécessaire et suffisante pour queHsoit un sous-groupe deGest :

H6=;et8x2H;8y2H; xy12H:

1.1.2 Anneaux

Définitions 1.2

1. Un anneauest un ensembleAmuni de deux lois internes, généralement notées+et;telles que(A;+)soit un groupe abélien, dont l"élément neutre est noté0;et telles que la loisoit associative et distributive par rapport à la loi+: 2. Un anne auest unitairesi la loipossède un élément neutre, noté1: 3.

Un anne auest commutatifsi la loiest commutative.

4. Un diviseur de zéro à droite(resp. à gauche) de l"anneauAest un élémenta2A;non nul, tel qu"il existe un élémentb2Anon nul vérifiantba= 0(resp.ab= 0). Un anneau estintègres"il ne contient aucun diviseur de zéro. (c"est-à direab= 0 =)a= 0_b= 0). 5. Un corpsest un anneau non réduit àf0g;dont tous les éléments sauf

0sont inversibles pour la loi.

6. L"ensemble des éléments inversibles de l"anne auApour la loiest un groupe pour cette loi, notéA:Les éléments inversibles deAsont aussi appelésunités. 7.quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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