[PDF] Cours de mathématiques Cours Algèbre III. ALAMI

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Université Mohammed V. Année 2014-2015.

Faculté Des Sciences

Département De Mathématiques

Avenue Ibn Batouta, B.P 1014, Rabat, Maroc

Filière :

Sciences Mathématiques Informatique et Applications (SMIA)

Module Algèbre III

Cours Algèbre III

ALAMI IDRISSI ALI

BENLARBI-DELAI M" HAMMED

JABBOURI ELMOSTAFA

1

Table des matières

Chapitre 1 : Systèmes linéaires-Méthode du pivot

Introduction

1.

Systèmes linéaires

2.

Systèmes linéaires homogènes

Chapitre 2 : Espaces vectoriels

1.

I.Généralités

(a)

Structure d"espace vectoriel

(b)

Sous-espaces vectoriels

(c)

Sous-espace vectoriel engendré par une partie

(d)

P artielibre et partie liée .Base.

(e)

Somme de sous espaces vectoriels .

2.

II.Applications linéaires

(a)

Généralités .

(b)

Structure des endomorphismes .

Chapitre 3 : Espaces vectoriels de dimension finie 1.

Généralités

(a)

Lemme fondammental

(b) Existence d"une base-dimension d"un espace vectoriel (c)

Théorème de la base incomplète

(d)

Dimension d"un sous-espace vectoriel

(e)

Rang d"un système de vecteurs

2.

Somme de sous-espaces vectoriels

(a)

Somme directe de deux sous-espaces

(b)

Sous-espaces supplémentaires

(c)

Cas de la dimension finie

3.

Applications linéaires

(a)

Généralités

(b)

Applications linéaires

(c)

Image et noyau d"une application linéaire

(d)

Théorème de la dimension

(e)

Structure d"espace vectoriel de L(E,F)

(f)

Algèbre L(E)

(g)

Les projecteurs

Chapitre 4 : Matrices

1. Matrices associées aux applications linéaires 2 2.

Matrice colonne associé á un vecteur

3. Matrice de l"inverse d"une application linéaire 4.

Changement de bases

5.

Rang d"une matrice

6.

Matrices remarquables

Chapitre 1

SYSTEMES LINEAIRES-METHODE DU

PIVOT

INTRODUCTIONDe nombreux problèmes mathématiques peuvent être traduits par des équations algèbriques

et notamment par des systèmes linéaires. L"objet du chapitre est la présentation de la méthode

du pivot dans un corps commutatifK, appelée aussi méthode d"élimination de Gauss , et qui permet la résolution de tels systèmes. Dans ce chapitre, le corpsKdésigneQ,R,ouC.

1. Systèmes linéaires

1.1. DéfinitionDéfinition 1

Un système linéaire est la donnée d"un nombre fini d"équations linéaires telles que : (1) 8 >>>>>>>>:a

11x1Åa12x2Åa13x3Å ¢¢¢ Åa1nxnAEb1(Ãéquation 1)

a

21x1Åa22x2Åa23x3Å ¢¢¢ Åa2nxnAEb2(Ãéquation 2)

............AE... a i1x1Åai2x2Åai3x3Å ¢¢¢ ÅainxnAEbi(Ãéquationi) ............AE... a p1x1Åap2x2Åap3x3Å ¢¢¢ ÅapnxnAEbp(Ãéquationp) Les élémentsx1,x2,.....,xnsont les inconnues du système (1). Les termesaij,bipour 1ÉiÉpet 1ÉjÉnsont donnés dans le corpsIKet s"appellent respectivement les coefficients et les seconds membres du système (1). Résoudre le système (1), c"est déterminer l"ensembleSde toutes les solutions . Nous allons

montrer que siSn"est pas vide, il est soit réduit à un singleton, soit c"est un ensemble infini.3

SYSTEMES LINEAIRES-METHODE DU PIVOT4

1.2. Exemples

Exemple 1

En se plaçant dansR, nous cherchons à résoudre le système suivant : 8>< :2x¡yÅ4zAE ¡4(L1)

3x2y¡3zAE17(L2)

5x¡3yÅ8zAE ¡10(L3)NotonsL1,L2,L3les trois lignes de ce système.Remplaçons la ligneL2parL02AE2L2¡3L1

puisL3parL03AE2L3¡5L1, nous obtenons le système : 8>< :2x¡yÅ4zAE ¡4(L1)

7y¡18zAE46(L02)

¡y¡4zAE0(L03)

Remplaçons la nouvelle ligneL03parL"3AE7L03ÅL02, on a alors : 8>< :2x¡yÅ4zAE ¡4(L1)

7y¡18zAE46(L02)

¡46zAE46(L"3)

Nous obtenons la solution du système en remontant les lignes :zAE ¡1,yAE4,xAE2 et

SAE{(2,4,¡1)}Exemple 2

Soit le système :

8>< :2x¡yÅzAE4(L1)

3x2y¡2zAE5(L2)

¡xÅy¡zAE2(L3)

NotonsL1,L2,L3les trois lignes de ce système.Remplaçons la ligneL2parL02AE2L2¡3L1 puisL3parL03AE2L3ÅL1, nous obtenons le système : 8>< :2x¡yÅzAE4(L1)

7y¡7zAE ¡2(L02)

Åy¡zAE8(L03)

Remplaçons la nouvelle ligneL03parL"3AE7L03ÅL02, on a alors : 8>< :2x¡yÅzAE4(L1)

7y¡7zAE ¡2(L02)

0AE58(L"3)

ce qui est impossible . Par conséquent le système proposé n"a pas de solution soitSAE;.

