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et des Sciences de la MatièreDépartement de Mathématiques
Polycopié de cours
Dr. BELLAOUAR Djamel
Deuxième Année Licence Mathématiques
2018 /2019
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(Cours et exercices corrigés)Algèbre III
BELLAOUAR Djamel
Polycopié de cours, Deuxième Année Licence MathématiquesUniversité 8 Mai 1945 Guelma
9 mars 2019
bellaouar.djamel@univ-guelma.dz, bellaouardj@yahoo.frTable des matières
Abstract 4
Table des notations 4
Introduction 5
1 Les Préliminaires indispensables 14
1.1 Polynôme caractéristique d"une matrice carrée . . . . . . . . .
141.1.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241.2 Sur l"inverse d"une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . .
251.3.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271.4 Valeurs et vecteurs propres d"un endomorphisme, sous-espaces
propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5 Valeurs et vecteurs propres d"une matrice carrée . . . . . . . .
291.5.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341.6 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
351.7 Produit Scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
361.7.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
391.8 Matrices Symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 91.9 Matrices anti-symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
411.9.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
431.10 Matrices Orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
431.11 Matrices Hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
461.12 Matrice Unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
482 Matrices semblables et matrices diagonalisables 50
2.1 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
502.1.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
561
Université 8 Mai 1945-Guelma, Polycopié d" Algèbre III. Dj. Bellaouar Département de Mathématiques
2.2 Matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
572.2.1 Applications de la diagonalisation . . . . . . . . . . . .
652.2.2 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
692.3 Exponentielle de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
752.3.1 Calcul de l"exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . .
822.3.2 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
852.4 Racine d"une matrice, cos(A), sin(A),... . . . . . . . . . . . . .
862.4.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
882.5 Systèmes de suites avec les relations de récurrence . . . . . . .
892.5.1 Suites Récurrentes Linéaires . . . . . . . . . . . . . . .
892.5.2 Systèmes de suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . .
912.6 Systèmes différentiels à coefficients constants . . . . . . . . . .
942.6.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
983 Matrices Trigonalisables 99
3.1 Théorème de Cayley-Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . .
993.2 Polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1053.2.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1103.3 Sous-espaces Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1123.4 Systèmes différentiels et matrices non diagonalisables . . . . .
1143.5 Matrices nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1193.6.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1243.7 Théorème de décomposition de Jordan . . . . . . . . . . . . .
1243.8 Matrices triangularisables (trigonalisables) . . . . . . . . . . .
12 73.8.1 Calcul des puissances d"une matrice . . . . . . . . . .
13 24 Tests d"Algèbre III de 2009 à 2016 137
4.1 Examen final d"Algèbre III (2009)
1. . . . . . . . . . . . . . .138
4.2 Examen final d"Algèbre III (2010)
2. . . . . . . . . . . . . . .140
4.3 Micro-interrogation d"Algèbre III (2011)
3. . . . . . . . . . . .141
4.4 Examen final d"Algèbre III (2011) . . . . . . . . . . . . . . . .
1424.5 Micro-interrogation d"Algèbre 3 (2012) . . . . . . . . . . . . .
144 1. Cet examen a été réalisé par Dr. N. Azzouza le 23 Février 2009 à l"université 08 Mai
1945, Guelma.
2. Cet examen a été réalisé par Dr. N. Azzouza le 18 Février 2010 à l"université 08 Mai
1945, Guelma.
3. Ce micro-interrogation a été effectué par Dr. N. Azzouza le 22 Janvier 2011 à l"uni-
versité 08 Mai 1945, Guelma. 2Université 8 Mai 1945-Guelma, Polycopié d" Algèbre III. Dj. Bellaouar Département de Mathématiques
4.6 Examen final d"Algèbre 3 (2012) . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 54.7 Examen de rattrapage d"Algèbre 3 (2012) . . . . . . . . . . . .
1474.8 Micro-interrogation d"Algèbre 3 (2013) . . . . . . . . . . . . .
1494.9 Examen final d"Algèbre 3 (2013) . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 14.10 Examen de Rattrapage d"Algèbre 3 (2013) . . . . . . . . . . .
1544.11 Micro-interrogation D"Algèbre 3 (2014) . . . . . . . . . . . . .
1564.12 Examen final D"Algèbre 3 (2014) . . . . . . . . . . . . . . . .
1584.13 Examen de rattrapage d"Algèbre 3 (2014) . . . . . . . . . . . .
1604.14 Micro-interrogation d"Algèbre 3 (2015) . . . . . . . . . . . . .
1624.15 Examen final d"Algèbre 3 (2015) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1644.16 Examen de Rattrapage (2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1674.17 Micro-interrogation d"Algèbre 3 (2016) . . . . . . . . . . . . .
1694.18 Examen final d"Algèbre 3 (2016) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1704.19 Examen de rattrapage (2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1724.20 Solution (Examen final 2009) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1744.21 Solution (Micro-interrogation 2012) . . . . . . . . . . . . . . .
1784.22 Solution (Examen final 2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1814.23 Solution (Exam de rattrapage 2012) . . . . . . . . . . . . . . .
1894.24 Solution (Micro-interrogation 2013) . . . . . . . . . . . . . . .
1974.25 Solution (Exam final 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2004.26 Solution (Examen de rattrapage 2013) . . . . . . . . . . . . .
2054.27 Solution (Micro-interrogation 2014) . . . . . . . . . . . . . . .
2094.28 Solution (Examen final 2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2144.29 Solution (Examen de rattrrapage 2014) . . . . . . . . . . . . .
21 94.30 Solution (Micro-interrogatio 2015) . . . . . . . . . . . . . . . .
2244.31 Solution (Examen final 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2274.32 Solution (Examen de rattrapage 2015) . . . . . . . . . . . . .
2304.33 Solution (Micro-interrogation 2016) . . . . . . . . . . . . . . .
2334.34 Solution (Examen final 2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2354.35 Solution (Examen de ratrapage 2016) . . . . . . . . . . . . . .
2404.36 Problèmes sans Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2453
Université 8 Mai 1945-Guelma, Polycopié d" Algèbre III. Dj. Bellaouar Département de Mathématiques
Abstract
This manuscript is intended for all students of the second year mathema- tics. One of the most useful techniques in applications of matrices and linear algebra is matrix reduction. Before discussing this, we have to look at the topic of eigenvalues and eigenvectors and their relations with diagonalization and tridiagonalization. Such notions are used for studying the minimal po- lynomial, nilpotent matrices and Jordan"s decomposition. We shall explore a number of applications of diagonalization and trigonalization on the solu- tion of iteration sequences and system of differential equations. At the end, we finish this manuscript by providing the previous exams and its solutions which carried at University of Guelma from 2009 to 2016. 4Université 8 Mai 1945-Guelma, Polycopié d" Algèbre III. Dj. Bellaouar Département de Mathématiques
Table des notations
Voici la table des notations. Ce sont des symboles qui permettent au lecteur de bien comprendre le contenu de ce manuscrit. .NL"ensemble des entiers naturels,N=f0;1;2;:::getN=Nf0g. .KUn corps qui peut êtreRouC. .KnLe produit cartésienKnest l"espace vectoriel desn-uplets de sca-quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48[PDF] algèbre bilinéaire cours et exercices corrigés pdf
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