SYSTEMES LINEAIRES-METHODE DU PIVOT5

Exemple 3

Déterminons toutes les solutions du système à quatre inconnues et à trois équations : 8 :x¡yÅzÅtAE2(L1)

2x¡yÅ2z¡tAE3(L2)

3xÅyÅz¡2tAE5(L3)En procédant de façon analogue aux exemples 1 et 2 , nous pouvons "éliminer" les coeffi-

cients de la variablexdes lignesL2etL3, ce qui donne le système : 8>< :x¡yÅzÅtAE2(L1) y¡3tAE ¡1(L02)

Å4y¡2z¡5tAE ¡1(L03)

Ensuite nous remplaçons la ligneL03parL"3AEL03¡4L02, d"où le système final : 8>< :x¡yÅzÅtAE2(L1) y¡3tAE ¡1(L02)

¡2zÅ7tAE3(L"3)

Ainsi le système admet une infinité de solutions ( une droite affine dansR3) qui s"écrivent sous forme paramètrique , le paramètre étant la variable libret: 8>< :xAE ¡32 tÅ52 yAE3t¡1 zAE72 tÅ52 d"oùSAE©¡¡32 tÅ52 ,3t¡1,72 tÅ52

¢/t2Rª.A travers les exemples traités, il apparaît que la méthode du pivot est basée sur les propriètès

des systèmes liné aires , elle permet à la fois d"assurer l"existence des solutions mais aussi leur

détermination :

Opérations élémentaires :

L"ensemble des solutions d"un système linéaire reste inchangé si l"on procéde aux opérations suivantes : -La modification de l"ordre des équations; -La multiplication d"une ligne par une constante non nulle du corpsK; -L"addition à une ligne donnée d"une combinaison linéaire des autres lignes.

1.3. Méthode du pivot

Considèrons le système linéaire :

SYSTEMES LINEAIRES-METHODE DU PIVOT6

(1) 8 >>>>>>>>:a

11x1Åa12x2Åa13x3Å ¢¢¢ Åa1nxnAEb1(Ãéquation 1)

a

21x1Åa22x2Åa23x3Å ¢¢¢ Åa2nxnAEb2(Ãéquation 2)

............AE... a i1x1Åai2x2Åai3x3Å ¢¢¢ ÅainxnAEbi(Ãéquationi) ............AE... a

p1x1Åap2x2Åap3x3Å ¢¢¢ ÅapnxnAEbp(Ãéquationp)On commence par modifier l"ordre des équations ( si c"est nécessaire ) pour que le pivot du

système (à savoir le coefficienta11) , soit non nul .Ensuite, la première étape consiste à

"éliminer" les coefficientsa21,....,ap1.Pour cela, nous remplaçons les lignesL2,...,Lppar les lignesL02AEa11L2¡a21L1,...,L0pAEa11Lp¡ap1L1.Nous obtenons un système ayant le même ensemble de solutions , il est donné par : (2) 8 >>>>>>>>>:a

11x1Åa12x2Åa13x3Å ¢¢¢ Åa1nxnAEb1

0x1Åa022x2Åa023x3Å ¢¢¢ Åa02nxnAEb02............AE...

0x1Åa0

i2x2Åa0 i3x3Å ¢¢¢ Åa0 inxnAEb0 i............AE...

0x1Åa0p2x2Åa0p3x3Å ¢¢¢ Åa0pnxnAEb0p

Nous appliquons la méthode d"élimination explicitée ci-dessus au sous système de (2) représenté

par les lignesL02,...,L0p.Et ainsi de suite, l"opération donne à la fin un système équivalent de la

forme suivante : (s)8 >>>>>>:a

11x1Åa12x2Åa13x3Å ¢¢¢ Åa1nxnAEb1

0x1Åa022x2Åa023x3Å ¢¢¢ Åa02nxnAEb02............AE...

............AE...

0x1Å0x2Å0x3...........Åa(s¡1)psxsÅ ¢¢¢ Åa(s¡1)pnxnAEb(s¡1)p

où tous les coefficientsa11,a022,....,a(s¡1)pssont non nuls, ce sont les pivots successifs.Remarque 1

Si en appliquant la méthode du pivot, nous obtenons une équation de la forme 0AEb, avec

bnon nul, nous pouvons affirmer que le système (1) n"a pas de solution.L"étude du système (s) donne lieu à deux possibilités :

-1ercas:pAEsAEn

Le système (s) devient triangulaire :

8>>>>>>><

>>>>>>:a

11x1Åa12x2Åa13x3Å ¢¢¢ Åa1nxnAEb1

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